基于綜合主成分分析和正交試驗設計的指標靈敏度分析
——以南水北調中線工程為例

聶相田 何流 郭瑩 范天雨(華北水利水電大學水利學院，河南 鄭州 450045)

0 引言

綜合評價是指綜合多個指標信息對研究對象進行定量評價，目前已在各領域得到廣泛應用。評價對象不同，所建立的評價指標體系也不一樣，且每個指標都是總體狀況在某一方面的反映[1]。在大量指標中選取少部分對評價影響大且能夠合理、準確反映評價對象實際狀態的指標，能夠大大減小計算量，提升評價工作效率。

局部靈敏度分析和全局靈敏度分析是常見的靈敏度分析法。局部靈敏度分析是指在其他參數固定下，分析單指標因素對模型結果的影響；全局靈敏度分析是研究多指標因素變化對總體結果的影響，并分析參數之間的相互作用對模型結果的影響[2]。

指標靈敏度分析是指定量化研究評價指標的變化對評價結果的敏感程度，屬于局部靈敏度分析范疇。進行指標靈敏度分析可以確定指標變化對評價結果的影響，通過指標優選精簡指標體系[3]。目前，針對靈敏度分析方法的研究成果較為豐富。孫捷先[4]進行了高精度同步相敏檢波系統靈敏度分析；Sobieski等[5]將幾何規化的靈敏度分析方法用于結構優化設計；吳祈宗等[6]提出了基于GRG法靈敏度分析法。上述方法要求目標函數連續可倒且對尋優算法依賴較大。為了解決這一問題，邱清盈等[7]提出了一種利用正交試驗分析的靈敏度分析方法。

對于評價指標而言，指標數據一般都是通過連續或間斷性檢測獲取的，指標值大多數是離散的點，這與正交試驗設計確定靈敏度的思路一致。因此，本文利用正交試驗設計[7]建立指標靈敏度分析模型，以期為指標優選提供數據支撐。

1 指標靈敏度分析

靈敏度分析是指判斷指標變化對綜合評價結果的影響程度，因此，首先要建立綜合評價函數。主成分分析法能夠在指標權重未知的情況下對評價對象進行綜合評價?；诖?，本文采用主成分分析法對綜合評價結果進行預評估，進而結合正交試驗設計對指標靈敏度進行分析。

1.1 基于主成分分析法確定預評估值

主成分分析法通過正交變換將一組可能相關的高維數據轉換成不相關的變量，從而實現數據降維，避免信息重疊，能較好地保留原始數據信息。主成分分析更容易捕捉到事物的主要矛盾，并揭示原始變量之間的內在關系。這些特點和優勢使主成分分析在綜合評價研究領域得到廣泛應用。

叢明珠等[8]將主成分分析法用于土地利用程度評價，對江蘇省各縣市土地利用程度進行綜合評價；宮鳳強等[9]結合主成分分析法和距離判別法對采礦突水水源進行識別研究；趙京等[10]利用主成分分析法對機械臂運動的靈活性進行綜合評價；黃安等[11]基于主成分分析法對陜西省藍田縣部分鄉鎮的土壤養分進行綜合評價；商立群等[12]將改進的主成分分析法用于火電機組綜合評價；沈江等[13]利用主成分分析和集對分析對生態工業園區進行評價；王穎穎等[14]利用主成分分析法對市場芝麻醬品質進行綜合評價；趙自陽等[15]結合主成分分析和因子分析法對寧夏水資源承載力進行研究；朱南軍等[16]將主成分分析用于國內保險機構的綜合評估。

通過梳理上述文獻，本文利用主成分分析法進行指標預評估，步驟如下：

(1)設評價指標個數為n，評價對象指標值的采樣次數為m，得到評價指標原始數據矩陣A=(aij)m×n。即

(1)

(2)對原始數據矩陣進行標準正態化處理。公式如下

(2)

式中，E(ai)表示矩陣A中第i列元素的平均值；D(ai)表示矩陣A中第i列數據的方差。由式(2)求出原始數據標準正態化處理矩陣B=(bij)m×n。

(3)計算相關性系數，公式如下

(3)

式中，rij表示矩陣B中第i列元素與第j列元素之間的相關性系數；cov(bi，bj)表示協方差。由式(3)求得矩陣B中各列元素間的相關性系數矩陣R=(rij)n×n。

(4)由相關性系數矩陣計算主成分方差貢獻率ω和累計貢獻率ρ。設λ1≥λ2≥…≥λn分別是矩陣R的n個從大到小排列的特征根，其對應的特征向量為β1，β2，…，βn。通過式(4)求得第i個主成分的方差貢獻率，通過式(5)計算各主成分累計貢獻率。公式如下

(4)

(5)

(5)對評估對象進行預評估。當ρs>85%時，保留前s個主成分。計算公式如下

zi=ω1a′iβ1+ω2a′iβ2+…+ωsa′iβs

(6)

式中，zi表示評價對象第i次采樣的評估值；a′i=(ai1，ai2，…，ain)表示矩陣A中第i個行向量。

1.2 正交試驗設計

正交試驗設計是一種用正交表安排實驗的方法。根據多指標、多水平安排實驗，分析指標多水平變化對實驗結果的影響。正交試驗能夠減少試驗次數，并獲得最優的實驗方案。

正交表是用于正交實驗的一種特殊表格，通過設計指標組合保證實驗指標的正交性[7]。正交表一般用La(bc)表示，其中，L代表正交表；a代表實驗次數，通常情況下，每個實驗都需要進行多次操作才能收集足夠的數據，以精確地分析結果；b代表水平數，即每個實驗參數所包含的可選項數量；c代表指標數量，即需要評估的輸出或響應變量數量。常用的正交表有L4(23)、L9(34)、L2(211)等，其中，L4(23)正交表見表1。

表1 L4(23)正交表

正交試驗設計分析法分為極差分析法和方差分析法。為了確定指標的影響程度，本文使用極差分析法進行分析。通過計算指標j的極差Rj，評估指標對試驗結果的水平和重要貢獻程度。指標的極差Rj計算公式如下

(7)

1.3 指標類型、極差與綜合評價的關系

設Qi(X)為綜合評價函數，xj為指標變量，在指標xj=k時，Qi(X)對指標j的靈敏度Sij為

(8)

式中，Sij表示單調性。若Sij>0，則Qi(X)對xj單調遞增，即隨著xj增大，Qi(X)不斷增大；若Sij<0，則Qi(X)對xj單調遞減。Sij越大，說明指標j對Qi(X)的靈敏度越大。

指標類型反映了Qi(X)對xj的增減性。具體而言，當指標為效益型時，隨著指標值的增大，函數值Qi(X)表現出更好的性能。如果函數Qi(X)追求最小值，指標值的增大會導致函數值Qi(X)變??；相反，如果函數Qi(X)追求最大值，則指標值的增大會導致函數值Qi(X)變大。

極差Rj反映了xj對綜合評價結果的影響程度，即指標的靈敏度|Sij|。當用二水平正交表實驗時，若指標值xj1和xj2差距微小，則

(9)

得到

(10)

1.4 指標靈敏度分析過程

基于主成分分析法和正交試驗設計的指標靈敏度動態分析過程如下：

(1)確定評價指標體系。

(2)利用主成分分析法對評價結果進行初步估計。

(3)選擇適合指標個數的正交表。正交表La(bc)的選擇需滿足條件a=c×(b-1)+1。以二水平正交表為例，b=2，c=a+1且a為4的正整數倍，c不小于指標個數。

(4)確定指標水平，按正交表安排試驗方案。

(5)分別計算出不同方案對應的綜合評價值。

(7)通過極差公式計算極差Rj。

(8)根據極差Rj，計算各指標變量對綜合評價結果的靈敏度|Sij|。

2 案例分析

南水北調中線工程途經河南、河北兩省及天津、北京兩個直轄市，穿越長江、淮河流域，沿京廣線北上，為沿線十幾座大中型城市提供生活和工農業用水。

渠道工程是南水北調工程的主要部分，其安全性影響著整個調水系統的安全運行。下面對渠道工程相關風險指標進行靈敏度分析，以便進行指標優選，使渠道工程風險評價結果更加準確。

2.1 渠道工程風險評價指標體系

南水北調中線工程調水距離長、跨越地域廣，且氣候差異較大；渠道沿線地質條件復雜，涉及膨脹土段、煤礦采空區段、高填方段、濕陷性黃土段等不良地質條件；渠道高填方段約100km，最大填方高度達25m。因此，渠道工程風險事件包括地基沉降、滑坡、渠堤失穩、漫頂、滲漏等。經過文獻分析和實地調研得到渠道工程風險指標，包括挖方渠段地下水位上漲p1、挖方渠段坡面坡頂加載超負荷p2、挖方渠段坡面保護措施被破壞p3、超標洪水損毀坡頂防洪堤p4、防洪堤外排洪通道淤堵p5、填方渠段渠堤內坡失穩p6、填方渠段渠堤外坡滲漏破壞p7、填方渠段渠堤外坡坡腳泡水軟化p8、填方渠段地基沉降p9、填方渠段坡面水流沖刷p10、渠水漫頂p11。渠道工程風險評價指標體系如圖1所示。

圖1 渠道工程風險評價指標體系

2.2 渠道工程風險預評估

模擬5名檢查員對渠道工程進行檢查打分，分值范圍為0～1。分值越大，說明風險越大。構建打分結果原始數據矩陣A，即

根據式(2)對矩陣A進行標準正態化處理，得到矩陣B，再根據式(3)得到系數矩陣R。

通過式(4)～式(6)計算得到綜合評價結果Z=0.115 07。

2.3 評價指標靈敏度分析

(1)選取正交表。由評價指標體系可知，該模型包含11個指標變量。根據二水平正交表的構造規則選取L12(211)正交表，表中的行表示試驗方案，列表示指標。

(2)確定11個指標變量的水平。各指標均取變化量5%，確定各指標的2個水平。其中，水平1為各指標值增大5%后的平均值，水平2為各指標值減小5%后的平均值。

(3)根據主成分分析法對12個實驗方案進行評價，經過計算得到評價結果。

(4)計算基本指標處于不同水平時的綜合評

(5)通過式(7)求出各指標不同水平下的極差Rj。

(6)計算各指標變量對綜合評價結果的靈敏度|Sij|。

綜上所述，正交試驗結果分析表見表2，指標靈敏度見表3。

表2 正交試驗結果分析表

表3 指標靈敏度

2.4 結果分析

由表3可知，挖方渠段地下水位上漲、超標洪水損毀坡頂防洪堤、填方渠段渠堤外坡滲漏破壞和渠水漫頂4個指標靈敏度較大，即指標值的變化對綜合評價結果的影響較大；挖方渠段坡面坡頂加載超負荷、挖方渠段坡面保護措施被破壞和填方渠段坡面水流沖刷3個指標靈敏度較小，即指標值的變化對綜合評價結果的影響較小。各指標靈敏度從大到小分別為渠水漫頂、超標洪水損毀坡頂防洪堤、填方渠段渠堤外坡滲漏破壞、挖方渠段地下水位上漲、防洪堤外排洪通道淤堵、填方渠段渠堤外坡坡腳泡水軟化、填方渠段渠堤內坡失穩、填方渠段地基沉降、填方渠段坡面水流沖刷、挖方渠段坡面保護措施被破壞、挖方渠段坡面坡頂加載超負荷。

3 結語

綜上所述，將正交試驗設計用于指標靈敏度分析能夠降低對特定算法的依賴性，同時能夠對離散的指標值進行準確的靈敏度分析。采用主成分分析法對評價結果進行預評估更易確定目標函數，基于正交試驗設計安排試驗方案。

本文以南水北調中線工程為例，采用指標靈敏度分析模型對渠道工程風險指標進行靈敏度分析，明確各指標變化對評價結果的影響程度，可為指標優選提供參考。