立體幾何垂直證明思路探究

王恩澤

摘要：立體幾何的主要目的是培養學生的空間想象能力，但立體幾何的學習對學生而言普遍感到困難.本文中結合具體案例對立體幾何垂直關系的證明思路進行了探究，為學生學習立體幾何主題提供一些參考.

關鍵詞：立體幾何；垂直證明；解題思路

立體幾何的垂直證明問題可以分為三類，分別是直線與直線、直線與平面、平面與平面.核心分析思路是通過假設待證的結論成立，然后結合已知條件，再進行逆向推理，得到關鍵信息，從而完成證明.

1 直線與平面垂直證明思路探究

例1? 如圖1所示，在四棱錐O-JKLM中，底面JKLM是矩形，OM=ML=1，OL=2，N為KL上的點，且JN⊥平面OMK.求證：OM⊥平面JKLM.

分析：欲證OM⊥平面JKLM，先證直線OM和平面JKLM內的兩條相交直線垂直，而條件給出JN⊥平面OMK，則JN⊥OM，所以只需要在平面JKLM內找到另外一條不與JN平行且與OM垂直的直線即可.又根據OM=ML=1，OL=2，可得到OM⊥LM.而LM與JN都在平面JKLM內且相交，所以證得OM⊥平面JKLM.

證明：∵JN⊥平面OMK，∴JN⊥OM.

∵OM=ML=1，OL=2，∴OM2+LM2=OL2.

∴OM⊥ML.

∵OM⊥JN，OM⊥ML，直線JN與ML都在平面JKLM內且相交，∴OM⊥平面JKLM.

思路：例1中證明垂直的方法為利用直線與平面垂直的判定定理，把直線與平面的垂直證明轉化為直線與平面內兩條相交直線的垂直證明.

啟示：學生在立體幾何主題學習過程中，要精準識記相關定理與公式，準確把握相關定理的核心內容與本質.教師在教學過程中要注意引導學生深刻理解相關概念與定理，把學過的舊知識與新知識進行串聯，增強新舊知識之間的聯系，幫助學生構建知識體系.

2 直線與直線垂直證明思路探究

例2? 如圖2，直三棱柱HJK-MNO的側面HKOM為正方形，HK=JK=2，I，L分別為HJ和JN的中點，P為棱MO上的點，LK⊥MO.證明：LK⊥PI.

分析：把異面直線的垂直證明轉化為直線與平面的垂直證明.先假設結論KL⊥PI成立，然后結合條件KL⊥MO進行逆推，發現兩條直線正好相交于點P，所以把待證明的線線垂直問題轉化為KL垂直于PI與MO所在平面的線面垂直問題，最后通過直線與平面垂直的性質定理得出待證明問題KL⊥PI.

證明：設KJ的中點為Q，連接MI，IQ，QO，PL，如圖3，則直線MO，IP均在平面MIQO內.

∵直三棱柱HKJ-MON中，側面HMOK為正方形，∴HK=KJ=KO=JN=2.

∵L，Q分別為JN，KJ的中點，∴JL=KQ=1.

又∠NJK=∠JKO=90°，∴△KJL≌△OKQ.

∴∠QOK=∠LKJ.

∵∠LKJ+∠OKL=90°，∴∠QOK+∠OKL=90°.

∴KL⊥OQ.

又KL⊥MO，MO和OQ在平面MOQI內相交，

∴KL⊥平面MOQI.

∵PI平面MOQI，∴KL⊥PI.

例3? 在四棱錐M-HIJK中，底面HIJK是平行四邊形，∠HIJ=120°，HI=1，IJ=4，HM=15，L，N分別是IJ，MJ的中點，MK⊥KJ，ML⊥LK，如圖4.證明：HI⊥ML.

證明：

在△JKL中，2LJ=IJ=4，JK=HI=1，∠IJK=180°-∠HIJ=60°，由余弦定理，得KL＝3.

∴KJ2+KL2=LJ2.

∴∠JKL=90°，即JK⊥KL.

∵HI∥KJ，∴HI⊥KL.

∵HI∥KJ，MK⊥KJ，

∴HI⊥MK.

∴HI⊥平面MKL.

∴HI⊥ML.

思路：直線與直線的垂直證明問題按照兩條直線是否共面可分為共面直線垂直和異面直線垂直.異面直線的垂直證明比共面直線的垂直證明略顯復雜，既可以把異面直線轉化為共面直線后再證明垂直，又可以把異面直線的垂直證明轉化為直線與平面的垂直證明.后者的思路是假設待證明的問題成立，通過將待證問題與題干中給出的垂直條件相結合，把直線與直線的垂直證明問題轉化為直線與平面的垂直證明問題解答即可.

啟示：學生在立體幾何主題學習過程中應該合理運用逆向思維，把待證結論變為已知條件合理加以使用，改變從條件到結論的思維定勢.教師在教學過程中注意合理引導學生理解并掌握逆向思維方式，提升思維的廣度.

3 平面與平面垂直證明思路探究

例4? 如圖5，四面體HIJK中，HK⊥KJ，HK＝KJ，∠HKI＝∠IKJ，L為HJ的中點.證明：平面ILK⊥平面HJK.

分析：利用兩個平面垂直的判定定理，需要在其中一個平面內找到一條與另外一個平面垂直的直線.題干給出了HK=JK，L為HJ中點，利用等腰三角形的性質可知KL⊥HJ，又因為∠HKI和∠IKJ相等，所以三角形HKI和三角形JKI全等，可知三角形HIJ為等腰三角形，則IL與HJ垂直.再證明HJ與平面ILK垂直，即可證明平面HJK與平面ILK垂直.

證明：∵在△HKJ中，HK＝JK，HL＝LJ，∴KL⊥HJ.

∵∠HKI＝∠IKJ，∴△HKI≌△JKI.

∴HI＝IJ.

∴IL⊥HJ.

又KL，IL都在平面IKL內且相交，∴HJ⊥平面IKL.

又HJ平面HJK，∴平面HJK⊥平面IKL.

思路：平面與平面垂直的具體證明方法是在其中一個平面內找到一條直線與另一個平面垂直，把面面垂直問題轉化為線面垂直問題，然后利用線面垂直證明思路完成證明.

啟示：學生在立體幾何主題學習過程中應該學會總結各種方法之間的聯系，理解不同方法間的共性.教師在教學過程中應該總結提煉每種方法的精華之處，幫助學生搭建橋梁，建立全面完整的知識系統.

在高中數學學習過程中，立體幾何主題是重難點[1].學生在學習立體幾何主題時，應該精準識記相關定理與公式，準確把握相關定理的核心內容與本質，合理運用逆向思維，把待證結論變為已知條件合理分析，改變從條件到結論的思維定勢，養成逆向思考的方式，總結各種方法之間的聯系，理解不同方法間的共性.教師應在教學過程中注意引導學生主動思考[2]，深刻理解相關概念與定理，把學過的舊知識與新知識進行串聯，增強新舊知識之間的聯系；合理引導學生理解并掌握逆向思維方式，提升思維的廣度；注意總結提煉每種方法的精華之處，幫助學生搭建橋梁，建立全面的知識系統，同時進行必要的習題練習，促進學生構建完整的知識體系[3].

參考文獻：

[1]任霞.高中生立體幾何學習現狀分析及有效對策＼.知識文庫，2022（12）：178-180.

[2]顧銀麗.一題多想，提升學生立體幾何解題能力＼.數理天地（高中版），2023（1）：35-36.

[3]張敏，楊耘.高中數學課堂立體幾何教學研究＼.新世紀智能，2022（A0）：26-27.