關于恒等算符的一點思考

楊 易 鄔劭軼 郭天浩 楊曉旭 蘇 婕

(電子科技大學物理學院 四川 成都 611731)

1 恒等算符簡介

恒等算符是量子力學的基本概念,通常定義為作用于任意狀態Ψ都使其保持不變的算符,即

IΨ≡Ψ

(1)

可見恒等算符I其實是整個算符中最基本、最簡單的成員,它作用于任意狀態的結果都相當于沒有作用.這點首先與算符作用于狀態后通常會使其發生改變(即FΨ=φ)不同,屬于最簡單的情形.其次,也與厄密算符的本征方程[1-2]

FΨ=λΨ

(2)

有所不同,因為本征方程雖然也體現了變化之中的不變這一辯證關系,但仍然需要乘以一個常數即對應的本征值λ.而恒等算符相當于這一常數恒為1,體現了大道至簡的法則.

但是恒等算符的神奇之處卻在于考慮具體表象F時,任意波函數Ψ可以按該表象的共同本征函數即基矢{|k〉}展開為[3]

(3)

由于|Ψ〉為任意狀態,可以得到以投影算符完全求和表示的恒等算符

(4)

其中每個分量為相應基矢的投影算符

pk=|k〉 〈k|

它使被作用的狀態投影到對應基上

pk|Ψ〉 =|k〉 〈k|Ψ〉 =ak|k〉

(5)

由此可見,得益于狄拉克符號,恒等算符具有以投影算符完全求和的形式.

2 恒等算符在量子力學計算中的妙用

在量子力學計算中,可以在恰當的位置(通常是波函數與算符之間或者兩個算符之間)插入恒等算符,使恒等算符中的左矢和右矢分別與旁邊的狀態配成內積形式,或與旁邊的力學量配成矩陣元的形式,從而使計算得以化簡并進行下去.例如計算兩個任意態Ψ和φ關于兩個算符A和B乘積的矩陣元可表為在A和B之間、Ψ與A之間以及B與φ之間分別插入單位算符的形式

〈m|A|k〉 〈k|B|n〉 〈n|φ〉 =

(6)

其中am和bn分別是狀態Ψ和φ在F表象中矢量形式a和b的m和n分量.這樣就可以將看似復雜的積分化為兩個矩陣元與兩個系數的乘積對3個腳標的求和,從而使計算得以進行下去.

在量子力學中的矩陣力學部分,涉及的狀態和力學量算符的表象變換以及基本量子力學問題中的本征值問題、平均值問題和含時薛定諤方程都可以利用恒等算符非常簡捷地得到相應的表達式.其中關鍵的步驟就是在恰當的位置插入恒等算符,使原本乘在一起的計算分開成同一個表象下不同基矢與狀態的內積(由此得到相應的分量系數)或力學量算符矩陣元.因此,上述對于恒等算符的討論可以幫助學生理解這一概念,并在計算中靈活地加以應用.

3 恒等算符的方法論思考

恒等算符在方法論上體現了思維方法的一個亮點,即辯證法中整體與局部的辯證關系.式(4)從左到右反映的是化整為零的方法和思路,歷史上著名的曹沖稱象即是這樣的例子.廣義來看,可以對應于無法測量的整體(源頭)以投影的方式降維分散于可以認知的三維空間的有限事物.

式(4)從右到左反映的是積零成整的方法.例如電動力學中計算無限大接地導電平板上方一個點電荷Q在空間產生的電勢分布時,如果基于導電平板上的感應電荷來計算空間電勢分布顯然會很復雜,但若采用電像法就很簡單,即用與點電荷Q對稱位置處的點電荷ΔQ來等價替代導電平板上所有感應電荷,這樣計算就會非常簡單.進一步說,在常規層面(維度)解決問題通常都很復雜,甚至不可能實現,但跳出常規層面(即投影)而直接進入其源頭(投影源)的話,問題也許就會變得很簡單,甚至會發現壓根就沒有問題,只不過是看錯的幻覺而已.

因此,自然辯證法中整體和局部的辯證關系可以用恒等算符的妙用充分地體現出來,為工作和學習帶來一定的便利.

4 恒等算符的哲學思考

在上述分析的基礎上可以對恒等算符進行哲學層面的探討.下面從全息論和本體論的角度加以分析.

4.1 恒等算符的全息論探討

式(4)很直觀地反映了恒等算符具有全息的特征,或者說一即是一切,一切即是一,也可以說是局部與整體無二.這點在經典力學角度顯然是不成立的,因為按照思想理智的邏輯,整體包含局部,局部屬于整體;一屬于一切,一切包含一.但這看似有悖于邏輯的現象恰恰是全息的神奇之處,此時局部與整體已然無法區分,一與一切無二無別,這正是邏輯思維的奇點,或是真正創新思維的門戶.與之類似的還有現代物理三大基石之一的混沌與分形中的分數維現象,也帶給人們無限不可思議的遐想[4].

因此,從恒等算符的全息論層面可以進一步理解整體與局部的辯證關系,特別是不再局限于自身的有限視角,而是從局部或哪怕一個微不足道的點頓見整體,例如從一滴水見到整個大海,從一粒沙見到整個宇宙.顯然,這里的見到不是指眼睛看到.

4.2 恒等算符的本體論探討

從上述恒等算符的性質不難看出,它具有本體的性質,如無法測量性、超越時空性(恒等算符本身不需要涉及時空,因而超越邏輯,如不動,不生不滅)、無限延伸性(即全息性)等.這里權且將之比喻為不可測量、不可分析的無限本體,用以審視經典力學(常規思維)的真實性.假設在時刻t,空間環境χ(r,t)中位置r處,觀察者(即主體)Ψ對被觀察對象(即客體)φ實施了測量(或操作)M(t).按照經典語言邏輯,Ψ為主語,M為謂語(動詞),φ為賓語,χ(r)為)狀語,則上述語言的經典力學解析為

〈Ψ(t)|M(t)|φ(t) 〉χ(r,t)

(7)

現在考察基于恒等算符的表述.如前所述,在Ψ與M之間和M與φ之間分別插入F表象角標k和j的單位算符可以將上式化為

(8)

其中Mkj是力學量M在F表象中的矩陣元.需要說明是,上述表達中近似認為空間環境與觀察者或被觀察對象之間不存在相互作用,即環境獨立于Ψ和φ以及M.

可見,上面表達式中的主體Ψ、客體φ和測量M都可以基于恒等算符表示為相應的系數或矩陣元形式.也就是說,主客體實際上并不一定是真實存在的實體,而是恒等算符I投影出來的系數組合,或者說主客體都還是測量(或操作)M所測量出來的,其中并沒有測量者,也沒有被測量的對象,只有測量M本身.因此,經典力學(或邏輯)所定義的主體和客體嚴格說應該稱為偽主體和偽客體,它們只是從本不存在的虛幻參考點(基礎或立場)看出來的分立獨立錯覺.但事實上,這種看似分立并未真正發生,Ψ和φ以及χ(r,t)本就是整體不可分割的鐵板一塊,如同夢境中的夢我、夢他、夢環境等等就是不可分割的同一個整體,即夢境本身.

進一步,M實際上也并非實實在在的測量,而只是由于測量者(主體)從自身立場出發的看似扭曲的操作下對該操作的一種定義,或者說恒等算符I在這種操作下看似發生了扭曲.不妨選取M自身表象(基矢設為{|α〉},本征值為λα),該操作只是如下的變形

(9)

顯然,當M的本征值全為1時,自動退化為恒等算符.因此,本質上就是恒等算符自己對自己的操作(或測量),因為偽主體本身并不真實存在,唯一能作用的主體當然只有恒等算符本身.而經典力學(或傳統邏輯)所謂的主體和客體其實都是I所測量出來的,并無實體可得.雖然從算符M角度看自己存在扭曲的情形,但恒等算符卻從來都只看到自己,根本無所謂扭曲不扭曲這樣的戲論,甚至也完全沒有必要定義自己為恒等算符.

再說一下空間環境和時間變量.本來恒等算符中并無時空,但卻蘊含一切時空的種子,所以作為狀語的空間函數(以及時間)本質上也是恒等算符所變現出來的,并非如經典力學所認為的剛性實體框架.那么進一步考察式(7)和式(8),可以基于恒等算符描述為:I在自己顯現的時空環境里,投影出偽主體Ψ,對投影出的偽客體φ,看似實施了測量M.最后需要指出的是,被觀測對象φ通常局域疊加態的性質,但觀測者意識的參與會導致退相干現象,即導致疊加態坍縮為某個確定狀態[5].雖然意識本質上仍然體現了非局域化量子態的不確定性,但其追求確定性的運作方式(即以快照方式在無限不可分割的動態中進行分割截取并將之固化)直接產生了因果邏輯乃至語言文字等.綜上所述,恒等算符可望搭建經典力學語言與量子力學語言之間的橋梁,也為意識和思維以及語言的進一步探索提供了一定的新思路.

5 結束語

本文簡要介紹了恒等算符的概念及其量子力學計算中的應用,并探討了這一概念在方法論和哲學層面的一點啟示,揭示了這一概念與自然辯證法中一些重要原理具有相通之處.另外還說明,通過對恒等算符的理解有助于學生深刻把握量子力學以及現代物理中不同于經典力學的獨特思想精華.