一類行列式的差分法求解及推廣

陳 滔，譚學忠

（1.華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510630；2.廣東財經大學 統計與數學學院，廣東 廣州 510320）

行列式是《高等代數》中的重要內容之一.由于計算的技巧性強，沒有統一的方法可循，因此也是學習中的一個難點.已有的許多文獻對行列式的計算技巧進行的總結，方法包含化三角形法、加邊法、遞推法、數學歸納法、拆項法等，同時一些特殊類型的行列式也成為了研究的熱點［1-6］.本文以一道考研行列式題目為例，給出差分法求解方法.

下面是北京大學的一道考研試題：

計算下面的行列式

提出一個更一般的問題，如何計算? 本文首先介紹差分的定義和符號，給出n階差分的表達式，其次給出高階等差數列的定義和若干性質，再次給出了行列式的一個重要性質及其計算公式，最后提出尚未解決的問題.

1 差分與高階等差數列

本節主要給出差分和高階等差數列的定義，同時給出兩個與差分相關的引理，這兩個引理在后面的證明中起著重要的作用，關于高階等差數列的更多知識請參考文獻［7-10］.

?記為差分算子，ak記為某一數列的第k項則

一階差分：Δak=ak+1-ak;

二階差分：Δ2ak=Δak+1-Δak;

一般地，n階差分：Δnak=Δn-1ak+1-Δn-1ak.

下面的引理給出了一個數列的第i項的n階差分的計算公式.

引理1 設數列{an} 的第i項為ai，則

證明采用數學歸納法證明.

當n= 1 時，有a2-a1所以奇階成立.當n= 2 時，有a3- 2a2+a1所以偶階成立.

分別假設n= 2p- 1,n= 2p時，（p∈N+）奇偶階都成立.現在考慮n= 2p+ 1 的情況.我們只考慮a1的情形，由假設有

證明對t作第二類數學歸納法：

當t= 1,n>1時,

事實上，上述引理給出了一個特殊高階等差數列的差分性質，將在后文中運用差分公式證明其為一個高階等差數列，為此先介紹高階等差數列的概念，并給出一些性質.

定義1 若{an} 第k階差分為等差數列，則稱{an} 為k階等差數列.

定義2 在等差數列中，需要經過一次以上差分運算才能觀察得到的高階等差數列的公差稱為隱藏公差，記作d.

性質1［9］數列{an} 任意項的差分為零當且僅當{an} 是常數列.

性質2［9］若某一數列是一個常數列，并且這一個常數列是通過一階差分得到的，則原數列一定是等差數列.

通過上述性質，可以證明如下結論.

注：上述隱藏公差可以通過差分計算公式即引理1得出，其過程與引理2類似，故此處不再給出.

2 主要結論

對行做與列一致的初等變換，容易發現，此時仍是對元素進行差分運算，次數為r- 1 次.經過初等變換行列式可化為

證明由定理2容易證明.

注：回到開頭的考研題目，n= 100,t= 50,n-t>2, 由定理3知，

3 未解決的問題

本文雖然給出了這一類行列式的兩種情況，但是仍然還有一類情況沒有給出，即n≤t這一類，目前仍然沒有結論，我們將在后續文章中繼續研究.