基于跌坎壓力自相似分布的明渠水深-流量關系推求

李乃穩，黃滟淳，陳小攀，李龍國，劉 超*

(1.四川大學山區河流保護與治理全國重點實驗室，四川成都 610065；2.四川大學水利水電學院，四川成都 610065；3.河南天池抽水蓄能有限公司，河南南陽 473000)

渠道量水是灌溉、水資源高效配置及引供水用水管理的重要手段。目前常用的渠道量水設施有如下幾種[1]：利用水工建筑物量水,如渠槽、堰閘、渡槽等；利用流速儀量水和特設量水設備量水，如各種量水堰（矩形堰、三角堰等）或量水槽（巴歇爾量水槽）等。這些量水設施存在要么影響渠道過流能力、流量系數確定難度大，要么通過泥沙、漂浮物能力差，或者量測精度低等問題。因此，尋求一種結構簡單、測量精確的渠道量水設施則成為目前節水社會建設背景下明渠輸水和量水技術研究及發展的重點目標。

在明渠中，跌流為常用的銜接上下游水利設施。當跌落水流不受跌坎下游水流影響時，定義此跌流為自由跌流，此時存在急流到緩流的流態轉變，跌坎斷面壓力分布與靜水壓力分布規律之間存在巨大偏差[2–3]。但此時，跌坎水深與明渠流量之間存在直接對應關系，這種對應關系使得自由跌流可以用作明渠流量的計量。早在1936年，Rouse[4]就認識到了這種自由跌流的水力特征并提出了坎末水深比的概念，即跌坎水深與明渠臨界水深之比，通過該值可計算渠道流量。之后，研究者為尋求準確適用的跌流流量計算方法，從理論分析、試驗研究兩個方面進行了大量研究[5]，提出了理論或經驗或半經驗流量計算公式[6–7]?；谧杂傻骱捅”谘吡鞫咧g的相似性，一些研究者根據能量方程或動量方程[8–9]，提出了底坡為平坡和緩坡的近似理論計算方程。不同研究者提出的流量方程不同之處在于其在推求方程時，針對跌坎壓力分布不再符合靜水壓力分布規律的問題，對能量方程或動量方程中跌坎斷面豎向壓力分布項采用不同的處理方式[10]，如基于跌坎斷面零壓力分布[11–12]，跌坎斷面水流流線曲率的Boussinesq近似規律[13–15]，跌坎壓力為上游平均流斷面壓力分布的折減系數[11,16]，跌坎斷面壓力二次拋物線分布[3,17–18]等。

顯然，跌坎斷面壓力分布是理論或半理論推求其流量方程的關鍵，假定與實際壓力分布之間偏差大小勢必會造成流量計算值與實測值存在較大偏差，進而影響利用自由跌流對明渠流量進行計量。

本文利用試驗和數值計算相結合的方法，首先利用動量方程，推求了明渠自由跌坎水深和流量之間的理論關系。之后，針對自由跌流水深-流量理論關系推求中的跌坎壓力分布這個關鍵問題，在前期明渠自由跌流水力特性研究的基礎上[19]，根據試驗和數值計算，提出了其壓力分布自相似規律方程。在此基礎上，提出了明渠跌流流量的理論計算方程，并利用本文和其他研究者實測數據與其他研究者提出的流量計算方程進行了比較，結果表明，本文方程計算更精確，并且適用性更廣，能夠為利用渠道跌坎進行流量計算提供理論依據和方法。

1 跌坎水深-流量關系理論分析

水流在重力作用下在跌坎處跌落，形成自由跌落水流（圖1（a）），其流態類似于薄壁堰流，水面線為典型的降水曲線，存在從緩流到急流、均勻流到非均勻流的流態轉變，在跌坎臨近出現臨界水流。在跌坎處，水舌上方和下方均為大氣壓，即壓力P=0，跌坎斷面壓力明顯偏離明渠均勻流的靜水壓力分布規律，壓力明顯小于靜水壓力值[13]。

如圖1所示，O-O斷面水深為h0，跌坎e-e斷面水深為he，h為水深，u為流速，P為斷面壓力，py為斷面水深y處的壓強。以O-O與e-e斷面及沿渠底與水流自由表面所圍成的空間作為控制體，將該段明渠水流看作1維水流，則沿水流方向的動量方程如下：

式中：Po為O-O斷面上總動水壓力，Pa；Pe為e-e斷面上總動水壓力,Pa；為x=–L到x=0之間渠道對

圖1 矩形明渠自由跌坎過流示意圖Fig. 1 Schematic view of a typical free overfall

斷面O-O水壓力分布為靜水壓力分布，表達式為：

式中：g為重力加速度，取9.81m/s2；b為矩形渠道斷面寬度，m。

斷面O-O（x=–L）到跌水斷面e-e（x=0）之間的總摩擦阻力為：

斷面O-O和跌坎斷面e-e之間的距離L，可由式（6）計算[19]：

如明渠底坡S≥Sc，Sc為臨界底坡，則在跌坎上游存在均勻流。在明渠均勻流中，有：

由以上公式推導而知，對于式（1），關鍵是獲得跌坎斷面e-e的壓力分布Pe。

2 跌坎斷面e-e壓力分布特征

圖1中，跌坎斷面e-e的壓力分布不符合靜水壓力分布。假定跌坎處壓力為二次拋物線分布[13]，對稱軸為y=0.5he，壓力最大值為khe，其中k為壓力系數，其值與渠道斷面形狀有關。

結合邊界條件，如在點y=0和ye=he處，有py=0，則跌坎斷面處的壓力分布方程為：

式中，y為距離跌坎邊緣的距離，py為點y處的壓力。

從式（9）可知，y=0.5he時，即在0.5倍跌坎水深處，py達到最大值，并且有壓力最大值pmax=khe。根據文獻[13]研究可知，對于矩形明渠而言，k=0.281。圖1（a）中點化線即為由式（9）對應的壓力分布。事實上，文獻[2]試驗和文獻[22–23]數值計算表明，跌坎壓力分布為嚴重扭曲形態，而非二次拋物線形態，其跌坎壓力最大值點也不是在0.5倍跌坎水深處。

采用模型試驗和數值計算相結合，本文對不同底坡和邊壁糙率的矩形明渠自由跌流跌坎斷面壓力分布進行了詳細研究，其試驗和數值模型如圖2所示，試驗模型由鋼化玻璃制作，并采用粒徑分別為0.5～1.0mm，1.0～2.0mm，2.0～3.0mm和3.0～5.0mm的沙粒黏附于渠道邊壁而獲得不同的渠道曼寧糙率n值，經率定[24]，其糙率系數對應為n=0.0093，0.0125，0.0148，0.0171，0.0193；試驗中渠道底坡S=–0.0112～0.0534，Q=5～100L/s，共計152個工況。

數值模型采用VOF結合RANSk-ε紊流模型[25–26]，基于紊流平衡假設，可以得到近壁處的紊動能和耗散率值[22–23]。模型中尼古拉斯等效砂高度ks由經驗公式n=給出[21]。

圖2 試驗裝置Fig. 2 Experimental installation

在跌坎附近不同斷面的壓力分布如圖3～6所示。圖3～6中，黑實線為式（9）計算得出的跌坎斷面壓力分布，x為跌坎斷面e-e坐標0點時的橫向坐標值（見圖1（a））。圖4（a）和圖6（a）中，散點數據為模型試驗數據。

圖3 不同斷面壓力分布(S=–0.0 1 1 2)Fig. 3 Pressure distribution at section of S = –0.011 2

圖4 不同斷面壓力分布(S=0)Fig. 4 Pressure distribution at section S = 0

圖5 不同斷面壓力分布(S=0.0 1 1 2)Fig. 5 Pressure distribution at section S = 0.011 2

圖6 不同斷面壓力分布(S=0.024)Fig. 6 Pressure distribution at section S = 0.024

從圖3～6可知，底坡S和流量Q不同時，從跌坎斷面至上游各斷面，對應斷面壓力分布形狀幾乎一致。隨著水流臨近跌坎，受自由跌流影響，壓力逐漸偏離靜水壓強分布。而在均勻流中，各斷面壓力分布符合靜水壓強分布規律。最終，在跌坎斷面x=0 m處，壓力分布完全不同于靜水壓力分布而呈現扭曲形態。從水面至最大壓力點，壓力從0逐漸增加至最大值，而后急劇減小至0，其分布形態也不同于式（9）所描述的二次拋物線形狀。在大約0.20he處，壓力達到最大值，而根據式（9），壓力最大值應該出現在0.5he處。

對底坡S=–0.0112和S=0的明渠，由式（9）計算的壓力最大值與數值計算值吻合良好，并且總壓力值也與模擬計算值一致。但對于陡坡渠道（如S=0.0112和0.0240），隨著渠道底坡的增加，由式（9）計算的最大壓力值與數值計算的壓力最大值之間的偏差迅速增加。例如，在渠道底坡S=0和流量Q=80.00L/s時，式（9）計算的壓力最大值為393.76 Pa，而數值計算的壓力最大值為372.71 Pa，二者偏差僅為5.3%。但當渠道底坡S=0.0 1 1 2和流量Q=8 0.0 0 L/s時，式（9）計算的壓力最大值為343.43 Pa，而數值計算的壓力最大值則為265.61 Pa，二者偏差為22.7%。當渠道底坡S=0.02 40和流量Q=8 0L/s時，式（9）計算的壓力最大值為273.76 Pa，數值計算的壓力最大值則為182.75 Pa，二者偏差達到33.2%。

因跌坎斷面壓力分布存在相似性，本文引入無量綱數p?=py/pmax和θ=y/he，對跌坎斷面壓力分布進行無量綱化。將 θ作為X軸，作為Y軸，則-θ 之間關系曲線如圖7所示。

圖7 - θ斷面分布Fig.7 -distribution on the end section

由圖7可知，底坡S和流量Q都不同的矩形渠道，跌坎斷面壓力分布呈現非常良好的自相似特征，無量綱壓力p?傾向于為一條實線分布。在圖7中存在3個特殊點，即點A、B、和M，其分別對應p?(θ=1)=0,=0和=1，此處有θm=ym/he。也就是說，在點M處（y=ym），壓力py達到最大值，此時。

引入由冪函數 θξ和尾跡函數(1-θ)γ組成的混合函數來表征圖7中的無量綱壓力分布，并假定存在如下函數形式：

式中， σ為系數， ξ 和 γ為指數系數。這些系數的值可以由圖7中的數據確定。

利用式（15），可得圖7中方程與數據的標準偏差、標準誤差和相關系數分別為0.325、0.044和0.991。最大壓力點為θm=0.209，此值與圖7數據得值非常一致。由圖7數據可知，當θm=0.202時，壓力達到最大值。

由式（15）計算值與文獻[2]、[22]的實驗值對比如圖8所示。

由圖8可知，方程式（15）計算值與文獻[2]和[22]的試驗值吻合良好，說明本文提出由冪函數和尾跡函數組成的混合函數可以用于準確描述跌坎處壓力豎向分布規律。圖8中計算值與試驗值出現一定量偏差，是由于文獻[2]的試驗水槽長度較短、或者較低流量時水位測針對水流的干擾，或者陡坡渠道小流量時水面的劇烈波動而造成。

試驗測得跌坎斷面e-e最大壓力值pmax，其與跌坎水深he之間對應關系如圖9所示，同時將文獻[2]的試驗值也一并列入。

由圖9可知，跌坎斷面最大壓力值pmax與跌坎水深he間存在良好的線性關系，經線性回歸，可得：

式（17）的相關系數為R2=0.937，說明pmax與he存在良好的線性關系。同時，由圖9可知，由式（17）所得的最大壓力計算值與文獻[2]的試驗值也吻合一致。

圖8 式（15）與文獻試驗值對比Fig.8 Comparison between results of Eq.(15) and previous studies

圖9 pmax(ρg)–1和跌坎水深he間關系Fig.9 Relationship between pmax(ρg)–1 and end depth he

將式（17）代入式（16），則可得跌坎斷面壓力py的計算公式：

跌坎斷面e-e的總壓力為：

則：

對式（20）進行積分變換并求解得：

3 跌坎水深-流量關系方程推求與應用

3.1 陡坡渠道

將式（2）（4）～（6）和（21）代入式（1），并積分整理得：

式（22）為Q和h0、he的隱函數，根據測量的he值并結合式（8）可迭代求取h0，進而利用式（8）計算不同底坡S和糙率n的明渠流量。

式（22）在推求過程中利用了渠道均勻流式（7），均勻流只有在渠道底坡為陡坡，即渠道底坡S≥Sc時，跌坎上游才會出現均勻流流態。而對于渠道底坡S

3.2 緩坡或平坡渠道

對于底坡S為緩坡、平坡或逆坡的矩形明渠，水流自跌坎自由跌落時，其流態存在緩流到急流的流態轉變，因而跌坎上游出現臨界流，逆坡渠道水流流態等同視為平坡。此時，O-O斷面為臨界流斷面，斷面水深為臨界水深hc，則ho=hc。對于臨界流，有：

此時，可以將自由跌流近似為堰高為0的薄壁堰流[9,13]，因此可以應用推導薄壁堰流流量計算公式的方法推求其流量計算公式，則有：

對式（25）積分并整理，得：

式（30）所得he/hc值與文獻[4]的試驗值（0.715）、劉清朝[27]、楊永森等[28]的數值計算值（0.720，0.716）基本一致。由式（30）可知，對于緩坡和平坡明渠，自由跌流處水深he與上游臨界流斷面O-O水深hc之比值he/hc，即水流垂直收縮系數Cc值為常數。因此，由式（30）和式（23）可得：

文獻[9]假定跌坎處0壓力分布，運用能量方程得到了矩形明渠流量計算公式：

Ti?rek等[30]在大量試驗的基礎上，采用量綱分析的方法提出如下流量計算經驗公式：

從上述明渠跌水流量計算公式推求可以看出，對于陡坡渠道（S>Sc），流量除了和寬度b和跌坎水深he有關外，還與渠道底坡S和邊壁糙率系數n均有關。而對于緩坡或平坡及逆坡渠道（S

根據本文試驗獲得的he，由式（8）和式（22）及式（31）（32）（34）（35）計算得到的流量計算值Qc和實測值QT之間的比較，結果如圖10所示。

圖10 不同公式計算得到的流量Q計算值與實測值比較Fig.10 Comparison of calculated and tested flow by different equations proposed by researchers

由圖10可知，基于壓力分布和動量方程提出的流量公式計算所得的計算值與實測值基本一致，對緩平坡（SSc），其相對誤差91.5%的值控制也在5%之內，達到較高的計算精度。而式（32）（34）（35）則僅在緩平坡渠道中計算值較準確（5%內），而在陡坡渠道中，流量計算值與實測值偏差較大，最大計算誤差甚至超過47.2%。

由上述理論和試驗數據對比分析可見，對于跌坎斷面壓力分布如何處理是推求矩形跌流流量公式的關鍵，其不同的壓力分布假定對流量公式計算精度具有重要影響。本文提出的跌坎斷面壓力分布規律方程對渠道糙率n和底坡S具有適用性，即在自由跌流流態下，跌坎斷面壓力分布規律具有自相似性，可由冪函數和尾跡函數構成的混合函數表述，不受渠道糙率n和底坡S變化值的影響。并且，本文試驗中，渠道邊壁糙率n值在0.009 3～0.019 3之間，底坡S在–0.011 2 ～ 0.053 4之間，公式具有較寬的應用范圍。而文獻[29]假定跌坎斷面壓力分布Boussinesq近似、文獻[9]假定跌坎斷面0壓力分布，都與實際壓力分布偏差較大，因而造成計算誤差也較大，甚至達到60%。文獻[30]中，n=0.009 1和n=0.014 7，n值較少，故其經驗公式計算值與本文試驗值也偏差較大，誤差在30%以內。

為進一步證實本文明渠流量計算式（22）和式（31）的適用性，文獻[31]和[24]的試驗數據用來比較其測量值與式（22）及（31）計算值之間的差異性，結果如圖11所示。

圖11 式（22）和（31）流量計算值文獻實測值對比Fig.11 Comparison of the calculated flow by Eqs.22&31 and tested from references

由圖11可知，本文公式計算值與文獻[24]和[31]實測值吻合良好。本文公式的計算值與試驗值87.5%的誤差在5%之內，只有極少數值的計算誤差超過10%，表明本文提出的流量計算公式具有較高的計算精度。

4 結 論

本文通過理論分析、模型試驗并結合數值計算的方法，對矩形明渠跌流的斷面壓力分布及流量-水深關系進行了深入研究，明渠流量范圍為5～100 L/s,底坡范圍為–0.0112～0.0534，邊壁糙率系數為0.0093～0.0193，包括逆坡，平坡、緩坡和陡坡的粗糙明渠。主要結論如下：

1）跌坎斷面受自由跌流影響，壓力分布顯著偏離靜水壓強分布規律，但具有高度的自相似性，而這種自相似性與明渠邊壁糙率和底坡無關，并提出了跌坎壓力分布方程。

2）利用動量方程推求了矩形渠道自由跌流的流量計算公式。本文公式相較于文獻[9，29-30]流量計量公式具有更高的精度和更寬應用范圍，并且與文獻[24，31]試驗數據一致。

3）本文公式不僅適用于逆坡，平坡、緩坡和陡坡明渠流量計量，而且還適用于光滑和粗糙明渠流量計量明渠自由跌流的流量計量，針對平坡或緩坡渠道（無論光滑壁面還是粗糙壁面），其流量計量更加準確（誤差在2%以內），具有重要的工程應用價值。

4）因在推求過程中考慮了斷面壓力、阻力和重力，式（22）為流量Q的隱函數，形式較為復雜，同時式（22）不適用于平坡或緩坡渠道，因而應與式（31）結合，才可解決底坡和糙率變化的明渠自由跌流進行流量計量的問題，這可能限制公式的應用，因此，有必要在大量試驗和理論分析的基礎上，尋求更具有適用性的統一簡化形式。

5）當跌坎下游水深增加到一定值，其對跌落水流形成壅托，造成臨界水流消失，此時水流為非自由跌落水流，跌坎下游水深會影響跌坎水深和流速，進而影響流量計量，此種情況下的明渠跌坎流量變化及其計算需進一步研究。