大型射電望遠鏡日照熱誤差及其補償的仿真研究

雷 震，寧 亮，陳浩祥，趙武林，項斌斌，李東偉

(1.長安大學工程機械學院，陜西西安 710006；2.中國電子科技集團公司第三十九研究所，陜西西安 710016；3.中國科學院 新疆天文臺，新疆烏魯木齊 830011)

射電望遠鏡廣泛應用于射電天文、測控導航等領域，可通過特定形狀的反射面實現電磁波向饋源的匯聚。然而環境載荷會使其結構產生機械形變，引起反射面形狀誤差進而降低望遠鏡的性能[1]。重力、風載對天線性能的影響及其控制方法已較為成熟[2–6]，錢宏亮等[3]研究了上海65m天線在重力及風載作用下，主反射面精度的變化情況。Antebi等[4]分析了天線如何在重力情況下使用副面變形調整保證天線的精度。熱對低頻、中小口徑天線性能的影響并不明顯，且可以通過采用天線罩、溫控系統等進行控制，但目前籌建的新疆110m大口徑全可動射電望遠鏡（QTT）口徑大、工作頻率高，且新疆地區日照強烈，太陽輻射所引入的結構熱誤差問題亟須重視[7–8]。

目前，國內外學者對大口徑全可動射電望遠鏡熱行為的研究較少，主要對中小型口徑的射電望遠鏡進行了實測研究和數值模擬。Greve等[9]通過大量實驗分析，改進了IRAM–30m天線的溫控系統，使天線性能得到明顯改善。Bremer等[10]進一步構建了IRAM–30m天線熱變形的簡化數據模型，實現了熱誤差實時計算。Ambrosini等[11]將實測溫度數據加載到VLBI–32 m天線有限元模型上對天線熱變形進行了預測。MacDonald[12]和DiCarlo等[13]針對帶天線罩的37 m天線(HUSIR)研究了其太陽/風/溫度及電磁性能變化情況。Tsela等[14]針對南非的LLR望遠鏡建立了其數據驅動的熱梯度及精度預測模型。連培園等[15]針對天線日照溫度場分布特征提出了溫度場實時預估方法。常文文[16–17]、易樂天[18]等建立了南山站25m天線反射面的有限元模型，探討了天線面板、座架等結構由于太陽輻照引起的非均勻溫度場及熱致變形。劉澤鑫等[19]對武清70m天線座架也進行了類似研究。錢宏亮等[3]通過數值模擬的方法，研究了上海65m天線在日照溫度場作用下，主反射面精度的變化趨勢。

日照熱在天線結構上產生的溫度場具有非均勻性、時變性等特點，使天線熱變形呈現出復雜的時空分布以及多因素相關性。熱環境、天線姿態等不確定性因素，使得依據經驗公式評估天線熱變形精度的方法難以滿足現代天線的設計要求[20–21]。為保證QTT的正常運行，研究其在日照作用下的熱變形及其變遷規律一方面可為其熱誤差補償提供參考，另一方面可用于預測未來一段時間內天線熱變形的趨勢，提前規劃調整方案。

本文首先對QTT的熱問題進行了建模，對天線在典型夏至日的溫度場及變形情況進行了數值模擬，分析了不同情況下反射面精度的變化情況及其規律；最后給出了幾種工況下副面的位置補償量，通過分析補償前后主反射面的光程差，探討了天線熱誤差的時空分布規律及其影響機理，有助于預估、理解天線日照熱誤差問題，并為熱補償方案提供依據。

1 天線分析模型

1.1 熱環境建模

天線與外界的熱量傳遞途徑如圖1所示，主要包括天線接收太陽輻射、天線與空氣的對流換熱、天線與地面和遠空的輻射換熱。換熱過程與風速、大氣清潔度、地面溫度、天空溫度等因素密切相關。天線結構在上述因素的共同作用下形成瞬態時變的溫度場。

圖1 射電望遠鏡換熱簡圖Fig. 1 Heat transfer diagram of a radio telescope

1.1.1太陽輻射熱模型

太陽輻射熱模型是用于計算地球上的物體接收到的日照熱功率的數學模型，常用的有Dilger模型[9]和ASHRAE晴空模型[22–23]，本文采用ASHRAE晴空模型計算天線接收到的太陽熱輻射功率。

ASHRAE晴空模型[23]中地面物體接收的太陽輻射由直接輻射、散射輻射和反射輻射3部分構成，其中穿過大氣層直射物體的部分為直接輻射，被周圍環境反射后間接照向物體的部分稱為反射輻射，被大氣中的灰塵等分子散射的部分為散射輻射。

直接輻射強度GND計算方法如下：

式中：A為大氣質量為零時的太陽輻射強度；B為大氣消光系數； βs為太陽高度角；CN為大氣清潔度；θ為太陽對構件表面的入射角，若cos θ小于0則表示構件處于陰影中。

散射輻射強度計算方法如下：

式中，C為散射輻射強度， α為物體表面相對于地面的傾角。

反射輻射強度計算方法如下：

式中：pg為地面反射率，一般取0.3[24]；GtH為落在壁面之前的水平面或地面上的總輻射量,GtH=(C+sin βs)GND。

入射到天線表面的太陽輻射熱流密度為：

天線實際得到的太陽熱流密度為：

式中， γ為天線表面的太陽輻射吸收率，天線表面一般涂有白漆，故 γ取值為0.3[24]。

ASHRAE模型中A、B、C這3個系數可通過中國輻射強度觀測數據擬合得到[25]，CN、 βs、 α 、 θ可根據天線地理位置及構件空間方位計算得到[16]。

1.1.2對流換熱模型

天線與環境的對流換熱可用牛頓換熱定律[26]表述如下：

式中：hc為對流換熱系數，其取值Saetta[27]建議使用公式hc=4.0V+5.6，其中V為風速；Tx為構件表面溫度；Ts為環境溫度，可按下式計算[26]：

式中，Tsmax、Tsmin分別為環境最高溫度、最低溫度，t為時間。

1.1.3凈長波輻射模型

凈長波輻射指天線與地面、遠空的輻射換熱。天線表面得到的凈長波輻射可表述為[22]：

式中：ε為發射率；σ為黑體輻射系數；Fwg、Fws分別為構件表面對地面、天空的輻射角系數；Tsky為遠空溫度；Tg為地面溫度，可按下式計算：

式中，E、F、M為常量，取值可見文獻[28–29]。

1.1.4瞬態溫度場模型

天線結構的熱分析遵循熱力學第一定律，瞬態熱分析的能量平衡方程為[30]：

式中，C為比熱矩陣，考慮系統內能的增加，T和T˙分別為溫度向量以及其對時間的導數，K為傳導矩陣,包含導熱系數、對流系數及輻射率和形狀系數等，Q為節點熱流率向量。

1.2 陰影遮擋與輻射傳熱系數

1.2.1天線主反射面陰影遮擋

QTT主反射面直徑110m，面積巨大，在太陽轉動過程中，面板會對自身產生遮擋，明暗區及分界點示意如圖2所示。根據光線追蹤原理，可以找到反射面邊緣點在反射面上的投影點，進而得到反射面陰影區與太陽照射區的分界線，計算公式如下：

式中：N(t,AZ,EL)為太陽入射光線方向向量，是關于時間t、天線方位角AZ與俯仰角EL的函數；X′為反射面邊緣點；X0為反射面與太陽入射光線的交點。

圖2 反射面太陽照射明暗區及分界點示意圖Fig. 2 Self shading effect of reflector

1.2.2輻射角系數

物體之間的輻射換熱除了與物體絕對溫度有關，還與換熱表面之間的相對位置有關，輻射角系數[31]描述了這種關系，兩微元表面之間的輻射角系數如圖3所示，計算公式如下：

式中：Ib1為常數；Eb1為微元表面相對于黑體的輻射力；θ1、θ2分別為dA1、dA2的維度角；d?1為微元表面dA1對dA2所張的立體角；r為dA1到dA2的半徑。

圖3 微元表面輻射角系數Fig. 3 Surface radiation shape factor

1.3 主反射面精度分析及副反射面補償方法

圖4為天線變形分析示意圖，變形后其反射面形狀不再是理想拋物面，電磁波不再完全匯聚于原設計焦點[32]（圖4中F點），為緩解上述問題，大口徑射電望遠鏡基本都采用“保型”設計，即要求各個姿態下重力變形后的反射面形狀皆盡可能接近參數不同的拋物面[1]（圖4中虛線），這樣將饋源移動到新的拋物面的焦點上（圖4中F'點）后，能夠較好恢復原來的天線性能。圖4中uA與wA為頂點的兩個方向位移，上述虛擬拋物面被稱為最佳吻合拋物面[32]，變形后的反射面相對于最佳吻合拋物面對應點之間半光程差的均方根誤差值（RRMS）作為衡量反射面精度的指標。

圖4 天線變形分析示意圖Fig. 4 Diagram of the antenna deformation analysis

圖5為設計拋物面經過位姿剛性變換及焦距變換得到最佳吻合拋物面的過程。OXYZ及O1X1Y1Z1分別為原設計拋物面、最佳吻合拋物面的坐標系，原點O與O1分別為它們的頂點，OZ與O1Z1分別為它們的焦軸，任意點在兩個坐標系下坐標分別為（x,y,z）和（x1,y1,z1），設計拋物面方程為：

最佳吻合拋物面方程為：

式（14）～（15）中，f、h分別為設計拋物面的焦距及焦距的變化量。

圖5 剛體位姿變換示意Fig. 5 Rigid body pose transformation

由圖5可知，在旋轉量十分微小情況下，其線性化坐標轉換方程為：

式中，uA、vA、wA為最佳吻合拋物面相對于設計面的平移量， ?x、 ?y、 ?z為相對各軸的旋轉量，上述6個參數為待定值。

將式（16）帶入式（15），略去其2階微量，可得到最佳吻合拋物面在原設計面坐標系下的方程：

因為拋物面為圓周對稱結構，故反射面繞焦軸轉動量 ?z對天線性能無影響，可以省略，最終得到含6個參數的最佳吻合拋物面方程。

變形后的拋物面相對于最佳吻合拋物面的誤差如圖4所示，略去2階微量，得到逐點誤差關于上述待定參數的線性表達式如下：

式中，x、y、z為反射面節點坐標，u、v、w分別為節點對應的位移，上述6個參數為已知量。

最佳吻合拋物面的參數應使 ?2達到最小值，上述問題為線性最小二乘問題；對 ?2求關于6個待定參數的偏導，并令其為零，即得到關于最佳吻合拋物面參數的線性方程組：

式中，A為節點的初始位置信息矩陣，X為最佳吻合拋物面的參數向量，d為變形后反射面的節點位移信息矩陣。

則以均方根值為度量的反射面精度的計算方式如下：

式中，N為背架上弦節點數量[1]，RRMS反映了反射面的形狀偏離拋物面的程度。

天線主面熱變形的精度評價及副面補償計算流程如圖6所示，即根據反射面的熱變形數據，由式（19）（20）確定與之對應的最佳吻合拋物面參數及天線熱變形型面精度（RRMS），將副反射面的焦點調整到上述新的主反射面焦點位置（見圖4）即可部分實現天線誤差補償，RRMS越小則說明熱變形后反射面形狀越接近于拋物面，補償效果越好。

圖6 精度評價及副面補償量計算流程Fig.6 Accuracy evaluation and subreflector repositioning

副反射面的位置調整量與最佳吻合參數的關系如下：

式中，UX、UY、UZ分別為副反射面3個方向的位置調整量。

2 結果與分析

2.1 天線有限元模型及分析流程

QTT反射體的有限元模型如圖7所示。天線桁架材料為鋼，反射面材料為鋁，材料的熱特性見表1。天線熱力耦合分析流程如圖8所示。

圖7 天線反射體模型Fig. 7 Antenna reflector model

表1 材料參數Tab.1 Material parameters

圖8 天線熱力耦合分析流程Fig. 8 Thermal-mechanical coupling analysis process

2.2 熱誤差分析及補償

日照溫度變化具有一定的時間尺度，本文研究天線在季節性均勻溫度變化與逐日溫度變化兩種情況下的響應情況。

2.2.1季節性熱誤差分析

天線反射體通過俯仰軸與方位座架連接（如圖7所示），根據軸承連接處是否允許反射體沿軸承軸向移動，本文選取兩種極端的俯仰軸約束方式：全約束（FC）、對稱浮動約束（SFC）。

表2為奇臺縣季節溫度統計數據。由表2可知，QTT臺址四季環境溫度在–20℃～30℃范圍內變化。以天線俯仰角90°、參考溫度20℃為例，分析天線結構在不同約束方式、不同環境溫度條件下，反射面精度（RRMS）的變化趨勢，計算結果如圖9所示。

表2 奇臺縣四季溫度Tab.2 Seasonal temperature in Qitai County

圖9 不同工況下的R RMSFig. 9 RRMS under different working conditions

由圖9可知，俯仰軸的約束方式對反射面精度影響很大，兩種約束方式下的RRMS變化趨勢相同，但對稱浮動約束方式下的反射面RRMS只有全約束方式下的1/80。所以在天線的設計建造過程中應盡量減小座架對俯仰軸的熱應力約束，即允許反射體沿軸承軸向有一定游隙。目前實際天線中已自然存在此效應，這也是夏天與冬天夜晚溫度雖相差很大，但天線仍可以正常工作的原因。

由上述分析可知，俯仰軸的對稱浮動約束方式更接近實際情況，此約束方式下的天線在均勻溫升時，反射面精度幾乎不受影響。

2.2.2日照溫度場及變形場分析

2011年1月1日—11月1日，QTT臺址晴天約占40.3%，為所有天氣中占比最高；臺址風速≤3.0m/s的占比約為50.3%，風速≤4.0 m/s的占比為69.5%[7]。選取典型工況對天線結構進行全天的溫度場、變形場時程分析：2011年6月21日，晴天無云，風速分別取0、1.5、3.0 m/s，采用俯仰軸對稱浮動約束；天線俯仰角姿態如圖10所示，分別取0°、45°和90°，方位角取90°。

圖10 各俯仰角姿態Fig. 10 Attitude of each pitch angle

天線仰天姿態下溫度場分布特征及機理探討如下：圖11至圖14分別為06：00、08：00、14：00、18：00的天線桁架與主反射面的溫度場分布情況（俯仰角90°、風速3.0m/s）。由圖11至圖14可知，日照熱在天線結構上產生的溫度場呈現出不均勻、時變的特點：日出時太陽位于天線的東偏北方向，日落時太陽位于天線的西偏北方向；06：00～18：00，太陽在反射面上的直射點由西南向東南逆時針轉動。在06：00和18：00，由于太陽側照天線及反射面遮擋，天線溫度場的不均勻性更為明顯，桁架最高溫度分別為24.0 ℃、37.1℃，均高于同時刻反射面的溫度最大值（23.2 ℃、35.7℃）。08：00、14：00的反射面可分為3個比較均勻的溫度區域，即高溫區、過渡區和低溫區；這兩個時刻反射面最高溫度分別為32.4℃、45.2℃，均高于同時刻桁架的最大溫度值27.9℃、40.3℃，反射面與桁架的溫差分別為4.5℃、4.9℃。

圖11 06：00天線溫度場分布Fig. 11 Distribution of antenna temperature field at 06：00

圖12 08：00天線溫度場分布Fig. 12 Distribution of antenna temperature field at 08：00

圖13 14：00天線溫度場分布Fig. 13 Distribution of antenna temperature field at 14：00

圖14 18：00天線溫度場分布Fig. 14 Distribution of antenna temperature field at 18：00

天線仰天姿態下溫差特點及機理探討如下：圖15、16給出了背架的溫度/溫差變化曲線?？梢?，不同風速下背架的溫度/溫差變化規律相同：從05：00到19：00，太陽高度角大于0°，背架受到太陽輻射，故其最高溫度高于空氣溫度。不同風速下背架的溫度最大值均出現在14：00左右，最高溫度可達39.7℃（3.0m/s）、41.7℃（1.5m/s）。從19：00到次日凌晨05：00，背架溫差較小，且其溫度低于空氣溫度，這是由于夜晚無太陽直接照射，而遠空溫度低于空氣溫度，背架向遠空散熱。背架的溫差雙峰分別出現在06：00、18：00，風速3.0m/s時分別為4.8℃、5.1℃，風速1.5m/s時分別為6.5℃、6.9℃。在05：00、19：00時，太陽側照背架，所以不同風速下背架的溫差會急劇變化；從05：00到19：00，不同風速下背架溫差分別在4～5℃（3.0m/s）、5～7℃（1.5m/s）范圍內變化。

圖15 背架溫度Fig. 15 Temperature of backup structure

圖16 背架溫差Fig. 16 Temperature difference of backup structure

風速對溫度場的影響及機理探討如下：由圖15、16中不同風速曲線對比可見，隨著風速增大，背架的溫升、溫差減小。這是由于在太陽輻射強度一定的條件下，風速越大，對流換熱越強烈，背架高溫區相對于空氣的溫升越小，而不同風速下背架的最低溫度本就與空氣溫度相仿，故總體溫差減小。由分析依據可知，上述結論在天線任意俯仰角下都成立。

仰天姿態下天線熱變形規律分析如下：圖17～20分別為對應于圖11～14溫度場的反射面熱變形形狀。在非均勻溫度場的作用下，反射面變形可分為兩部分：一部分是由結構整體溫升產生的變形，另一部分是由結構溫度梯度產生的變形。前者占主導，但其對反射面精度幾乎沒有影響；后者導致反射面出現以扭轉、畸形為主的不均勻變形。

圖17 06：00主反射面變形云圖Fig. 17 Deformation cloud of the main reflector at 06：00

圖18 08：00主反射面變形云圖Fig. 18 Deformation cloud of the main reflector at 08：00

圖19 14：00主反射面變形云圖Fig. 19 Deformation cloud of the main reflector at 14：00

圖20 18：00主反射面變形云圖Fig. 20 Deformation cloud of the main reflector at 18：00

反射面不同時刻的熱變形具有不同特點，整體沿俯仰軸呈現出“元寶”狀的變形趨勢，反射面邊緣變形與扭轉角度較大，且溫差越大其不均勻變形程度越大（對比圖19及20）。

2.2.3日照熱誤差及其補償分析

如圖4所示，定義RRMSd為變形后反射面相對于原設計拋物面的均方根值，其反映了反射面偏離原設計面的程度，即絕對變形情況。變形后反射面點B到原來位置（A）的偏差記為 ?1，其計算如下：

則RRMSd計算公式為：

圖21為俯仰角90°、不同風速下RRMSd曲線。仰天姿態下反射面絕對變形隨時間、風速變化規律及其機理分析如下：05：00至19：00，絕對變形量隨太陽高度角先增大后減小，最大值出現在12：00左右，原因是此時太陽輻射強度最大；在05：00和19：00，RRMSd會發生“跳躍”式突變，因此時天線經歷了太陽入射角度的狀態變化。風速方面：RRMSd隨風速增大而減小，因為風速越大，天線與環境間的換熱速率越快，結構整體的溫升越小，由熱引起的絕對變形量就越小。

圖21 俯仰角90°，不同風速下R RMSdFig. 21 RRMSd at different wind speeds at pitch Angle of 90°

仰天姿態下反射面宏觀變形時空特征分析：由最佳吻合拋物面的定義可知其參數變化反映了反射面宏觀的位姿變化情況，故由式（21）即可得到副面的位置調整量UX、UY、UZ，亦可用于評價反射面的宏觀剛體移動。

圖22為俯仰角90°下副反射面補償量。

圖22 不同風速下副反射面位置調整量Fig. 22 Position adjustment of subreflector at different wind speeds

由圖22可得出以下結論：

1）副反射面沿X軸（俯仰軸）的位置調整量關于12：00呈“奇函數”對稱。其原因為：04：00到07：00，太陽在天線的東偏北方向升起（見圖11），側照X軸正半軸一側的天線結構，被照射側結構溫度高于另一側，使反射體受熱膨脹沿X軸正向產生偏移，此時天線結構的溫差最大，故補償量達到最大；從07：00至10：00，隨著太陽高度角增大，太陽照射區逐漸“翻過”反射面，出現在X軸負半軸一側的天線結構上（見圖2），其變形趨勢與04：00至7：00的相反，故副面沿X向的補償量開始減??；10：00至12：00，太陽照射位置靠近天線中心，導致結構溫度的不均勻性減小，所以補償量幅值較??；中午12：00之后，太陽與天線相對位置的變化情況與上午時段剛好相反，故補償量的變化規律也與上午時刻相反。

2）05：00至14：00，隨天線結構溫升的增大，其熱膨脹變形量一直增大，故副反射面沿Z軸（焦軸）的補償量單調增大；14：00至20：00，隨天線結構溫升的減小，補償量單調減小。

3）風速的影響：對比圖22中不同風速的結果可知，補償量的變化趨勢相同但幅值不同。其原因為：風速增大，天線與環境間的換熱速率越快，導致背架溫差減小，使得其熱變形減小，補償量自然就減少了。

結合溫度場、變形場、絕對變形量以及補償量數據，QTT日照熱變形的規律及機理總結如下：

1）太陽側面照射天線時，即照射反射面凸面，不均勻變形最劇烈；從側照到部分照射反射面凹面或者相反的過程（見圖2），結構不均勻變形會經歷峰值；其發生具體時間取決于天線–太陽所呈現出的相對姿態。

2）溫度分布的非均勻性是結構不均勻變形的主要原因，溫差越大不均勻變形程度越大。

3）風速不改變溫度場的空間分布，只影響其幅值；不同風速下同一姿態反射面的熱變形具有相同的變化趨勢，熱變形隨風速增大而減小。

在QTT熱誤差控制及其補償中，可利用上述規律，通過連續測量天線的溫度場、風速及太陽輻射強度等數據，對未來反射面的熱變形變化趨勢進行預測，形成補償方案。

2.2.4補償后反射面精度分析

圖23～25為采用副反射面位置補償后，不同工況下反射面RRMS的變化曲線。由圖23～25可知，RRMS曲線皆形如“馬鞍”，且數值遠小于RRMSd曲線。RRMS在05：00、19：00會發生急劇變化，因此刻太陽側照天線；在13：00，RRMS出現谷底。不同風速下RRMS時間變化趨勢相同，但數值隨風增強而減小，這是由于大風加快了天線與環境間的對流換熱，背架整體的溫差變小，反射面不均勻熱變形隨之減小，使得反射面形狀精度變高。

俯仰角為45°、90°時的RRMS具有與類似變化趨勢，但波峰/波谷出現的時間及持續時間不同，這是由于不同姿態下太陽–天線相對位置不同，從而導致太陽“翻過”反射面的時間不同。

圖26、27為同一時刻不同風速下主反射面光程差的分布云圖，對比可知：風速對反射面光程差的空間分布趨勢沒有影響；但隨風速增大，背架溫差變小，反射面的光程差減小。圖27、28為不同時刻同一風速下光程差的分布云圖，可見其分布繞天線方位軸轉動，與太陽入射角有相關性。對比左右圖可知，采用副反射面位置補償可有效減小天線的熱誤差。

圖23 俯仰角0°不同風速下R RMSFig. 23 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 0°

圖24 俯仰角45°不同風速下R RMSFig. 24 RRMS at different wind speeds with pitch angle of 45°

圖2 6 0 8：0 0光程差，風速1.5m/sFig. 26 Optical path difference at 08：00, wind speed 1.5 m/s

圖27 08：00光程差，風速3.0m/sFig. 27 Optical path difference at 08：00, wind speed 3.0 m/s

圖28 12：00光程差，風速3.0m/sFig. 28 Optical path difference at 12：00, wind speed 3.0 m/s

3 結 論

本文通過有限元仿真研究了多工況下QTT主反射面的熱誤差及其副反射面位置補償，總結了其日照溫度場、熱變形、型面精度以及副反射面位置補償量的數值、變遷規律以及機理。上述規律及機理有助于估計、理解天線日照熱誤差問題并為熱補償方案提供依據。主要結論如下：

1）天線反射體與座架連接處應采取熱應力釋放措施，減弱座架對反射體的熱膨脹約束。

2）溫差導致天線結構產生的不均勻變形是其反射面精度下降的主要原因，且溫差越大反射面精度越差；均勻溫升對反射面精度幾乎沒有影響。

3）風速不改變天線結構的溫度場分布，只影響其幅值；隨風速減小，結構的溫差增大，反射面精度隨之變差。

4）天線和太陽的相對位置決定了天線的熱變形分布；當天線與太陽相對位置相同時，無論天線絕對姿態如何，其具有相似的熱變形分布，但由于日照強度、風速等因素的不同，天線結構變形量的幅值不同。

5）日照非均勻溫度場導致天線結構產生不均勻熱變形，大大降低了反射面精度，采用副反射面位置補償措施可明顯改善日照熱誤差的影響。