涉及無零點的亞純函數的正規定則

陳鵬斌,楊 祺

(新疆師范大學 數學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)

1 主要結果

文獻[2]證明了定理1.

定理1[2]設為區域內一亞純函數族,k是一正整數,h(z)是區域內不恒為0的全純函數.若對于任意f(z)∈,如果f(z)≠0且f(k)(z)≠h(z).則在區域內正規.

文獻[3]考慮零點的個數,證明了定理2.

定理2[3]設為區域內一族非零亞純函數,k為正整數,若對于任意f(z)∈,f(k)(z)-1至多有k個不同零點,則在區域中正規.

文獻[4]將定理3中的例外函數由1推廣到全純函數h(z),得到定理3.

定理3[4]設為區域內一族非零亞純函數,k是一正整數,h(z)(?0)是區域的全純函數,若對于任意f(z)∈F,f(k)(z)-h(z)至多有k個不同零點,則在區域內正規.

文獻[5]將h(z)是區域內不恒為0的全純函數替換為h(z)是區域內不恒為0的亞純函數,證明定理4.

定理4[5]設為區域內一族非零亞純函數且所有的極點是二重,k是正整數.h(z)(?0,∞)是區域內亞純函數且所有極點是簡單極點.若對于?f∈,f(k)(z)-h(z)至多有k個不同零點(不計重數).則在區域上正規.

隨后許多學者對涉及零點相關的正規定則進行深入研究,并取得許多有意義的結果[6-7].本文研究這一問題,是否可以將定理4中f(k)(z)推廣到關于f的微分多項式,得到定理5.

定理5設為區域內一族非零亞純函數且所有的極點是二重,k是正整數.h(z)(?0,∞)是區域內亞純函數且所有極點是簡單極點.若對于?f∈,L(f)-h(z)至多有k個不同零點(不計重數).則在區域上正規.

例1設k是正整數.則對于任意的fn∈,在區域內有k個零點(不計重數),但是在區域內不正規,說明定理1中所有函數的極點是二重這一條件不能省略.

例2設k是正整數,則對于任意的fn∈,在區域內有k個零點(不計重數),但是在區域內不正規,說明定理1中h的極點是簡單極點不能省略.

例3設k是正整數,則對于任意的fn∈,在區域內有k+1個零點(不計重數),但是在區域內不正規,說明定理1中條件(L(f))(z)-h(z)至多有k個零點是最好的.

2 相關引理

引理1[8]設為區域內一族非零亞純函數族,α∈R且滿足-1<α<∞,若在z0∈不正規,則存在:

(i)點列zn,zn→z0;

(ii)函數列fn∈;

(iii)正數列ρn→0+.

引理2[9]設f是有窮級超越亞純函數,k是正整數.a(z)(?0)是多項式.若f的零點重級均大于等于k+1,則f(k)(z)-a(z)有無窮多個零點.

引理3[3]設f是非常數有理函數,k是正整數.若對于任意f(z)≠0,則f(k)(z)-1至少有k+1個不同零點(不計重數).

引理4[10]設f是超越亞純函數,R(z)(?0)是有理函數,k是正整數.假設至多除去有限個之后,f的所有極點是二重且所有零點重級均大于等于k+1,則f(k)(z)-R(z)有無窮多個零點(不計重數).

引理6設={fn}是區域內的一族亞純函數,k是正整數.{φn}是區域內的一列全純函數且φn(z)→φ(z)(≠0).若對于?fn∈,滿足fn(z)≠0,且L(fn(z))-φn(z)至多有k個不同零點(不計重數),則在區域上正規.

證明假設在z0∈不正規,不失一般性,假設φ(z0)=1.由引理1可知,存在點列zn→z0,函數列fn(z)∈,正數列ρn→0+使得在復平面上按球距內閉一致收斂于非常數亞純函數g(ξ),并且g(ξ)≠0.

因此,g(k)(ξ)-1至多有k個不同零點.

事實上,假設g(k)(ξ)-1有k+1個不同零點ξj(1≤j≤k+1),顯然,g(k)(ξ)?1.由于

L(fn(zn+ρnξ))-φn(zn+ρnξ)=

→g(k)(ξ)-1.

由Hurwitz引理可知,當n充分大以后,存在ξnj→ξj(j=1,2,…,k+1)使得L(fn(zn+ρnξnj))=φn(zn+ρnξnj).又由引理6條件可知,L(fn(z))-φn(z)至多有k個不同零點,并且zn+ρnξnj→z0,從而與假設矛盾.

因此由引理2可知,g(ξ)為有理函數,從而又與引理3矛盾.因此在z0處正規,故在區域上正規.

3 定理的證明

證明由正規局部性及引理6可知,只需證明在h(z)的所有極點處正規即可.不失一般性,不妨設=Δ,并且

其中b(0)=1,且在0<|z|<1內b(z)≠0,∞.以下只需證明在z=0處正規.

下面分2種情況討論.

由于fn(z)≠0,所以Fn(z)≠0.下面證明{Fn(ξ)}在Δ內正規.

又因為

則

L(fn(zn(1+ξ))-h(zn(1+ξ))

即

zn(L(fn))(zn(1+ξ))-znh(zn(1+ξ))

所以存在{Fn(ξ)}的子列{Fnj(ξ)}和亞純函數F(ξ),滿足

若F(0)≠∞,則

從而g(k-1)(ξ)為常數,因此g是一個多項式,故與g(ξ)是一個非零亞純函數矛盾.

若F(0)=∞,則

所以與g(ξ)是非常數亞純函數矛盾.

因此

L(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

ρnL(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

即

L(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

但是從引理4與引理5可以得知,不存在具有上述性質的非常數亞純函數,從而證明F在區域內正規.