應用齊次化解決解析幾何中定點定值問題

摘要：應用齊次化方法解決圓錐曲線定點、定值等問題，成為近年來高考試題的主流趨勢.這是一種新型創新方法，倍受高考命題者和高中教師青睞.本文中嘗試從斜率基礎知識講起，結合例題力求將齊次化方法講明白.

關鍵詞：齊次化;平移;構造;二次曲線;定點；定值

文＼中，詳盡論述了圓錐曲線上不共線三點定理關于定點、定值的問題，提到了利用原點平移法解決復雜的計算.文＼中，闡述了如何突破解析幾何中的超量運算問題.兩篇文章中均是研究如何破解解析幾何中復雜運算的方法.然而最近幾年高考中考查圓錐曲線定點、定值等問題，仍然是焦點，面對復雜的運算，如何將題目背景、考查思維方式分析透徹成為一種主流趨勢.應用齊次化方法解決高考中圓錐曲線定點、定值等問題，應運產生.這是一種新型創新方法，倍受高考命題者和高中教師青睞，但一部分教育教學人員對此意義、使用原理存在疑問，了解不全面.因此，本文中嘗試從基礎知識開始講起，結合例題，爭取把齊次化方法的原理講清楚.

1 預備基礎知識

（1）直線l上兩個不同點P（x，y），P0（x0，y0），滿足x≠x0，此時直線l的斜率存在且為k=y－y0x－x0；當

x0=0，y0=0，即P0為原點O時，斜率k=yx.

（2）對于二次曲線Ω：f（x，y）=Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0），文中主要考慮C=0，即f（x，y）=Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0）的情形.

當過點P0（x0，y0）作兩條直線與二次曲線有兩個不同交點M（x1，y1），N（x2，y2），且f（x0，y0）=0時，則k1=y1－y0x1－x0，k2=y2－y0x2－x0，k1+k2=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0，k1·k2=y1－y0x1－x0·y2－y0x2－x0.

（3）直線方程有幾種設法，用常數“1”代換，轉化為二次齊次化方程.一般直線不過定點（x0，y0），如

λ（x-x0）+μ（y-y0）=1（λ，μ∈R）.①

再如y－y0=k0（x－x0）+m，即

（y－y0）－k0（x－x0）m=1（m≠0，m∈R）.②

（4）當直線方程代入二次曲線時，如何把方程齊次化？下面給出一般情況：

A［（x－x0）+x0］2+B［（y－y0）+y0］2+D＼5［（x－x0）+x0］·1+E［（y－y0）+y0］·1+F=0.

上式可化成

A（x－x0）2+B（y－y0）2+（2Ax0+D）（x－x0）·1+（2By0+E）（y－y0）·1=0.③

又f（x0，y0）=Ax20+By20+Dx0+Ey0+F=0，再將直線方程①或②的左邊看成一個整體1代入③式.

如代①式，其中x－x0≠0，關于y－y0x－x0的一元二次方程有兩不等實根，即③式化為

［B+（2By0+E）μ］y－y0x－x02+［（2Ax0+D）μ+（2By0+E）λ］y－y0x－x0+［A+（2Ax0+D）λ］=0.④

令t=y－y0x－x0，a=B+（2By0+E）μ，b=（2Ax0+D）μ+（2By0+E）λ，c=A+（2Ax0+D）λ，則④式轉化為關于t的一元二次方程at2+bt+c=0（a≠0），其判別式Δ=b2－4ac>0.

2 典型例題應用

引例? （2022年全國新高考卷理第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan ∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

解析：（1）由題意易得雙曲線方程為x22－y2=1.

（2）方法1.雙曲線方程平移為（x－2）22－（y－1）2=1.

設直線l的方程為y=kx+m，則

y－kxm=1（m≠0）.⑤

平移后的雙曲線方程整理為

2y2－x2+4x·1－4y·1=0.⑥

把⑤代入⑥，齊次化為

2－4myx2+4+4kmyx－1+4km=0 ，

2－4m≠0，Δ=4+4km2+42－4m1+4km>0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

由韋達定理，得

kPA+kAQ=y1x1+y2x2=4+4km2－4m=0.

解得k=－1.

方法2：雙曲線的方程可化為［（x－2）+2］22－［（y－1）+1］2=1，變形整理，得

（x－2）2－2（y－1）2+4（x－2）·1－4（y－1）·1=0.⑦

直線l不過點A，設其方程為

m（x－2）+n（y－1）=1（m，n∈R）.⑧

把⑧代入⑦，得（4m+1）（x－2）2－（4n+2）＼5（y－1）2+（4n－4m）（x－2）（y－1）=0.

整理為（4n+2）y－1x－22－（4n－4m）y－1x－2－（4m+1）=0，其中4n+2≠0，Δ=（4n－4m）2+4（4n+2）（4m+1）>0.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達定理得kPA+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=4n－4m4n+2=0，即m=n.

所以kPQ=－mn=－1，即直線l的斜率為－1.

評注：2022年全國新高考數學卷中考查到定值問題即kPA+kAQ=0，則直線PQ斜率為定值.相對通法通解，利用齊次化法解決與直線斜率有關的定值、定點等問題很奏效，因此倍受關注.這種方法主要是繞過常規運用韋達定理比較復雜的運算，但實質還是使用代數的方法把和直線與曲線相交的點的斜率齊次化，使用齊次化后新的一元二次方程的韋達定理，本質上與原命題等價.這也體現了解析幾何處理問題形式簡捷、對稱的數學美學思想.

下面再通過兩個例題具體解釋利用齊次化方法解決問題的詳細過程和注意要素.

例1? （2021年高三?？迹┮阎獧E圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上頂點A（0，1），離心率為22.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若過點A作圓M：（x+1）2+y2=r2（r>0）的兩條切線分別與橢圓相交于點B，D（不同于點A）.當r變化時，試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

解析：（1）易得橢圓的方程為x22+y2=1.

（2）把原點平移到點A，點A坐標為（0，0），則新坐標系（下面均指新坐標系下的問題）中，橢圓的方程可化為x22+（y+1）2=1，圓M的方程可化為（x+1）2+（y+1）2=r2（r>0）.設過點A與圓M相切的直線方程為y=kx，則r=|k－1|1+k2，即

（r2－1）k2+2k+r2－1=0.⑨

由于點A在⊙M外，故0

0=2y2+x2+4y·1=2y2+x2+4y·（mx+ny），即（4n+2）y2+4mxy+x2=0，兩邊同除x2（x≠0），得

（4n+2）yx2+4myx+1=0.⑩

方程⑩中4n+2≠0，Δ=16m2－4（4n+2）>0.由韋達定理，得y1x1·y2x2=14n+2=1，即n=－12，m≠0.代入直線BD：mx+ny=1，得mx－12y=1，故直線BD過定點（0，－2）.還原到原坐標系，直線BD過定點為（0，－3）.綜上所述，直線BD過定點（0，－3）.

評析：本題坐標平移是為了在代入直線方程時易于齊次化，且把直線斜率化為yx的形式，從而利用直線AB，AD與圓M相切時找到題中隱含條件y1x1·y2x2=1.一般地，橢圓上三個不同點，其中一個為定點，另兩個為動點，若斜率之積為定值，則兩動點所在直線過定點［1］.最后注意，新坐標系下點的坐標要還原.另外，也可以通過直接構造而不通過坐標平移來齊次化，即x22+［（y－1）+1］2=1，直線BD方程為mx+n（y－1）=1，由y1－1x1·y2－1x2=1，可直接得到直線BD過定點（0，－3）.

下面再看例題2，仔細體會.

例2? （2022年高三?？迹┮阎壽EE上任一點M（x，y）與定點F（2，0）的距離和M到定直線l：x=4的距離之比為22.

（1）求軌跡E的方程，并說明軌跡表示什么圖形？

（2）設過點A（0，－1）且斜率為k1的動直線與軌跡E交于C，D兩點，且點B（0，2），直線BC，BD分別交圓x2+（y－1）2=1于異于點B的點P，Q，設直線PQ的斜率為k2，問是否存在實數λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）軌跡E的方程為x28+y24=1.

（2）橢圓方程可化為x28+［（y－2）+2］24=1，將直線CD的方程y－2=k1x－3化為（y－2）－k1x－3=1，代入橢圓方程，化簡可得2（y－2）2+x2+8（y－2）·（y－2）－k1x－3=0，整理為

2y－2x2－8k1y－2x－3=0，B11

其中Δ1=64k21+24>0.

設直線PQ：y－2=k2x+m，即（y－2）－k2xm=1（m≠0），代入

x2+［（y－2）+1］2=1，得

1+2my－2x2－2k2my－2x+1=0，B12

其中Δ2=2k2m2－41+2m>0.

由題意知，方程B11和B12是同解方程，于是21+2m=－8k1－2k2m=－31，解得m=－65，k2=85k1.

故存在λ=85滿足k2=λk1.

評注： 本題的解法沒有進行坐標的平移，而是通過構造法構造關于y－2x的一元二次方程，運用點B，P，C和點B，Q，D分別三點共線，轉化為對應的方程B11和B12是同解方程，從而實現系數成比例的轉化，達到最終目的.注意，若所設的直線方程為斜截式，可構造常數1=（y－y0）－k（x－x0）m（m≠0），同時，曲線方程可轉化為f（y－y0，x－x0）=0，其中（x0，y0）為題中直線所過的定點.由例1不難發現，所設直線方程的形式為斜截式、一般式比較容易構造出常數1，為將直線方程代入曲線方程齊次化處理作準備.

3 總結

齊次化構造一元二次方程，必須考慮二次項系數非零、判別式為正，保證后續運用韋達定理的正確性.對于二次系數為零的情況要注意討論.這種方法的出現，既體現了命題者的智慧，也體現了答題者精巧、簡捷的思維.而教育教學人員更是心有靈犀一點通，將命題與答題巧妙結合實施教學啟發，進一步錘煉、加工，未來使齊次化方法變成新的通解通法.

利用齊次化方法解決直線與曲線相交問題中，定值、定點問題相對目前公認的通法通解來講，運算過程易于把握，可減少出錯的可能，但是新的方程下的使用也必須滿足一元二次方程有兩個不等實根.而對于圓錐曲線的其他問題，如點的坐標、線段、三角形、多邊形面積的范圍或最值等，就一籌莫展了.因此，通法通解有其廣泛性.使用齊次化方法解決問題時，力求用好用準，同時注意問題的等價轉化.隨著高考改革的深入，伴隨國家選用人才方式的調整轉變，高考數學所考查的解題方式也發生著深刻變化，因循守舊、照本宣科行不通了.這需要我們數學教育教學工作者具有創新意識，在創新中解決新的變化，共同推進新時代背景下數學核心素養的發展新格局.

參考文獻：

［1］劉小樹.探究原點平移變換解決圓錐曲線上不共線三點問題＼.中學數學，2021（1）：53-54，56.

［2］劉小樹.例談如何突破解析幾何的超量運算＼.中學數學，2021（5）：39-40.