基于PID 參數的時滯電力系統穩定性研究*

劉曉桂 周湘杰 蔣逢靈 劉小勇

(1.湖南鐵路科技職業技術學院鐵道供電與電氣學院 株洲 412006；2.湖南鐵道職業技術學院軌道交通電務技術學院 株洲 412001)

1 引言

隨著現代電力工業的飛速發展和互聯電網運行規模的不斷擴大，電力系統的運行已不能僅依靠局部反饋信號來保持[1]。近年來，基于相量測量單元的廣域測量系統的發展與應用為互聯電網的協調控制和分布式同步測量帶來了新的機遇[2]。廣域反饋控制信號雖然能提高系統的動態性能，但其遠距離的信號接收與發送存在較明顯的時滯現象。大量試驗研究表明，時滯現象的存在會降低電力系統的控制性能，使區域電網動態失穩，甚至出現大面積停電現象，所以確?；ヂ撾娋W的安全穩定運行至關重要。眾所周知，頻率是衡量電能質量的一個重要指標[3]。電力系統穩定運行的要求是確保電網頻率始終維持在某個固定值或在某個固定值上下小范圍內浮動，而負荷頻率控制(Load frequency control，LFC)就是實現這一要求的最常用方法。因此，研究時滯LFC 系統對確保電網的安全穩定運行具有十分重要的價值與意義[4]。

目前，用于時滯電力系統穩定性分析的方法很多，但由于電力系統本身具有時變性與參數不確定性，因此，基于Lyapunov 穩定理論分析法成為最主要的分析方法[5-6]。該方法主要通過構造一個合適的Lyapunov-Krasovskii 泛函，并對泛函進行求導運算，有效處理泛函導數中存在的積分項，從而導出系統漸近穩定的充分條件[7]。它的優點是泛函的解析過程一般可以有效轉化為凸優化問題進行求解，缺點是得出的結論具有較大的保守性，有待進一步改善[8]。因此，如何有效降低結論的保守性成為學者們一直努力的方向。文獻[9]對時滯電力系統的穩定域進行了分析，由于在Lyapunov-Krasovskii 泛函中引入的自由變量較少，所以運算效率高，但未考慮時滯變化率對電力系統穩定域的影響。文獻[10]在構造 Lyapunov-Krasovskii 泛函基礎上應用了Wirtinger 積分不等式方法對電力系統穩定域進行分析，在一定層面上改善了結論保守性。文獻[11]在應用Wirtinger 積分不等式的基礎上引入松散項，推導了含不確定性參數的多時滯電力系統穩定性判據。文獻[12]使用PI 控制器研究了在定常時滯與時變時滯情況下含LFC 控制方案的電力系統穩定性。盡管上述文獻研究的時滯電力系統穩定性判據的保守性在一定程度上得到了降低，但是構造的泛函都僅考慮引入常實數矩陣，且對泛函導數進行界定時未采用擴展逆凸二次不等式方法，所以使得結論保守性依然明顯。

基于上述分析，本文建立了系統矩陣中含PID參數的時滯LFC 系統數學模型。通過構造一個時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函，并應用文獻[13]中提出的擴展逆凸二次不等式方法來精確界定泛函導數中的積分項，推導出具有更小保守性的系統穩定新判據。采用典型二階系統數值算例進行試驗仿真，仿真結果表明新判據的有效性。同時，還將新判據應用于系統矩陣中含PID 參數的電力系統LFC系統模型中，分析了系統在不同控制增益參數KP、KI的情況下，KP、KI參數與系統時滯穩定裕度之間的關系。

2 LFC 系統模型建立

在系統的穩定性探討中，為了分析復雜高階系統，一般從簡單低階系統著手研究，本文從電力系統中簡化的LFC 模型結構入手，分析了系統的穩定性問題，其模型結構如圖1 所示[14]。

圖1 頻率調節系統

從圖1 可看出，LFC 系統模型結構由五個子模型組成。各模型的簡化傳遞函數式如下所示。

(1) 原動機模型。簡化的傳遞函數式為[15-16]

式中，TT為原動機的慣性時間常數。

(2) 發電機-負荷模型。該模型存在如下關系[14]

式中，ΔPm為發電機機械功率的變化量；ΔPd為負荷端功率的變化量；Δf為頻率的變化量；D為發電機的阻尼系數；M為轉動慣量。

(3) 輔助模型。目前電力系統中的電能頻率控制一般采用PID 控制器來實現，其模型的傳遞函數為[14]

式中，KP、KI與KD分別為PID 控制器的比例、積分與微分增益；u和ACE 分別為控制輸出量和控制誤差量；ACE 可定義為[17]

式中，β為偏差因子，可表示為

(4) 調速模型。其模型函數式可表示為

式中，ΔPC是負荷參考值；R是調速器的速度跌落系數；TG為調速器的慣性時間常數。

(5) 時滯模型。時滯主要體現在測量信號的收集與發送中，常采用函數式exp(-s)τ來表示，τ反映了時滯的大小。

綜合上述所示，可得出簡化的時滯LFC 系統結構框圖如圖2 所示[17]。

圖2 考慮通信延遲的LFC 系統結構框圖

定義x(t)和y(t)分別為系統的狀態變量和輸出變量，由圖2 可知

則系統狀態空間模型可以表示為

同時，PID 控制器可描述為

假定系統的虛擬變量為

由于CB=0，結合式(8)、(9)，可得出如下靜態輸出反饋控制系統模型

對上述系統進行簡化，可得出如下時滯線性系統

假設為系統的平衡點，則存在

則線性時滯系統數學模型為

式中，As與Ads為系統矩陣；τ(t)是時變時滯函數且滿足0≤τ(t)≤τ，≤u，φ(t)是系統的初始狀態。

3 穩定新判據

3.1 主要引理

為推導出本文新判據，需要用到以下三個引理。其中，Rn×m表示實數域的n×m階矩陣空間，Rn表示n維向量空間；N為非負整數(即自然數)；Sn×n表示n×n的實對稱矩陣，上標“T”為矩陣的轉置；0 代表合適維度的零矩陣；P>0 表示矩陣P為正定對稱；diag{…}表示對角矩陣；Sym{X}=X+XT。

引理1[18]：給定一個n×n實對稱正定矩陣R，如果存在標量α、β(α<β)和向量值函數ω，則有以下積分不等式成立

引理2[13]：對于一個n×n實對稱正定矩陣R和標量α∈(0,1)，如果存在實對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈Sn×n和任意實矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈Rn×n，滿足不等式

則有

引理3[7,13]：給定函數f(s) =a2s2+a1s+a0，其中s∈[0,τ]且α2，α1，α0∈Rn。如果有以下條件成立，則f(s)<0 成立。

(1)f(0) < 0。

(2)f(τ) < 0。

其中，N∈ N，i= 1,2, …, 2N。

3.2 主要結論

本節應用擴展的逆凸二次不等式技術，推導出系統矩陣含PID 參數的時滯LFC 系統穩定新判據。為了簡化表示，首先定義如下向量和矩陣。

基于構造的時滯乘積型泛函和逆凸二次不等式方法，得到以下穩定性準則。

定理1：給定兩個標量u和τ>0，若存在對稱矩陣Q1(∈S4n×4n)>0，Q2(∈S4n×4n)>0，P11∈S5n×5n，P12∈S5n×5n，P21∈S5n×5n，P22∈S5n×5n，Z(∈Sn×n)>0，對稱矩陣X1、X2、X3、X4∈S3n×3n和任意矩陣Y1、Y2、Y3、Y4∈R3n×3n，當 式(17)滿 足 時 滯 約 束 條 件τ(t) ∈ [ 0,τ]，≤u時，則有

則數學模型為式(17)的系統是漸近穩定的。

證明：首先，選取如下Lyapunov-Krasovskii 泛函

式中，P1(t)=P11+τ(t)P12,P2(t) =P21+(τ-τ(t))P22。

注釋1：V1(t)中的耦合矩陣包含時變矩陣P1(t)和P2(t)兩部分，此時不需要P11、P12、P21和P22均大 于 0 ， 只 需 要P11+τ(t)P12>0和P21+[τ-τ(t)]P22>0即可，這增大了矩陣P12和P22的自由度，從而降低了穩定性條件的保守性。當P1(t)>0、P2(t)>0、Q1>0、Q2>0 和Z>0 時，則V(t)>0，即該泛函正定。

然后，對V(t)沿著系統軌跡進行求導運算可得

基于引理1 可得

基于引理2，式(29)右邊的逆凸項可以被處理為

其中

綜合式(26)～(30)可以得出

式中，?0、?1和?2定義在定理1 中。

因 此，時 滯 在 滿 足 約 束 條 件τ(t) ∈[0,τ]和≤u時，若式(24)成立，則有<0成立，從而可以證明數學模型為式(17)的系統是漸近穩定的。

注釋2：由于式(23)和式(24)分別是關于α和τ(t)的二次函數，因此需要采用二次函數不等式處理方法將其轉化為LMI 形式的穩定性條件?；谝? 可以得到以下穩定性條件。

定理2：給定兩個標量u和τ>0，若存在對稱矩陣Q1(Q1∈S4n×4n)>0，Q2(Q2∈S4n×4n)>0，P11∈S5n×5n，P12∈S5n×5n，P21∈S5n×5n，P22∈S5n×5n，Z(Z∈Sn×n)>0，對稱矩陣X1，X2，X3，X4∈S3n×3n和任意矩陣Y1，Y2，Y3，Y4∈R3n×3n，當系統滿足時滯約束條件τ(t) ∈ [ 0,τ]、≤u且滿足式(21)、(22)時，則有

則式(17)是漸近穩定的。

4 數值算例分析

針對文獻[19]中提出的PID 控制器的時域性和魯棒性與兩個參數有關的結論，本節深入分析了 PID 參數對電力系統中 LFC 系統穩定性的影響。

4.1 典型二階系統

本文通過兩個常用二階系統算例來驗證新判據的有效性，通過試驗仿真證明了新判據在改善系統保守性方面與其他方法相比具有顯著優越性。

二階系統矩陣方程算例一

借助Matlab 中的LMI 工具箱對本文獲得的穩定新判據進行試驗仿真，試驗運算結果及基于相關文獻中的穩定性判據獲得的結果如表1 所示。其中“—”表示在相應的文獻中沒有提供這種情況的最大時滯允許上界。

表1 給定不同u 時的系統時滯上界τmax

由表1 可以看出，應用本文推導出的新判據，能讓系統的保守性得到很大改善。當u=0.1，N=1時，基于本文定理2 獲得的最大時滯允許上界是4.961，由文獻[23]中的推論1 情形(I)得到的運算結果是4.946，改善率達到0.303%；而給定u=0.1 時，文獻[22]得出的運算結果與文獻[21]相比提高了0.006，改善率僅為0.121%。上述對比結果說明，將本文新判據應用于二階系統矩陣方程算例一中，確實降低了系統的保守性。另外，由圖3 還可以進一步看出，由本文定理 2(N=2)得出的系統最大允許時滯上界τmax明顯大于文獻[23]推論1 情形(II)與文獻[22]中的結果，這充分說明了本文構造的時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函以及在界定泛函導數時所應用的擴展逆凸二次不等式方法在降低系統保守性方面與文獻[22-23]中的增廣型Lyapunov-Krasovskii 以及在界定泛函導數時所應用的其他方法相比具有明顯優勢。本文構造的時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函考慮了更多系統狀態信息，并增大了矩陣P12和P22的自由度，而本文應用的擴展逆凸二次不等式方法在界定泛函導數中出現的積分項時，能使計算值更接近于理論值，從而有效降低了系統的保守性。

圖3 通過改變u 獲得不同判據下系統的最大允許時滯上界τmax

二階系統矩陣方程算例二

用同樣的試驗運算方法，可以得出試驗運算結果如表2 所示。

表2 給定不同u 時的系統時滯上界τmax

將本文新判據應用于二階系統矩陣算例二中進行仿真后發現，本文新判據在算例二中也能減小系統的保守性。

通過對以上二階系統矩陣方程的算例仿真驗證后，可以得出共同結論：本文提出的穩定性準則具有更小的保守性，并且與其他文獻中提出的方法相比具有顯著的優越性。

4.2 含PID 參數的LFC 系統

本文將新判據應用于系統矩陣中含PID 參數的時滯電力系統穩定性分析當中，目的在于探討含PID 參數的時滯電力系統穩定性問題，進一步驗證本文新判據的有效性。

LFC 系統矩陣方程算例

根據已建立的LFC 系統矩陣方程As、Ads以及相關參數[14](其中，D=1.0、TG=0.10、R=0.05、M=10和TT=0.3)，利用Matlab 中的Yalmip 優化工具集成器和SDPT 3.0來求解系統矩陣中含PID參數的時滯電力系統處于定常時滯(u=0)和時變時滯(u=0.5)情況下，PI 控制增益與系統時滯穩定上界之間的關系。運算結果如表3、4 所示。

表3 KP、KI 分別取不同值時的系統時滯上界τmax(u=0)

表4 KP、KI 分別取不同值時的系統的時滯上界τmax(u=0.5)

從表3 中可以看出，處于定常時滯(u=0)的情況下，當LFC 系統中的控制增益參數KP、KI分別給定不同值時，應用本文新判據得出的仿真結果明顯優于文獻[14, 17]中的結果，并且其計算值非常接近于系統最大允許時滯上界理論值，如圖4 所示。

圖4 不同時滯下的系統頻率偏差(KP=KI=0.4，u=0)

從圖4 中可以看出，當τ=3.472 s 時，經過LFC系統的二次調頻使系統頻率偏差快速收斂到0，這說明通過文獻[14]中的穩定判據得到的系統仿真結果非常保守，而當τ=3.950 s 時，系統頻率偏差仍然呈收斂趨勢，但是保守性得到了極大改善，當τ=4.050 s 時，系統頻率偏差呈發散狀態，這意味著當KP=KI=0.4，u=0 時，該系統的時滯穩定上界取值范圍在3.950～4.050 s。然而，應用本文新判據獲得的時滯穩定上界為3.980 s，這說明應用本文新判據獲得的最大允許時滯上界非常接近于理論值，同時，也充分證明了本文新判據的正確性。事實上，當τ=3.980 s 時，KP=KI=0.4，u=0 時系統頻率偏差如圖5 所示。

圖5 τ=3.980 s 時的系統頻率偏差(KP=KI=0.4，u=0)

另外，由表3、4 還可以觀察出，增益參數KP、KI的選取會對系統的最大允許時滯上界產生一定影響。當增益參數KI一定時，系統時滯穩定上界隨KP的增大呈先增大后減小的趨勢；而當增益參數KP一定時，系統的最大允許時滯上界隨著KI的增大而減小。

綜上所述，將本文定理2 應用在典型二階系統與含PID 參數的LFC 系統中，都能使系統的保守性得到極大改善，上述試驗仿真結果充分驗證了這一結論的正確性。

5 結論

為了分析系統矩陣中PID 參數對時滯LFC 系統穩定性的影響，本文以建立的時滯電力系統數學模型為基礎， 考慮了構建時滯乘積型Lyapunov-Krasovskii 泛函、擴展的逆凸二次不等式方法，推導出一個時滯電力系統穩定新判據，通過試驗仿真得到如下結論。

(1) 通過將新判據應用于兩個典型二階矩陣方程算例與一個LFC 系統矩陣方程算例中，試驗仿真結果驗證了新判據的正確性以及在改善系統保守性方面與其他工作相比具有顯著優勢。

(2) 當系統處于定常時滯或時變時滯情況下，改變增益參數KP、KI的取值，系統的時滯穩定裕度與PI 控制增益會呈現一定關系。