基于三周期極小曲面的多孔結構力學性能研究

張曦,丁力平,吳沛豪

(南京航空航天大學 機電學院,江蘇 南京 210016)

0 引言

三周期極小曲面(triply periodic minimal surfaces,TPMS)是一種基于數學模型表達的隱式曲面,具有三維周期性、零曲率、幾何形狀多樣等特點[1]?；赥PMS設計的多孔結構相較于傳統點陣結構(如體心立方結構)具有高表面積與體積比、表面光滑、孔隙連通性優越、孔隙特征可控等優點[2],在醫學植入物、結構輕量化設計等領域得到廣泛應用。

在多孔結構實際應用場景中,多孔結構往往需要滿足一定的強度要求,Gibson-Ashby 模型是評估多孔結構力學性能最為經典的模型。Gibson-Ashby模型表達了多孔結構孔隙率與力學性能之間的關系[3],但是除了孔隙率這一影響多孔結構力學性能的主要因素外,孔隙形狀、尺寸及空間分布也會對其力學性能產生影響[4],而且由于多孔結構具有復雜的結構特征,其成形實體與設計模型之間往往存在較大誤差[5],在多孔結構的設計階段難以準確地評估其真實孔隙率,因此采用Gibson-Ashby 模型預估的力學性能與實際值相差較大,如吳先哲等[6]采用Gibson-Ashby 模型預測的多孔結構彈性模量與實際值相差高達96%;張國慶等[7]采用Gibson-Ashby 模型預測的正八面體結構的力學性能與實際值相差高達68.3%。為了解決這一問題,國內外研究人員對Gibson-Ashby 模型進行了修正。JHA等[8]根據多孔結構的孔隙特征修正了Gibson-Ashby 模型的系數,并提出了修正后系數的取值規律;阮文超等[9]修正了孔隙率的計算方式,進而完成了對Gibson-Ashby 模型的修正;韓春光[10]分析了開孔泡沫材料的變形機制,對Gibson-Ashby 模型進行了推廣;HU等[11]通過分析結構的宏觀特征,引入有效相對密度這一概念來修正Gibson-Ashby 模型。

盡管國內外許多研究人員針對Gibson-Ashby 模型做了一定的修正,但是這些研究主要是通過進行大量的試驗和理論計算,依據多孔結構的孔隙特征修正Gibson-Ashby 模型的系數,修正過程繁瑣。此外,由于難以定量地描述多孔結構的結構參數對孔隙特征的影響,因此未能建立多孔結構的結構參數與力學性能之間的關系模型,在設計多孔結構時不能直觀地預估其力學性能。針對在多孔結構設計階段難以直接預測其力學性能的問題,本文以TPMS模型中的Schwarz_P結構為研究對象,采用選區激光熔化(selective laser melting,SLM)技術制備了不同結構參數的Schwarz_P結構,進行了壓縮試驗,研究了其力學性能,建立了力學性能與結構參數之間的關系模型。

1 試驗方法、材料及設備

1.1 Schwarz_P結構

本文以TPMS模型中的Schwarz_P曲面為研究對象,Schwarz_P曲面方程φΡ(x,y,z)如式(1)所示。

(1)

式中:k為單元大小;c為形狀因子。

圖1為不同結構參數的Schwarz_P結構的圖像。由圖1可知,改變單元大小k值, Schwarz_P元胞單元大小隨之改變,Schwarz_P結構的孔隙大小發生改變;改變形狀因子c值,Schwarz_P曲面偏移值隨之改變,Schwarz_P結構的形狀進而發生變化。因此通過調控單元大小和形狀因子的取值可實現對Schwarz_P結構孔隙特征的精確化控制。

圖1 Schwarz_P結構圖像

需要指出的是,形狀因子c存在閾值,即當c達到一定值時,Schwarz_P結構上下層連接線過細,產生夾斷現象,夾斷現象的產生導致Schwarz_P結構不連續,因此需要對形狀因子的取值做出限制。張明康[12]對Schwarz_P結構的夾斷行為做了一定研究,研究結果表明當形狀因子c為1時,Schwarz_P結構會出現夾斷現象,因此形狀因子c最大值應小于1。

1.2 基于加工軌跡構造的多孔結構設計方法

本文采用基于加工軌跡構造的多孔結構設計方法完成Schwarz_P結構的設計,該設計方法相較于多孔結構傳統設計方法的顯著區別是無需構建多孔結構的CAD模型,僅僅需要構建為多孔結構的設計提供空間尺寸約束的殼體模型,通過隱式函數方程或者自然規則來完成多孔結構的隱式表達,依據隱式表達構造多孔結構加工軌跡,最后生成打印文件[13]。Schwarz_P結構設計的主要流程如下:1)對殼體模型切片,在切片得到的二維輪廓內生成點陣區域,將點陣區域劃分為二維輪廓內部點、邊界點和外部點,舍棄外部點,保留內部點和邊界點;2)依據Schwarz_P曲面方程生成元胞單元軌跡;3)將點陣與元胞單元軌跡求交,邊界點和內部點與元胞單元軌跡的求交結果分別為Schwarz_P結構的邊界軌跡和內部軌跡;4)合并邊界軌跡和內部軌跡,完成一層Schwarz_P結構的軌跡構造;5)重復上述步驟,完成所有二維輪廓的軌跡構造,生成打印文件,即完成Schwarz_P結構的設計。

1.3 試驗設計

本文以Schwarz_P結構的單元大小k和形狀因子c為因素,設計兩因素五水平的全因子試驗,Schwarz_P結構的三維尺寸為(10×10×20)mm3,并采用SLM技術制備,全因子試驗參數設置如表1所示。為了保證試驗結果的準確性,每組結構參數制造3個樣品。在制備不同結構參數的Schwarz_P結構時,SLM工藝參數保持一致,SLM工藝參數如表2所示。

表1 全因子試驗參數設置

表2 SLM工藝參數

1.4 試驗材料及設備

Schwarz_P結構成形試驗選用的粉末是某公司生產的Ti6Al4V粉末,成形設備為某公司研發的Ti150打印機。本文參照《GB/T7314—2017金屬材料室溫壓縮試驗方法》和《GB/T1453—2005夾層結構或芯子平壓性能試驗方法》[14-15],在室溫下采用cmt505電子萬能試驗機進行壓縮試驗,同一組結構參數的Schwarz_P結構進行3次壓縮試驗,試驗機載荷加載速度為2mm/min,載荷加載方向與Schwarz_P結構成形方向一致。

2 試驗結果與分析

2.1 試驗結果

圖2為本文制備的Schwarz_P結構樣品。由圖2可知,本文制備的Schwarz_P結構表面無宏觀缺陷,成形效果良好。圖3為Schwarz_P結構的應力-應變曲線(本刊黑白印刷,相關疑問咨詢作者)。由圖3可知,Schwarz_P結構的應力-應變曲線呈現周期性上升和下降的現象,這是由于Schwarz_P結構具有周期性,在壓縮過程中多孔單元逐層被壓潰,因此其應力-應變曲線為周期性上升和下降的曲線。

圖2 Schwarz_P結構樣品

圖3 Schwarz_P結構應力-應變曲線

本文對Schwarz_P結構彈性變形階段的應力-應變曲線進行線性擬合,以擬合直線的斜率作為Schwarz_P結構的彈性模量,以應力-應變曲線中的應力峰值作為Schwarz_P結構的抗壓強度,Schwarz_P結構的力學性能如圖4所示。本文取3次壓縮試驗得到的彈性模量和抗壓強度的平均值作為Schwarz_P結構的等效彈性模量和抗壓強度,如圖5所示。由圖5可知,本文制備的Schwarz_P結構的最大彈性模量為2.175GPa(k=1、c=0.6),最小彈性模量為0.097GPa(k=5、c=0.2),最大抗壓強度為101.663MPa(k=1、c=0.6),最小抗壓強度為2.442MPa(k=5、c=0.4)。

圖4 3次壓縮試驗得到的力學性能

圖5 Schwarz_P結構的等效力學性能

2.2 主因子分析

本文采用Schwarz_P結構的結構參數與力學性能的交互作用圖和主效應圖來分析其結構參數對力學性能的影響,如圖6、圖7所示。由圖6(a)和圖7(a)可知,交互作用圖中的直線近乎重合,單元大小k和形狀因子c未發生交互作用;由圖6(b)和圖7(b)可知,彈性模量和抗壓強度均隨單元大小k的增加而顯著減少,形狀因子c的變化對彈性模量和抗壓強度影響甚微,單元大小k為影響Schwarz_P結構力學性能的主要因素。綜合對結構參數與力學性能的交互作用圖和主效應圖的分析可知,Schwarz_P結構的力學性能由單元大小k決定,與形狀因子c無關。

圖6 彈性模量因子圖

圖7 抗壓強度因子圖

2.3 模型擬合

為了對Schwarz_P結構的力學性能進行直觀的預測,結合2.2節關于Schwarz_P結構參數的主因子分析,本文建立變量為單元大小k的統計學模型描述結構參數與力學性能之間的關系,分別如式(2)、式(3)所示。

E=a+b×k+c×k2+d×k3

(2)

σ=e+f×k+g×k2+h×k3

(3)

式中:E為彈性模量;σ為抗壓強度;k為單元大小;a、b、c、d、e、f、g、h均為待擬合的常數。擬合結果如圖8所示。由圖8可知,彈性模量與單元大小k之間的關系模型的擬合優度R2為0.996 86,抗壓強度與單元大小k之間的關系模型的擬合優度R2為0.988 14,擬合效果良好。此外,由圖8可知,存在個別樣品(樣品結構參數分別為:k=1,c=0.4;k=2,c=0.8)的力學性能明顯偏離擬合曲線的情況。這是因為在SLM成形過程中,這些樣品表面附著了大量未完全熔化的粉末顆粒[16],因此其力學性能與擬合曲線之間存在較大的偏差。

圖8 Schwarz_P結構力學性能關系模型擬合結果

2.4 模型驗證

為了驗證本文建立的關系模型的有效性,本文采用相同的設計方法設計了5組不同于1.3節全因子試驗結構參數的Schwarz_P結構,采用SLM技術制備,SLM成形工藝參數與表2相同,并在相同的試驗條件下測試其力學性能,與采用本文建立的模型預測的力學性能進行對比,對比結果如圖9所示。由圖9可知,采用本文建立的模型預測的力學性能與實際力學性能基本保持一致,彈性模量預測值與實際值的最大誤差為9.5%,最小誤差為3.9%,抗壓強度預測值與實際值的最大誤差為7.9%,最小誤差為4.6%。此外,由于本文建立的關系模型直接描述了Schwarz_P結構的結構參數與力學性能之間的關系,因此該模型可在多孔結構設計階段直觀地預測多孔結構的力學性能,能夠為Schwarz_P結構的設計提供指導。

圖9 力學性能驗證試驗對比結果

3 結語

本文選取TPMS模型中的Schwarz_P曲面,采用基于加工軌跡構造的多孔結構設計方法設計了不同結構參數的Schwarz_P結構,利用SLM技術成功制備,通過壓縮試驗研究了Schwarz_P結構的力學性能,建立了彈性模量和抗壓強度與結構參數之間的關系模型,模型擬合優度分別為0.996 86和0.988 14,力學性能驗證試驗結果表明本文建立的模型能有效預測Schwarz_P結構的力學性能,可在Schwarz_P結構的設計階段直觀地預估其力學性能。