復數場景創設，幾何意義應用

孫寶慶

摘要：復數的幾何意義是復數自身的延伸與拓展，也是“數”“形”結合的很好例證.結合復數幾何意義應用的一些常見場景實例，結合概念、運算、綜合問題以及創新問題等方面，剖析復數幾何意義應用的內涵實質，歸納總結解題規律與技巧，本文中指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：復數；幾何意義；概念；運算；綜合

通過建立平面直角坐標系，引入復平面，就可以把相應的復數（代數問題）轉化為復平面內的點（幾何問題）來分析與研究，建立了數形結合的通道，實現“數”與“形”的結合，為進一步利用復數來解決相應的數學問題提供了方便.建立了復平面內的點Z（a，b）、向量OZ=（a，b）與復數z=a+bi（a，b∈R）三者之間的一一對應關系，為我們用復數方法解決幾何問題、復數方法解決向量問題、向量方法解決復數問題，以及它們反過來解決對應的問題等創造了條件.

1 復數中的概念問題

例1? 在復平面內，復數z=－sin 2－icos 2的共軛復數所對應的點位于（? ）.

A.第一象限????? B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析：根據題設條件，結合三角函數的概念、性質，確定對應三角函數值的正負，再利用共軛復數的概念，進而確定對應復數的實部與虛部的正負，利用復數的幾何意義等判斷相應點的位置.

解析：因為2弧度對應的角的終邊在第二象限，則有sin 2>0，cos 2<0.

又復數z=－sin 2－icos 2的共軛復數為z=－sin 2+icos 2，可得－sin 2<0，cos 2<0.

結合復數的幾何意義，知復數z=－sin 2+icos 2所對應的點位于第三象限.

故選：C.

點評：借助復數的幾何意義，合理構建起復數z=a+bi（a，b∈R）在復平面內的對應點的坐標Z（a，b），結合復數的概念，利用點Z（a，b）所滿足的條件來判斷復數所對應的點的幾何特征等.涉及復數的基本概念問題，要充分把握概念的實質，挖掘概念的內涵，不要產生混淆，否則容易出錯.

2 復數中的線性運算問題

例2? 已知復數z1對應的向量OZ1的終點在第四象限，復數z2對應的向量OZ2的終點也在第四象限，那么復數z1+z2對應的向量OZ的終點在（? ）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

分析：根據題設條件，結合兩復數所對應的向量的終點均在第四象限，利用復數的幾何意義以及對應的復數的加法運算，從幾何視角來直觀分析與處理，進而確定兩復數的和所對應的向量的終點位置.

解析：依題意可知，復數z1對應的向量OZ1的終點在第四象限，復數z2對應的向量OZ2的終點也在第四象限，結合復數的加法運算的幾何意義，借助平行四邊形法則，可知復數z1+z2對應的向量OZ的終點一定在復數z1，z2對應的向量所在的直線的之間位置，即其終點也是在第四象限.

故選：D.

另解：設z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）.

由題意可知，復數z1對應的點在第四象限，則a＞0，b＜0.

同理c＞0，d＜0.

又z1+z2=a+bi+c+di=（a+c）+（b+d）i，所以a+c＞0，b+d＜0.

故z1+z2對應的向量OZ的終點在第四象限.

點評：直接抓住復數加法運算的幾何意義，從“形”的視角切入，將復數問題轉化為對應的向量問題，直觀明了，易于分析.特別地，涉及兩個復數的加法運算，借助對應的幾何意義解題時，既可以使用平行四邊形法則，也可以使用三角形法則.

3 復數中的綜合運算問題

例3? 復數z=1+i在復平面內對應的點為A，將點A向右平移一個單位長度得到點B，將點B繞坐標原點按逆時針方向旋轉90°得到點C，再將點C向上平移一個單位長度得到點D，則點D所對應的復數為.

分析：根據題設條件，結合復數的幾何意義，由條件中給出的復數確定對應點A的坐標，利用復平面內點的平移變換、旋轉變換等依次確定對應點的坐標，進而由點的坐標還原對應的復數.

解析：依題意可知，點A為（1，1），將點A向右平移一個單位得到點B（2，1），而將點B繞坐標原點按逆時針方向旋轉90°得到點C，結合對稱性知，點C為（－1，2），再將點C向上平移一個單位長度得到點D（－1，3）.

所以點D所對應的復數為－1+3i.

故填答案：－1+3i.

點評：熟練掌握平面直角坐標系中點的平移變換、旋轉變換（以90°旋轉等）、對稱變換（以坐標原點為對稱中心的中心對稱變換，以坐標軸、象限的角平分線等為對稱軸的軸對稱變換）等，巧妙融入復數或平面向量的相關知識，借助復數的幾何意義加以綜合.

4 復數的綜合問題

例4? 已知復數z=3+ai（a∈R），且滿足|z|<4，則實數a的取值范圍是.

分析：根據題設條件，結合復數的模的條件，可以從代數思維與幾何思維視角切入，分別通過模的代數運算與不等式求解，以及復數的幾何意義的應用等來分析與解決，各有千秋，殊途同歸.

解法一：代數思維.

依題意可知，z=3+ai（a∈R），可得|z|=32+a2.

由已知可得32+a2<42，即a2<7，解得－7

所以實數a的取值范圍是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

解法二：幾何思維.

如圖1所示，由|z|<4知，復數z在復平面內對應的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內（不包括邊界）.

由z=3+ai知，復數z對應的點在直線x=3上，所以線段AB（除去端點）為動點Z的集合，由圖可得－7

所以實數a的取值范圍是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

點評：涉及復數的模的綜合問題，有其“數”的基本屬性，也有其“形”的結構特征，具有對應的幾何意義.借助復數的幾何意義來解決一些與復數的模相關的綜合問題，可以進一步拓展復數中的代數本質，以更直觀形象的視角來挖掘復數中的幾何內涵，為綜合問題的解決提供更加廣闊的空間.

5 復數的創新問題

例5? 18世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使復數及其運算具有了幾何意義，例如|z|=|OZ|，也即復數z的模的幾何意義為z對應的點Z到原點的距離.已知復數z滿足|z|=1，i為虛數單位，則|z+3－4i|的最小值為.

分析：根據題設條件，由題設場景中給出的復數z的模的幾何意義，將復數問題轉化為對應的幾何問題，利用圖形直觀，結合點與圓的位置關系加以分析與判斷，進而確定相應的最值問題.

解析：依題意可設z=x+yi（x，y∈R）.

由題意可知|z|=1，利用復數的模的概念可知，x2+y2=1，其幾何意義為以O（0，0）為圓心，半徑為r=1的圓.

由于|z+3－4i|的幾何意義是圓O上的點到定點P（－3，4）的距離，又

|OP|=32+42=5，因此根據點與圓的位置關系可知，|z+3－4i|的最小值為|OP|－r=5－1=4.

故填答案：4.

點評：我們知道，復數的概念、復數的模、復數的四則運算等都具有各自對應的幾何意義，有其“形”的幾何特征，充分挖掘并利用這些相關要素的幾何意義，可以很好地將相應的“代數”問題巧妙轉化為“幾何”問題，從不同思維視角、不同知識層面等方面來分析、解決問題，實現問題的突破與應用.

復數的幾何意義是復數中的“數”與幾何中的“形”之間銜接的橋梁，是“數”與“形”結合的體現.通過復數幾何意義的引入與應用，淡化了繁瑣的數學運算和技巧方法訓練，可以更好地體會數學體系的建構過程、數形結合思想以及理性思維在數學發展中的作用，達到利用復數幾何意義的“形”的意識，結合復數的基本概念、四則運算等，明確現實生活中存在的“數”，真正達到數形結合.