解決二次函數含參問題的通性通法

段俠

含參二次函數是二次函數知識中的難點，也是中考的高頻考點，更是大家的易錯點。我們將從以下三個方面來探究含參二次函數的通性通法。

一、含參二次函數與x軸的交點問題

例1 已知：二次函數y=x2-2mx-1（m為常數）。

求證：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

【解析】當y=0時，x2-2mx-1=0，b2-4ac=（-2m）2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵無論m取何值，m2≥0，

∴4m2+4＞0。

∴方程x2-2mx-1=0總有兩個不相等的實數根。

∴不論m為何值，該一元二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

變式 已知：二次函數y=a（x-1）·（x-1-a）（a為常數，且a≠0）。

求證：該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。

【解析】方法1：令y=0，即a（x-1）（x-1-a）=0。

∵a≠0，∴x-1=0或x-1-a=0，即x1=1，x2=1+a。

∵1≠1+a，

∴一元二次方程a（x-1）（x-1-a）=0有兩個不相等的實數根。

∴該函數的圖像與x軸有兩個公共點。

方法2：將該二次函數化為一般式，然后利用例1的方法進行證明。證明略。

【方法點撥】對于含參二次函數與x軸的交點問題，常見的解決方法有兩種：①若二次函數的表達式是一般形式，即y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0），先令函數值y=0，轉化為一元二次方程，再利用b2-4ac與0的關系進行證明；②若二次函數的表達式是交點式，即y=a（x-x1）·（x-x2）（a為常數，且a≠0），可直接令y=0，求出與x軸的交點進行證明。兩種方法都可使用，大家可以根據題中所給函數表達式靈活選用。

二、含參二次函數中的圖像過定點問題

例2 已知函數y=x2+（m-3）x+1-2m（m為常數），則該函數圖像必經過定點。

【解析】y=x2+（m-3）x+1-2m

=（x-2）m+x2-3x+1。

∵該函數的圖像必經過一個定點，∴x-2=0，解得x=2。

當x=2時，y=-1。

∴該函數圖像必經過定點（2，-1）。

【方法點撥】含參二次函數中的圖像過定點問題的解題步驟為：①將函數表達式化為一般形式；②將含參項合并同類項；③令參數的系數為零，求出橫坐標的值；④將橫坐標代入函數表達式求出縱坐標的值，進而解決問題。

三、含參二次函數中的比較大小問題

例3 已知二次函數y=（x-k）2+2（x-k）（k為常數），在該函數的圖像上任取兩點A（2k，y1）、B（2k+1，y2），試比較y1與y2的大小。

【解析】∵點A（2k，y1）、B（2k+1，y2）在y=（x-k）2+2（x-k）的函數圖像上，

∴y1=k2+2k，y2=（k+1）2+2（k+1）=k2+4k+3。

∴y2-y1=k2+4k+3-（k2+2k）=2k+3。

當k＜[-32]時，y2-y1＜0，y2＜y1；

當k=[-32]時，y2-y1=0，y2=y1；

當k＞[-32]時，y2-y1＞0，y2＞y1。

變式 已知函數y1=ax2+3ax+1與y2=ax+5，a為常數，且a≠0。當a＜[12]，0＜x＜2時，比較y1與y2的大小，并說明理由。

【解析】令y=y1-y2=ax2+2ax-4，

該二次函數圖像的對稱軸為直線x=-1。

∴當0＜x＜2時，y隨x的增大而增大，或y隨x的增大而減小。

∵a＜[12]，

∴當x=2時，y=4a+4a-4=8a-4＜0。

又∵當x=0時，y=-4＜0，

∴當0＜x＜2時，y＜0，即y1＜y2。

【方法點撥】比較大小問題在函數中屬于常見題型，有兩種常用解法：①數形結合，直接利用函數圖像的性質解題，此方法對數學語言的表達能力要求比較高，稍不注意就會出錯；②利用作差法比較大小，只要對作差的結果與零進行比較，即可得出最后的結論，這種方法對數學語言的表達能力要求相對較低且正確率較高。

（作者單位：江蘇省南京市宏運學校）