基于PSO 算法的半球諧振陀螺慣導系統陀螺溫度補償方法

董銘濤,班鏡超,劉曉慶,王勝蘭,夏 旭

(湖南航天機電設備與特種材料研究所,長沙 410205)

0 引言

半球諧振陀螺(hemispherical resonator gyro,HRG)是一種新型哥氏振動陀螺,具有高精度、高可靠性、極為優異的SWaP(size,weight and power)特性以及抗輻照等優點[1-3]。半球諧振陀螺的核心部件為半球諧振子,由高純熔融石英材料制成。在陀螺正常工作時,外部溫度變化和諧振子振動發熱會引起溫度變化,導致半球諧振子的楊氏模量、密度、半徑等參數發生變化,影響陀螺輸出精度,溫度漂移制約了半球諧振陀螺精度提升。已有研究成果表明,溫度漂移誤差是制約半球諧振陀螺精度提升的關鍵要素[4]。

通常,抑制半球諧振陀螺溫度漂移的方法有溫度穩定法和溫度補償法[5]。溫度穩定法是增加外部溫控系統,維持半球諧振陀螺溫度保持恒定,使陀螺工作在恒溫環境,減小陀螺溫度漂移。其缺點為增加了系統體積和質量,并且由于諧振子處于真空環境,熱傳遞僅依賴熱輻射和支撐桿的熱傳遞,穩定時間較長。該方法常在航天衛星系統中應用[6-7]。溫度補償法是根據半球諧振陀螺隨溫度變化的輸出特性,建立溫度變化的數學模型,通過軟件補償溫度變化引起的溫度漂移,具有不增加系統硬件結構同時提高陀螺精度的優點。

為提高半球諧振陀螺精度,科研工作者在溫度補償法方面做了大量工作。Wang等[8]利用諧振子可以作為一個高精度溫度傳感器的特點,對單陀螺開展多個溫度點下的溫度-頻率標定試驗,以溫箱溫度為基準,利用最小二乘擬合方法獲取溫度-頻率函數的系數,同時,利用逐步線性回歸的方法,建立以諧振子諧振頻率為自變量、陀螺零偏為因變量的溫度補償模型,提高了半球諧振陀螺在大溫度范圍內的使用精度。以溫箱溫度為基準建立溫度-頻率函數的方法,適用于單一陀螺,而利用逐步線性回歸方法建立溫度補償模型,僅通過多次試驗方法確定模型階次,具有一定的不可變性。

趙建宇等[9]將半球諧振子溫度變化理解為一階慣性環節,建立陀螺輸出零偏隨諧振子溫度變化的數學模型,利用遺傳算法優化BP 神經網絡補償溫度漂移。然而,陀螺零偏與半球諧振子溫度變化并非嚴格的一次關系,還需要深入完善設計數學模型,同時,僅考慮了溫度變化并未考慮溫度變化率的影響。李廣勝等[10]根據溫度變化和溫度變化率間的相關性,建立半球諧振陀螺溫度漂移的多項式數學模型,利用多項式擬合法確定模型最高次數為6,增加了溫度求解的計算量。吳宗收等[11]將半球諧振陀螺溫度漂移誤差分為確定性誤差和不確定性誤差,在補償確定性誤差的基礎上,利用改進PSOARMA(particle swarm optimization-autoregressive moving average model)方法補償不確定性誤差。對于確定性誤差,并未考慮溫度變化二次項的影響。

針對現有半球諧振陀螺溫度補償法存在的不足,提出一種基于粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法的溫度補償方法。首先,以HRG 慣導系統中陀螺外側測溫電路溫度為基準,引入逆向擬合思想,提出一種基于諧振頻率的半球諧振陀螺溫度輸出方法;其次,建立溫度補償模型,考慮模型具有非線性特點,引入PSO 算法求解模型系數;最后,開展溫度試驗,驗證算法的有效性。

1 HRG 慣導系統溫度補償方法總方案

以某國產力平衡式HRG 為基礎搭建慣導系統,研究HRG 溫度補償方法,總體方案如圖1 所示。力平衡模式也稱為閉環檢測模式,工作原理為:當HRG 旋轉時,半球諧振子上的駐波相對HRG 殼體開始進動,通過力反饋控制回路對半球諧振子施加反饋力進行激勵,使駐波克服科里奧利力效應與HRG 殼體實時保持一致,根據半球諧振子的反饋力計算HRG 的理論旋轉角速度。

在圖1中,HRG 慣導系統能同時輸出陀螺信息和諧振頻率信息。首先,開展多組溫度試驗獲取不同溫箱溫度點下的HRG 諧振頻率值、測溫電路溫度值。在此基礎上,以測溫電路溫度為基準,建立溫度-頻率模型。引入逆向擬合思想,解決由諧振頻率求解陀螺溫度值時,需要實時求解一元三次方程,導致上位機解算負擔大、無法實時輸出溫度的問題。獲得HRG 溫度輸出模型,替代了傳統陀螺測溫電路。其次,在HRG 溫度模型基礎上,以溫度變化、溫度變化率及兩者交叉項為自變量,以陀螺輸出零偏為因變量,建立半球諧振陀螺溫度補償模型。根據HRG 陀螺輸出值,引入PSO 算法求解溫度補償模型的模型系數,補償由溫度引起的HRG零位漂移。

2 基于諧振頻率的HRG 溫度輸出方法研究

Wang等[8]針對單陀螺開展溫度-頻率標定試驗,以溫箱溫度為基準,求解溫度與諧振頻率的函數,為陀螺溫度補償作鋪墊。在實際應用中,通常將三只HRG裝配組成慣導系統,用于測量載體的角速度進而實現導航功能,適用于單陀螺的以溫箱溫度為基準求解溫度-頻率函數的方法,未必適用HRG 慣導系統。因此,利用帶溫箱三軸轉臺,開展HRG 慣導系統溫度試驗,研究半球諧振陀螺溫度輸出方法。

在溫度試驗中,除了獲取溫箱溫度外,還在HRG 金屬殼體外側粘貼測溫電路(溫度傳感器為DS18B20,測溫精度為0.062 5 ℃),測量陀螺殼體處溫度。試驗方案如下:溫箱溫度范圍為-40～50 ℃,每10 ℃一個溫度點,依次遞推。在每個溫度點下,先將溫箱保溫5 h,獲得第5 h諧振頻率值和測溫電路溫度值。

統計試驗結果,如表1所示。表1中列出了在各溫箱溫度點(簡稱T1)下的三只陀螺第5 h的諧振頻率值和測溫電路溫度值(簡稱T2),諧振頻率值和測溫電路溫度值都為百秒平滑結果。

表1 各陀螺諧振頻率和T 2Tab.1 The natural frequency and the T 2 of each gyros

2.1 以測溫電路溫度為基準的HRG 溫度-頻率方法

(1)以溫箱溫度T1為基準

在Wang等[8]溫度-頻率標定方法基礎上,以T1為基準,求解HRG 溫度-頻率模型。以Gx陀螺為例,說明以T1為基準的溫度-頻率標定方法,Gy和Gz陀螺分析方法類似。利用最小二乘法獲得擬合系數,得到溫度-頻率函數f1(T)為

由式(1)可知,三階和二階溫度-頻率系數非常小,溫度與諧振頻率之間不是嚴格意義的線性關系。根據諧振頻率值將式(1)轉換為一元三次方程,通常利用Matlab軟件roots函數求解方程獲得溫度值(簡稱T3),將T3與T1作差并畫圖,如圖2所示。

圖2 T 3 與T 1 差值Fig.2 Difference between T 3 and T 1

由圖2可知,根據Gx陀螺諧振頻率解算的T3與對應的T1相差最大值為0.7 ℃左右,此時溫箱溫度為0 ℃;還有多個溫箱溫度點的溫度差值超過0.1 ℃,與文獻[8]中以溫箱溫度為基準時,溫度精度優于0.1 ℃的結論不一致。因此,以溫箱溫度為基準求解溫度-頻率函數的方法,不能用于獲得HRG 慣導系統的溫度-頻率函數。

(2)以測溫電路溫度T2為基準

同樣以Gx陀螺為例,以測溫電路溫度T2為基準的溫度-頻率函數f2(T)為

在式(2)基礎上,由各個諧振頻率值解算得到T3,將T3與T2作差并畫圖,如圖3所示。

圖3 T 3 與T 2 差值Fig.3 Difference between T 3 and T 2

由圖3可知,在各個諧振頻率值下,以式(2)解算的溫度值與測溫電路溫度的差值未超過0.1 ℃,滿足文獻[8]中的溫度精度判斷方法。上述分析說明,測溫電路更加靠近陀螺,測得的溫度更接近陀螺真實溫度。因此,在HRG 慣導系統中,需要以測溫電路為基準求解溫度-頻率函數。

2.2 基于逆向擬合的HRG 溫度輸出方法

為了實時獲取陀螺溫度,將陀螺輸出諧振頻率值代入f2(T)函數,將式(2)中函數轉變為一元三次方程,利用Matlab軟件的roots函數實時解方程求解溫度。在測試過程中,由于上位機需要實時調用Matlab軟件求解方程,增加了上位機運算負擔,影響陀螺溫度輸出實時性,在工程應用中難以大范圍推廣。在式(2)基礎上,將溫度范圍擴展至-100～100 ℃,繪制溫度-頻率函數曲線,如圖4所示。

圖4 溫度-頻率曲線Fig.4 Temperature-frequency curve

由圖4中曲線可知,溫度與諧振頻率值之間具有一一對應關系,但不是嚴格意義的線性關系(二階系數和三階系數非零)。針對上位機實時解算一元三次方程對采集電腦性能要求高的問題,利用溫度與諧振頻率值之間一一對應的特點,引入逆向擬合思想,即求解頻率-溫度函數,由諧振頻率值實時計算溫度值,減小上位機計算量,提高解算效率和陀螺溫度輸出實時性。

因此,HRG 頻率-溫度函數通式為:T(fs)=afs3+bfs2+cfs+d。以Gx陀螺為例,求解頻率-溫度函數系數為:a=1.792×10-5,b= -2.608×10-1,c=1.267×103,d= -2.056×106。繪制Gx陀螺頻率-溫度曲線,如圖5所示。

圖5 Gx 陀螺頻率-溫度曲線Fig.5 Frequency-temperature curve of the Gx gyro

將求解溫度-頻率函數的過程記為正向解算,將求解頻率-溫度函數的過程記為逆向解算。統計正向解算溫度(即T3)、逆向解算溫度(簡稱T4)以及與T2間的差值,如表2所示。

表2 三種溫度對比Tab.2 Comparison of three temperatures

由表2中結果可知,各諧振頻率點對應的T4與T2的差值都未超過0.1 ℃,滿足文獻[8]中的溫度精度判斷方法。上述分析結果表明,逆向解算方法具有可行性,解決了正向解算時上位機運算負擔大的問題,能夠支撐半球諧振陀螺實時輸出溫度值。同時,基于諧振頻率的半球諧振陀螺溫度輸出方法替代了傳統的陀螺測溫硬件電路,可為慣導系統輕小型設計提供新思路。

3 基于PSO算法的HRG溫度補償方法研究

前文指出,溫度漂移是制約半球諧振陀螺精度提升的關鍵要素,通常利用溫度補償法補償溫度漂移的影響。要想補償陀螺溫度漂移,首先需要建立半球諧振陀螺溫度補償模型;其次,求解溫度補償模型系數。

3.1 HRG 溫度補償模型

半球諧振陀螺在工作過程中,諧振子振動會產生熱量以及受環境溫度影響,導致陀螺的熱場具有不確定性或者出現非均勻性溫度傳導。建立半球諧振陀螺溫度補償模型時,除了考慮溫度變化外,還需要考慮溫度變化率。

在力平衡模式下,陀螺零偏b0由諧振子的振幅A0、阻尼不均勻、耗散角θτ、頻率ω0等參數決定[6],即

若θτ較小時,將式(3)改寫為

式中,γ1和γ2為溫度系數,ΔT為溫度變化率。因此,陀螺零偏b0為溫度變化率的二次函數。

借鑒文獻[8]中零偏補償模型設計經驗,考慮溫度變化、溫度變化率及兩者交叉項,溫度變化率最高次數為2,以及溫度變化最高次數也為2,設計半球諧振陀螺溫度補償模型為

式中,k0為與溫度無關的陀螺零偏值,T為溫度值,ΔT/Δt為溫度變化率,B為陀螺零偏,k1～k5為溫度系數。

3.2 基于PSO 算法的溫度補償方法

熔融石英材料對溫度較為敏感,半球諧振子工作時處于振動狀態,HRG 輸出信息具有較強的非線性[12],同時由式(7)可知,溫度補償模型具有非線性,傳統的擬合方法不能準確地求解模型系數。借鑒其他文獻經驗,引入PSO 算法[13-14],求解溫度補償模型的模型系數。

PSO 算法是一種群體智能計算算法,借鑒鳥類捕食經驗,使得粒子群快速收斂于全局最優解[15]。PSO 算法主要思想為:假定每個粒子表示溫度補償模型的一組系數,將粒子代入溫度補償模型獲取適應度值;粒子具有帶方向的速度值和帶方向的距離值,通過粒子間的合作與競爭,在解空間中跟隨最優粒子不斷迭代尋找全局最優解。

在PSO 算法基礎上,基于PSO 算法的溫度補償算法步驟如下。

步驟1:參數設置和粒子群初始化。

在標準PSO 算法基礎上,開展大量仿真試驗確定算法參數。選擇粒子群規模為N=200,粒子維數D=6,為溫度補償模型待辨識系數個數;粒子位置范圍為[-1,1],粒子速度范圍為[-1,1];最大迭代次數為200,迭代次數影響算法運行時間和模型系數的精度;學習因子c1=c2=1.5,慣性權重w=0.8,表明算法具有更快的收斂速度。粒子群初始化含義為根據設置的參數值生成一組均勻分布在尋優空間中的隨機值。

步驟2:計算初始化個體最優值。

計算個體最優值前,需要先確定適應度函數。在式(7)基礎上,溫度補償模型的適應度函數為

式中,fitness為適應度值;bg(i)為實際陀螺零偏值;B(i)為溫度補償模型值;n為數據總長度,陀螺零偏值為陀螺輸出除標度因數。根據初始化粒子確定粒子群中最優個體值P1best,為算法迭代開始前的最優個體。

步驟3:更新位置和速度值。

在算法迭代過程中,根據粒子最優值更新粒子的速度和位置,計算公式為

式中,w為慣性權重,c1和c2為學習因子,r1和r2為隨機函數rand,生成0到1之間的隨機數,Pk為局部最優值,為全局最優值,Xk為當前粒子位置值,k=1,2,3,…,N。

步驟4:更新個體最優值。

根據粒子群中的位置更新值計算粒子適應度值,并與前一次迭代的最優個體比較。若優于最優個體,則該粒子作為下一次迭代的參考個體,并將最優個體更新為當前個體。

步驟5:算法迭代。

不斷重復步驟3和步驟4,當滿足迭代終止條件時,此時粒子值便為溫度補償模型的最優解。

4 試驗驗證與結果分析

以某國產力平衡式半球諧振陀螺慣導系統為例,利用帶溫箱轉臺開展溫度試驗,三軸方向按北上東放置,慣導系統和溫箱保持靜止,使得半球諧振陀螺僅受地球自轉激勵,采用第2章所提方法實時采集半球諧振陀螺溫度,某次試驗照片如圖6所示。常溫環境下,該慣導系統通電5 h后,測得單陀螺精度為0.3(°)/h。

圖6 HRG 慣導系統溫度試驗照片Fig.6 Temperature tests photo of HRG inertial navigation system

溫度試驗條件如下:從室溫開始降溫,降溫時溫箱選擇設置溫度點降溫模式,待溫箱達到-40 ℃后,保溫5 h;達到保溫時間后,以1 ℃/min開始升溫,待三只陀螺溫度都達到50℃后,結束溫度試驗。相同條件下,進行多次試驗,并以某次試驗為例說明。繪制Gz陀螺溫度曲線及原始陀螺輸出曲線如圖7所示,溫度值為百秒平滑結果。

圖7 Gz 陀螺曲線Fig.7 Curve of Gz gyro

由圖7可知,溫度試驗包含降溫階段和升溫階段,在兩個階段中溫度變化速率不同,可驗證不同溫度變化率對溫度補償模型的影響。因此,將溫度試驗劃分為兩個階段分析,從圖7中能夠看出陀螺輸出隨溫度變化。利用第3章方法分別求得降溫階段和升溫階段的溫度補償模型系數,如表3所示。

表3 溫度補償模型系數Tab.3 Coefficients of temperature compensation model

為了驗證本文算法有效性,將本文算法與最小二乘法對比,繪制兩個階段的原始陀螺輸出、PSO算法補償后陀螺輸出和最小二乘法補償后陀螺輸出的零偏曲線,如圖8所示。為了便于對比原始陀螺輸出與補償后陀螺輸出,將原始陀螺輸出減去均值再畫圖。

圖8 陀螺輸出曲線Fig.8 The gyro output curve

由圖8中曲線可知,在溫度大范圍變化后,陀螺輸出變化較大,利用本文算法補償后陀螺輸出變化減小很多。在HRG 慣導系統穩定后,經本文算法補償后,陀螺輸出被拉平,維持在0附近。在圖8中,0～1 h曲線內出現陀螺輸出劇烈抖動現象,主要原因為在溫變條件下陀螺輸出受影響,陀螺控制電路的控制參數還需要進一步完善。

計算原始陀螺輸出、PSO 算法補償后和最小二乘法補償后的陀螺零偏穩定性,如表4所示,單位為(°)/h(3σ)。

表4 零偏穩定性對比Tab.4 Comparison of bias stability(°)/h

由表4中統計結果可知,相比于溫度補償前,降溫階段零偏穩定性從7.071(°)/h改善至3.812(°)/h,優化46%;升溫階段零偏穩定性從9.512(°)/h改善至5.096(°)/h,優化46%。本文算法與最小二乘法補償后結果相比較,零偏穩定性值差別不大,進一步驗證了本文算法的有效性。上述分析結果表明,本文算法具有有效性,可以有效改善大溫度范圍內HRG 慣導系統陀螺輸出隨溫度漂移的現象。

5 結論

本文設計了一種基于諧振頻率的半球諧振陀螺溫度輸出方法,考慮溫度變化、溫度變化率以及兩者交叉項,建立了HRG 慣導系統陀螺溫度補償模型,提出了一種基于PSO 算法的溫度補償方法。試驗結果表明,本文算法在-40～50 ℃內能夠降低HRG 溫度漂移,補償后的零偏穩定性較補償前提升了46%,具有較好的工程應用價值和應用廣泛性。

未來,可在以下幾個方向開展技術研究:1)本文選用的HRG 屬于中低精度陀螺,有待在更高精度HRG 慣導系統中驗證;2)建立陀螺輸出與諧振頻率之間的數學模型,減少由諧振頻率解算溫度引起的誤差;3)將PSO 算法與其他智能算法融合,提高智能算法性能和HRG 慣導系統陀螺零偏精度。