一類帶次線性中立項和阻尼項的三階泛函微分方程的Philos型振動結果

林文賢

（韓山師范學院 數學與統計學院，廣東 潮州 521041）

在日常生產生活中，振動現象司空見慣，如汽車振動、聲帶振動、電磁振動、熱運動、火箭發射、原子運動等.由于振動的復雜性，人們往往通過簡化假設來建立相應的數學模型，用相對簡單的數學方法來描述復雜的振動問題，這就是動力學方程的振動理論.動力學方程振動理論是微分方程定性理論的一個重要分支，在控制工程、機械振動、生物制藥、力學等領域具有重要的應用價值.

1836 年，Sturm 在熱傳導研究中首次研究了二階動力學方程的振動性.20 世紀70 年代和80 年代，隨著研究的深入，微分方程振動理論逐漸成為國內外學者研究的重點，研究對象已從線性微分方程擴展到次線性方程、半線性方程、超線性方程等情況.方程的階數從二階擴展到三階，再擴展到偶數階，從連續動力學方程擴展到離散動力學方程和時間尺度動力學方程，所研究的方程也從一般情況推廣到時滯方程、中立型方程、阻尼型方程等.

急動度是描述機械運動的一個重要基本概念.文獻［1］介紹了位移對時間的三階導數——抖動程度的歷史背景，以及其在星輪、凸輪等間歇運動機構設計中的應用.作為加速度隨時間變化的速率，抖動是變加速度動力學的一個基本概念，它與三階微分方程密切相關.近年來，泛函微分方程解的振動性和漸近性引起了人們的廣泛關注.本文考慮一類三階非線性中立型阻尼型泛函微分方程.

由于三階微分方程的實際應用背景，近年來，三階泛函微分方程的振動性和漸近性研究開始受到廣泛關注，成果可以參看文獻［1-16］.文獻［4］考慮了三階時滯微分方程

的振動性.文獻［5］考慮了三階半線性中立型微分方程

的振動性，顯然，上面文獻［4，5，8，10］所討論的微分方程為方程（1）的特例.

在本文中記I=[t0,+∞),R+=(0,+∞)，且假設下列條件成立

（Z1）α,κ都是兩個正奇整數之比，且0<κ≤1；

（Z2）a(t)∈C(I,R+),m(t),b(t)∈C(I,[0,+∞)),a′(t)≥0，0 ≤m(t)≤M<1,且

本文的目的是利用廣義Riccati 變換、不等性技術和J－函數技巧，建立保證該類方程的所有解Philos型振動或收斂于零的新的充分條件，推廣和改進文獻［4，5，8，10］的相應結果.

1 引理

引理1[18]設u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0，則對任一θ∈(0,1)存在Tα≥t0，使得

引理2[19]設u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>,u?(t)≤0,t≥Tα則存在β∈(0,1)和Tβ≥Tα，使得

引理3[20]設0<λ≤1，則

①Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ，X,Y為非負實數，

②(1 +X)λ≤1 +λX,其中1 +X>0.

引理4[20]設A,B是非負常數，則Aγ+(γ- 1)Bγ≥γABγ-1，(γ>1)，當且僅當A=B時等號成立.

引理5 設x(t)是方程（1）的最終正解，令

則y(t)只有下列兩種可能，即存在T≥t0，使得當t≥T時有

(A)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0;(B)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0;

證明：設x(t)是方程（1）的最終正解及條件（Z3），存在t1≥t0，當t≥t1時，有x(t)>0,x(σ(t))>0，x(g(t))>0，易知，y(t)>x(t)>0且

上式中令t→∞，利用（Z2），有y′(t)→-∞，因此，y′(t)最終為負.但是，由y′(t)和y″(t)最終為負，可知y(t)最終為負，此與y(t)>0 的假設矛盾，故有y″(t)>0.因此，y(t)只能有（A）和（B）兩種類型，引理5證畢.

2 主要結果

引進如下一類函數X.令D0={(t,s)|t≥s≥t0}，D={(t,s)|t>s≥t0}.稱函數J(t,s)∈C1(D,R)為屬于X類，記作J∈X，如果滿足以下條件

（?。㎎(t,t)= 0,t≥t0;J(t,s)>0,(t,s)∈D0;

（ⅱ）J在D0上第二個變量有連續非正的偏導數.

定理1 設存在函數J∈X和h∈C(D0,R),ρ∈C1(I,R+)，使得

θ,β由引理1和引理2所定義，則方程（1）的每一解x(t)振動，或者當t→∞時x(t)→0.

證明 設方程（1）存在非振動解x(t)，不失一般性，設x(t)>0，t≥t1≥t0（對于x(t)<0 的情況可用同樣的方法證明），根據引理5，由（2）所定義的y(t)具有性質(A)或(B).

（?。┤魕(t)具有性質(A)，則y′(t)>0，且由引理3有

在不等式（13）中應用引理4，得到

注1設若取J(t,s)=(t-s)n，則定理1成為方程（1）的Kamenev型振動準則.

注2定理1推廣和改進了文獻［4，5，8，10］的相應結果.