陣元位置互質的線性陣列：陣列校正和波束形成

梁夢薇 何 勁 舒 汀 郁文賢

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院 上海 200240)

1 引言

自適應波束形成技術是傳感器陣列信號處理的重要研究內容之一，被廣泛應用于雷達、聲吶、通信等領域，用于增強感興趣信號(Signal-Of-Interest, SOI)和/或抑制干擾信號。近年來，國內外學者發展了大量穩健的自適應波束形成(Robust Adaptive Beamforming, RAB)算法，以解決非理想條件下的自適應波束形成問題。根據不同的設計準則，RAB算法主要分為以下幾類：(1)基于對角加載的算法[1-3]；(2)基于特征空間的算法[4,5]；(3)基于高階累積量的算法[6,7]；(4)基于最壞情況優化的算法[8,9]；(5)基于主瓣控制的算法[10,11]；(6)基于干擾噪聲協方差矩陣(Interference-plus-Noise Covariance Matrix, INCM)重建的算法[12-14]。這些算法在陣列流形失配較小的情況下可以取得良好的性能。然而，實際應用中的天線陣列往往受到單元間互耦、通道幅相不一致等影響，使得實際與理想情況下的陣列流形存在較大失配，從而導致以上算法性能的急劇下降。

由于天線單元間的互耦與單元間距成反比，近年來提出的嵌套陣列[15,16]和互質陣列[17-19]等稀疏陣列結構可以有效地降低天線單元間的互耦影響。但是，考慮到嵌套陣列的第一級子陣的單元間距定義為半波長，互質陣列在陣列規模較小時的單元間距也較小，實際使用中的嵌套陣列和互質陣列仍然會受到天線單元間互耦的影響。為了進一步降低天線間互耦對陣列系統性能的影響，文獻[20]中提出了陣元位置互質的線性陣列(Coprime Location Arrays,CLA)結構。與經典稀疏陣列相比，CLA具有以下兩點性質和優勢：(1)CLA任意陣元間距可不受半波長限制，可通過靈活設置陣元間距形成完全稀疏的陣列，從而可以將互耦效應降低至可忽略的水平；(2)由于不存在結構約束，所以相同陣元個數時，CLA可具有更大的陣列孔徑，理論上可獲得更高的測角精度。

CLA陣列校正本質上屬于陣列校正問題。在過去十幾年中，學者提出許多有效的陣列校正的方法，這些方法大致可以分為自校正方法和有源校正方法兩類。自校正算法通過優化算法實時完成信號源方向和陣列誤差聯合估計，但通常需要較大的運算量；有源校正方法需要布設方向信息精確已知的輔助信號源，計算量較小，但對輔助信號源要求很高。而同時干擾定位與陣列校正(Simultaneous Interference Localization and Array Calibration,SILAC)技術[21]既不需要復雜的優化過程，也不需要設置輔助信號源。但這種算法基于陣元間距不大于半波長的線性陣列，未考慮校準子陣存在稀疏性時可能造成的相位模糊問題。根據定義，CLA屬于完全稀疏陣列(陣列中任意兩個陣元的間距均大于半波長)，CLA陣列校正的主要挑戰是如何克服陣列稀疏性造成的相位模糊問題。由于CLA的概念是近期在文獻[20]提出的，目前尚未有關于CLA陣列校正的相關工作報道。

本文從理論上證明了對于CLA，任意包含Lc≥3個陣元的子陣，其導向矢量均與信號角度構成一對一的映射關系。針對CLA中部分天線單元存在通道幅相不一致的情況，本文提出一種基于同時干擾定位與陣列校正技術的干擾噪聲協方差矩陣重建波束形成方法：CLA-SILAC-INCM算法，來研究CLA的陣列校正和波束形成問題。算法思路概述如下：首先，定義兩個4階累積量矩陣并構造一矩陣束；其次，通過該矩陣束廣義特征值得到一組高精度但模糊的干擾源角度估計值；隨后，對每個模糊的角度值，計算得到與其對應的陣列誤差矢量估計；然后，從理論上證明了當CLA中包含Lc≥3個完全校準的單元時，這兩組模糊估計(干擾源角度估計和陣列誤差矢量估計)可以彼此解模糊，從而得到高精度無模糊的干擾源定位和陣列校正；最后，利用SILAC的結果，完成INCM的重建和最優波束形成權向量的構造。CLA-SILAC-INCM算法無需積分/求和、優化等運算，且具有比其他常用算法更好的性能，尤其是信噪比接近干噪比時，性能優勢更為明顯。

文中的符號使用說明如下。斜體字母表示變量，斜體加粗的大寫字母和小寫字母分別表示矩陣和向量，I表示單位矩陣，0表示零矩陣或零向量，1表示元素均為1的列向量。[.]T、[.]*、[.]H分別表示轉置、復共軛和共軛轉置運算，[.]?表示偽逆運算，diag[.]表示以括號中的元素為主對角線元素構成的對角矩陣。 E [.]表示求數學期望。

2 模型與問題描述

考慮一個由L個天線單元組成的線性陣列，第一個天線單元為坐標原點，第l個天線單元的坐標dl=ml×λ/2, l = 2, 3, ···, L，λ為信號波長。若對任意l1, l2∈[2,L]，ml1與ml2互質，則該陣列為陣元位置互質的線性陣列，即CLA。有K ＜ L個遠場窄帶信號，分別從θk∈[- π/2, π/2]方向入射到陣列上。不失一般性，令第K個信號為期望信號，剩余K - 1個信號為干擾信號。陣列接收信號模型如圖1所示。

圖1 陣列的信號接收示意圖

在時刻t，陣列接收信號可以表示為

其中，A=[a1,a2, ···,aK-1,aK]為陣列流形矩陣，ak=a(θk),k = 1, 2, ···, K - 1，為干擾信號的導向矢量；aK=a(θK)為期望信號的導向矢量，為與干擾信號導向矢量進行區別，通常將aK記為as，θK記為θs。s(t) = [s1(t), s2(t), ···, sK(t)]T為信號矢量。n(t)表示噪聲矢量，xs(t) =assK(t)表示期望信號分量，表示干擾信號分量。對于完全校正的陣列，入射方向為θ的信號的導向矢量為

若陣列沒有完全校正，接收通道間會存在幅度-相位不一致性。此時，接收信號修正為

式中，G= diag[g],g= [g1, g2, ···, gL]T表示陣列誤差矢量，該矢量與入射信號方向無關，gl為復數，其模和幅角分別表示第l個接收通道的幅度誤差和相位誤差，若該接收通道已校正，則gl= 1。B=GA表示考慮接收通道幅相誤差后的陣列流形矩陣。

波束形成的目標是設計權向量w= [w1, w2, ···,wL]T，使得輸出信號干擾噪聲比(Signal-to-Interference plus-Noise Ratio, SINR)最大。其中最常用的一種算法是最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR) 波束形成器，最優權向量表示為

本文的目標是：(1) 估計干擾源方向θk, k = 1,2, ···, K - 1和陣列誤差矢量g，實現干擾源定位和陣列校正；(2) 精確重建干擾噪聲協方差矩陣Ri+n和期望信號導向矢量bs，實現最優波束形成權向量的估計。本文后續算法的發展基于以下假設：

(a)信號到達方向互不相等，即當k1?=k2時，θk1?=θk2，且干擾信號在期望信號的主瓣波束之外。

(b)信號源s1(t), s2(t), ···, sK(t)是相互獨立的非高斯信號。

(c)噪聲假設為加性復高斯白噪聲，與期望信號和干擾信號間統計獨立。

(d)信號總個數K已通過預處理方法，如信息論方法[22]、平滑秩序列法[23]、蓋式圓方法[24]、正則相關方法[25]等正確估計。

(e)已校正陣元的序號i1, i2, ···, iLc及個數Lc明確已知。

3 同時干擾源定位與陣列校正

當天線陣列間存在通道幅相不一致性時，會因導向矢量失配造成參數估計精度降低，波束形成性能變差。為對陣列進行校正，本節提出一種針對CLA的同時干擾源定位與陣列校正算法。該算法包含3個主要步驟：首先，構造1個4階累積量矩陣束，通過計算矩陣束的廣義特征值得到一組高精度但模糊的干擾源角度估計值；隨后，對每個模糊的角度估計值，計算得到與其對應的陣列誤差矢量估計；最后，通過解模糊處理得到高精度且無模糊的干擾源角度和陣列誤差矢量估計。

為了更好地理解算法的核心思想，首先給出累積量的定義。累積量衡量了任意隨機變量偏離正態(高斯)分布的程度，高斯隨機過程大于2階的累積量均為零。根據中心極限定理，陣列接收信號中的噪聲為隨機的，可以建模為高斯白噪聲。而期望信號往往是確定性的，具有非高斯特性。因此，使用高階累積量可以自動抑制高斯噪聲并提取出有用的非高斯信號。此外，高階累積量具有過程相位可檢測性[26]，可保留接收信號中的相位信息，因此，使用累積量可以提取到干擾源的位置(角度)信息。本文算法基于4階累積量來發展，信號xm(t), xn(t),xp(t), xq(t)的4階累積量定義為[27]

其中，xl(t)表示x(t)中的第l個元素，將xl(t)簡寫為xl。假設第1個陣元和第l個陣元已校正，式(5)中令m=n=1,p,q=1,2,...,L，可以得到一個L×L維矩陣C1，表示為第1個天線單元對應的虛擬子陣的4 階累積量矩陣。同樣，令m=l,n=1,p,q=1,2,...,L，得到另一個L×L維矩陣Cl，表示為第l個天線單元對應的4階累積量矩陣。由于s1(t),s2(t), ···, sK(t)彼此獨立，根據文獻[27]中累積量的性質推導出

3.1 信號方向的模糊估計

利用累積量矩陣C1和Cl可以構造矩陣束C1-zCl，其中z表示一復數。根據式(6)和式(7)可以推斷出該矩陣束的廣義特征值為Pl的所有對角元素。因此，可以通過使用ESPRIT算法[28]的思想求解上述矩陣束問題來獲得Pl和B的估計。算法可通過對矩陣C=進行奇異值分解實現，具體描述如下。對C進行奇異值分解，得到K個主左奇異矢量(與K個較大奇異值對應的奇異矢量)，記為u1,u2, ···,uK。這些左奇異矢量共同構成信號子空間Us= [u1,u2, ···,uK]，且滿足

其中，T表示一K×K維非奇異矩陣。令U1和Ul分別表示Us的前L列和后L列，可以得到U1=BT，Ul=BPlT。進一步計算可以得到Ul=U1T-1PlT，利用此式可以得到

根據式(9)，矩陣D的特征值和特征矢量分別為矩陣Pl和矩陣T的估計值。在得到T的估計之后，利用式(8)，可以得到矩陣B的估計。

3.2 陣列誤差矢量的模糊估計

矢量bk可以表示成

根據式(12)，可以得到一組模糊的陣列誤差矢量估計，表示為

其中，n的取值范圍與式(10)中的定義相同。

3.3 解模糊處理

同時干擾源定位與陣列校正的最后一步是對得到信號方向的模糊估計和陣列誤差矢量的模糊估計進行解模糊處理。為推導解模糊算法，先給出以下定理。

定理1對CLA，正確解模糊的充分條件是已校正天線單元個數Lc≥3。

首先證明，對于CLA，當Lc≥3時，任取Lc-1個天線單元與第一個天線單元構成Lc元子陣，其導向矢量不存在模糊。采用反證法證明。不妨設任意Lc元子陣的天線單元在C L A 中的序號為1,i2,...,iLc，假設存在θ1?=θ2使得該子陣上的導向矢量相同，即

可以推出

對k = 1, 2, ···, K - 1依次進行以上處理，可估計出所有干擾信號的來波方向。在此基礎上建立方程

4 波束形成權向量設計

通過第3節的分析，得到了干擾源方向和陣列誤差矢量的估計。本節在此基礎上，利用校正后的陣列導向矢量重建干擾噪聲協方差矩陣，并設計波束形成權向量。

基于噪聲與干擾信號相互獨立這一假設，可以得到

在得到干擾信號功率和噪聲功率的估計后，可以重建INCM為

利用3.3節得到的陣列誤差矢量估計，可以重構SOI導向矢量為

綜合以上分析，可以設計波束形成算法的權向量為

提出的算法與其他相關算法相比，具有以下優勢：(1)對陣列誤差進行了校正，可以更精準地實現對干擾源的定位；(2)對陣列誤差進行補償后，利用校正后的干擾信號導向矢量代替其他相關算法中使用的理想情況下的導向矢量，能夠精確重建干擾噪聲協方差矩陣，降低了陣列流形失配對波束形成算法造成的性能損失；(3)在重構干擾噪聲協方差矩陣時，所提算法無需積分、求和、優化等運算，計算復雜度低。

5 仿真分析

本節將通過計算機仿真對提出算法的性能進行分析。假設CLA是由10個天線單元組成的部分校正陣列，ml從l = 2開始取相鄰質數，m1取0，第1, 2,8, 10個天線單元為已校正陣元?？紤]空間中有3個信號，第1個信號和第2個信號為干擾信號，分別從θ1=35°和θ2=-25°方向入射到陣列上，干噪比(Interference-to-Noise Ratio, INR)設置為30 dB，第3個信號為期望信號，從θs=10°方向入射到陣列上?？紤]噪聲為零均值的復高斯白噪聲，歸一化功率為1。采樣數設置為200，除圖2外，本節所有結果圖上的點均通過200次獨立蒙特卡羅模擬獲得。

圖2 CLA各天線單元幅度和相位的標準值、實際值和估計值

為了對比分析CLA-SILAC-INCM算法的性能，將其與采樣矩陣求逆(Sample Matrix Inversion, SMI)算法[29]、對角加載SMI(Diagonal Loading SMI, LSMI)算法[1]、特征空間分解(Eigen-Space Decomposition, ESD)算法[4]、最差情況下性能優化(the Worst-Case Performance Optimization, WCPO)算法[8]、INCM-INT(the INCM reconstruction beamformer using INTegral)算法[12]、INCM-SPE(the INCM reconstruction beamformer using Simplified Power Estimation)算法[13]、INCM-RMT(the INCM reconstruction beamformer using the Random Matrix Theory)算法[14]的性能進行比較。其中LSMI算法中的加載因子設置為噪聲功率的2倍，WCPO算法中失配因子的上界設置為陣元數的0.3倍，并使用MATLAB中的CVX軟件包來求解優化問題，INCM-INT算法中期望信號所在方向覆蓋的角度范圍設置為Θ=[θs-5°,θs+5°]，則對應的干擾信號方向所在區間為Θˉ =[-90°,θs-5°)∪(θs+5°,90°]，網格間隔設置為0.1°。為了評估波束形成性能，將最優波束形成器的性能也繪制在圖中作為參考。

5.1 陣列校正性能

在理想條件下，測量通道不存在幅相誤差，g=1，此時gl的幅度和相位分別為各陣元幅度和相位的標準值。實際應用中，陣列天線會存在通道不一致性，為了驗證提出算法對陣列校正的有效性，在仿真實驗中用提出算法估計陣元的實際幅度和相位。假設陣列幅度誤差和相位誤差服從相互獨立的均勻分布，從均勻分布U(0.5,1.5)和U(- π/2, π/2)中產生隨機數分別作為未校正陣元幅度和相位的實際值，第1, 2, 8, 10個天線單元為已校正陣元，g1=g2=g8=g10=1?？臻g中存在3個遠場窄帶信號，分別從35°,-25°,10°方向入射到陣列上，且3個信號與噪聲的功率比SNR均為30 dB。采樣數設置為200。圖2繪制了各陣元幅度和相位的標準值、實際值和提出算法計算得到的估計值?？梢钥吹?，當CLA的陣元存在隨機的幅度和相位誤差時，提出的算法能夠正確估計這些誤差，從而實現陣列校正。

5.2 陣列完全校正時的性能

考慮陣列完全校正的情況，此時不存在導向矢量失配，即G=I。圖3給出了不同算法的輸出SINR隨輸入SNR的變化關系曲線?？梢钥闯?，當SNR較小時，除ESD算法外，其他算法都能近似達到最優算法的性能。而當SNR較大時，SMI, LSMI,WCPO算法的性能都有較大程度的損失。ESD算法在SNR大于-10 dB小于10 dB時性能良好，而SNR過小或過大時性能都較差。由于不存在導向矢量失配，所以基于協方差矩陣重建的INCM-INT,INCM-SPE, INCM-RMT和提出的算法均能有效消除期望信號分量，精確重建R?i+n，所以4種算法的形成性能幾乎相同，能在整個SNR范圍內近似達到最優性能。

圖3 陣列完全校正時的波束形成

5.3 存在方向誤差時的性能

考慮陣列存在δθ的方向失配，這種失配可以是由于天線沒有指向δθ=0°導致的。對于從θ方向入射的信號，陣列方向失配導致它看上去是從θ+δθ方向入射的，所以在第l個天線單元上產生一個固定的相位失配e-j2πd?sinδθ/λ。對部分校正陣列，仿真中假設方向誤差只出現在未校正的天線單元上。

假設陣列方向失配δθ=2°，不同算法的輸出SINR性能如圖4所示。由于存在導向矢量失配，所以提出的算法外的其他算法都出現性能損失，尤其在SNR較高時性能損失明顯，其中INCM-SPE算法無法對部分校正的CLA陣列做波束形成，故未畫出。INCM-INT算法重建INCM時依賴于完全校正的導向矢量，所以當陣列存在失配時，INCMINT算法有嚴重的性能損失。ESD算法將假設的導向矢量向樣本的信號加干擾子空間做了投影，一定程度上降低了失配對波束形成性能的影響。提出的算法能夠對陣列失配進行校正，故在存在陣列方向失配時能保持良好的波束形成性能。當SNR小于INR時，提出算法的性能非常接近最優性能，性能差距不超過0.5 dB；當SNR大于INR時，提出算法的性能較最優性能略有降低。

圖4 陣列存在方向誤差時的波束形成

5.4 陣列存在隨機幅度和相位誤差時的性能

考慮未校正陣元上存在隨機的幅度和相位誤差。假設幅度誤差和相位誤差分別服從[-0.1,0.1]和[- π/2, π/2]上的均勻分布。圖5給出了不同算法的輸出SINR性能，結果與5.3節中陣列存在方向誤差時的結果相似，提出算法的性能依舊接近最優性能，具有很高的魯棒性。

圖5 存在隨機幅度相位誤差時波束形成

5.5 復雜環境下的波束形成性能

信號在復雜的環境中傳播時可能會發生散射、波前失真等現象，期望信號的方向也可能發生失配。這一小節比較以下3種情況下算法的性能：(1)期望信號波達方向失配，假定的期望信號方向=8°，實際的期望信號方向θs=10°；(2)期望信號存在相干局部散射，此時實際的導向矢量為=as+其中{ψp,p=1,2,3,4}由獨立同分布的高斯隨機過程N(θs,1°)產生，{?p,p=1,2,3,4}是[0,2 π]之間的獨立均勻分布隨機數；(3) 期望信號存在波前失真，假設每一次蒙特卡羅實驗中，期望信號波前的相位增量畸變獨立地從高斯隨機過程N(0,0.042rad)中產生。

使用5.4節中的CLA陣列，各種算法的SINR結果如圖6所示。在期望信號存在方向失配時，提出算法的波束形成性能略有損失，較最優性能下降3 dB左右，但仍明顯優于其他波束形成算法。當期望信號存在相干局部散射時，提出算法的波束形成性能在SNR大于INR時出現較明顯損失，但與其他波束形成算法相比仍有明顯優勢。當期望信號存在波前失真時，提出算法的波束形成性能幾乎沒有損失，依舊能很好地接近最優性能。因此，提出的算法在復雜的環境中仍十分有效，具有很好的魯棒性。

圖6 復雜環境下的波束形成

5.6 雷達目標探測中的應用

為進一步評估算法在實際應用中的性能，給出了CLA-SILAC-INCM算法在雷達目標探測中的應用實例。假設一X波段陣列雷達包含10個接收通道，接收天線按CLA布置，各天線的坐標分別為[0,2,3,5, 7,11,13,17,19,23]×λ/2，其中第1, 2, 8,10個通道完全校正，其他通道存在幅相誤差，復增益分別為g3=1.2e-j25π/180,g4=0.9ej5π/180,g5=1.05e-j60π/180,g6= 1.09ej15π/180,g7= 0.95ej75π/180,g9=0.92e-j45π/180。雷達為連續波體制，中心頻率為10 GHz，采樣頻率為51.2 kHz，采樣點數為512，相參處理時間為0.01 s。計算得到該雷達的最大無模糊徑向速度為384 m/s，速度分辨率為1.5 m/s。假設空間內θs= 10°方向有一個20 dB的目標信號，θi= [-20°,30°]兩方向有兩個50 dB的干擾信號，目標信號和干擾信號獨立且均為非高斯信號，目標徑向速度為90 m/s?？紤]系統在接收信號時產生功率為1的零均值高斯白噪聲。

當波束形成權向量為w=as時(靜態加權)，多普勒圖如圖7(a)所示，很明顯目標信號完全淹沒在干擾信號中。當使用提出的CLA-SILAC-INCM波束形成算法時，多普勒圖如圖7(b)所示，目標被成功檢測出來，并且峰值對應的速度90.9276 m/s為目標的估計速度，估計誤差在一個速度分辨單元內。

圖7 目標探測多普勒圖

6 結束語

本文針對部分校正的CLA，提出了一種有效的陣列誤差校正和波束形成算法。文章在理論上證明了當CLA包含有Lc≥3個完全校準的天線單元時，使用SILAC技術可以高精度無模糊地實現干擾源方向和陣列天線幅相誤差估計，并在此基礎上完成INCM重建和波束形成最優權向量構造。針對大量場景進行的仿真試驗結果表明，提出的CLA-SILACINCM算法具有比其他常用算法更好的性能，顯示出良好的魯棒性。