3RPS并聯機構的運動學誤差建模及其分析

王 瑞，彭高磊，郭祥雨，鐘詩勝

（1.哈爾濱工業大學（威海）海洋工程學院，山東 威海 264209；2.哈爾濱工業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

大型艦船用螺旋槳葉片是典型的自由復雜曲面，其表面加工精度和質量直接影響螺旋槳的工作性能，因此對其加工裝備的末端輸出精度提出了較高的要求。采用XYZ-3RPS型六軸臥式混聯機床加工葉片，可以實現末端刀具位姿的靈活調整，但由于3RPS并聯部分靜態誤差較為顯著，使得混聯機床末端精度難以保證［1］。因此，對3RPS并聯部分進行運動學標定研究，以實現在不提高混聯機床加工制造成本的基礎上大幅提高其運動精度，具有重要意義。而誤差建模作為運動學標定的首要條件和數學基礎，直接影響到參數辨識的精度與效率。

空間并聯機構運動學標定的大多數文獻集中于6-UPS、3-PRS型并聯機構［2-5］，針對3RPS型并聯機構運動學標定的文獻并不太多，且按照誤差建模方法的不同主要可以分為三類：基于位置逆解的誤差建模、基于位置正解的誤差建模，以及基于誤差雅可比矩陣的誤差建模。文獻［6-7］以并聯機構的位置逆解為基礎來建立誤差模型，通過最小二乘等數學優化方法解出誤差參數，該方法對桿長誤差的識別效果較好，對其他誤差源識別性較差，且需要獲取末端的全位姿信息。文獻［8］基于控制變量的思想，通過依次賦予某項結構參數一單位誤差，而保持其它結構參數為理論值，將單誤差機構通過位置正解所得的末端位姿與理想位姿之差作為誤差雅可比矩陣中的對應元素，從而建立末端測量方式誤差與結構參數誤差之間的映射模型；用該方法辨識出的結構參數誤差進行補償，只能保證在局部工作空間中具有較好的精度。文獻［9-10］均采用矢量微分法，通過將誤差閉環方程向驅動支鏈與約束方向投影，建立了3RPS并聯機構的誤差映射模型，但尚未考慮轉動副軸線的方向誤差，且后者參數解耦移動副軸線與轉動副軸線間的垂直度誤差和鉸鏈位置誤差考慮不夠完備。

為了提高XYZ-3RPS六軸臥式混聯機床中并聯部分的運動學精度，在前人研究方法的基礎上進行改進，建立了3RPS 并聯機構包含轉動副軸線方向誤差等27 項結構參數誤差對末端位姿誤差的映射模型；通過仿真實驗，驗證了誤差模型的精度和有效性，為3RPS等少自由度并聯機構的誤差建模和運動學標定提供理論依據。

2 3RPS并聯機構

2.1 3RPS并聯機構分析

XYZ-3RPS六軸臥式混聯機床是在XYZ型串聯機構的執行末端平臺安裝3RPS并聯機構，在并聯機構動平臺中心安裝主軸刀具所構成。XYZ-3RPS六軸臥式混聯機床的實物模型，如圖1所示。

圖1 XYZ-3RPS六軸臥式混聯機床Fig.1 XYZ-3RPS Six-Axis Horizontal Hybrid Machine Tool

3RPS并聯機構部分主要負責刀具姿態調整，其由動平臺和定平臺，以及兩者之間并行的3條支鏈組成。該機構每個支鏈包括3個運動副，其中球副（Spherical，S）是采用3個串聯轉動副等效而成，均勻布置在動平臺上，3個轉動副軸線的公共交點即為球副的中心；轉動副（Revolute，R）均勻布置在定平臺上；移動副（Prismatic，P）采用“伺服電機+絲杠螺母副+導軌滑塊副”的組合形式，驅使動平臺相對于定平臺在空間內運動。與傳統RPS支鏈的區別在于，移動副的滑塊同時充當了轉動副的搖塊。

2.2 相關坐標系和符號的定義

3RPS并聯部分的抽象結構，如圖2所示。3個轉動副中心記為B（ii=1，2，3），3個球副中心記為A（ii=1，2，3）；3個轉動副中心和3個球副中心的分布圓半徑分別記為R、r。等邊ΔA1A2A3與等邊ΔB1B2B3分別表示動平臺和定平臺。為了描述動平臺的空間剛體位移，在定平臺上建立定平臺坐標系（以下簡稱定系）OS-XSYSZS，記為｛S｝，該系的原點OS為3個轉動副的分布圓圓心，XS軸過B1且平分∠B2B1B3，YS軸平行于B3B2，ZS軸符合右手定則；在動平臺上建立動平臺坐標系（以下簡稱動系）OM-XMYMZM，記為｛M｝，該系的原點OM為3個等效球副的分布圓圓心，XM軸過A1且平分∠A2A1A3，YM軸平行于A3A2，ZM軸符合右手定則。并聯機構處于初始位形時，動系｛M｝具有與定系｛S｝一致的姿態信息。

圖2 3RPS并聯機構的抽象模型Fig.2 Abstract Model of 3RPS Parallel Mechanism

3 幾何誤差分析與建模

幾何誤差建模是運動學標定的重要環節，其主要任務是構造機構輸出位姿誤差與各結構參數的幾何誤差源之間的映射關系。

3.1 幾何誤差分析

機構的名義構型和實際構型之間總是存在誤差的，這些誤差源是影響3RPS并聯機構運動精度的重要因素。3RPS并聯機構的幾何誤差源主要有以下三種：一是鉸點位置誤差，包括球副中心Ai在動平臺上的位置誤差和轉動副中心Bi在定平臺上的位置誤差，共2×3×3=18項；二是轉動副軸線方向誤差2×3=6項，以及移動副連桿的零位桿長誤差3項，合計27項幾何參數誤差。

3.2 誤差模型建立

動系｛M｝相對于定系｛S｝的位置參數(x，y，z)，為動系｛M｝原點OM在定系｛S｝中的三坐標；姿態參數有多種描述形式，考慮到在3RPS并聯機構的末端位置分析，及后續運動學標定補償分析過程中，都是以定系作為度量基準展開的，故采用Z-Y-X固定角描述：動系｛M｝的初始姿態與定系｛S｝相同，首先使動系繞定系ZS軸轉γ角，然后繞YS軸轉β角，最后繞XS軸轉α角。動系｛M｝相對于定系｛S｝的位姿關系用旋轉矩陣R和平移向量t表示為：

其中，sα=sinα，cβ=cosβ，sβ、cβ和sγ、cγ同理。

如圖2所示，以定系｛S｝為基準，3RPS并聯機構單一支鏈的閉環矢量方程可表述為：

式中：ai—球副中心Ai在動系｛M｝中的位置矢量；bi—轉動副中心Bi在定系｛S｝中的位置矢量；qi—第i條支鏈的驅動桿長；ei—定系｛S｝下第i條支鏈移動副軸線方向的單位矢量。

對式進行一階微分處理可得：

式中：δR—旋轉矩陣R的變換微分，其表達式為：

由微分運動的原理可知，當動系繞定系旋轉的X-Y-Z固定角較原先參數出現微小偏差δα、δβ、δγ時，其實際姿態相當于名義姿態對定系｛S｝進行了一次微小旋轉ΔR：

式中：RR—動系相對于定系的實際旋轉矩陣。

利用式可將式轉化為：

式中：δω—動系相對于定系的旋轉矩陣的誤差向量；

利用式將式轉化為：

令上式等號兩端矩陣各對應元素相等，可得：

將式等號兩端同時左乘uiT，即向ui方向投影，并結合式，可得：

式中：ui—第i條支鏈轉動副軸線方向的單位矢量，用球坐標表示為：

式中：θi—ui在定系XSYS平面的投影與XS軸正方向的夾角，θi=(4i-1)π 6；?i—ui與定系ZS軸正方向的夾角

由于轉動副的約束性質，存在ei?ui=0，對其一階微分處理，可得：

利用式，式可進一步轉化為：

式中：q0—理想初始位形下各支鏈球副中心與轉動副中心的距離。

將式等號兩端同時左乘eiT，即向ei方向投影，結合eiTei=1，，以及式，可得：

綜合式與式，3RPS并聯機構的誤差映射模型為：

模型中的誤差項δr包含了各支鏈球副中心的位置誤差δai、轉動副中心的位置誤差δbi、零位驅動桿長誤差δqi、轉動副軸線方向誤差與零位桿長的乘積q0δθi、q0δ?i；誤差雅可比矩陣J僅與機構的名義運動學參數r、各支鏈驅動桿長q=(q1，q2，q3)T有關，而與結構參數誤差無關。

4 ADAMS仿真驗證

根據前文對幾何誤差源的分析，基于ADAMS 虛擬樣機技術，驗證建立的誤差模型的有效性。

4.1 仿真驗證思想

實驗過程中構建一個帶有已知結構參數誤差的虛擬3RPS并聯機構模型，如圖3所示。其實際結構參數為理論設計參數與結構參數誤差之和。首先給出并聯機構末端的目標位姿集合，通過運動學逆解可以得到目標位姿對應的驅動桿長，然后將其作為驅動，借助3RPS誤差虛擬樣機仿真獲取末端的實際位姿，其與目標位姿之差即為實際的末端位姿誤差；同時利用3.2節的誤差模型可獲得計算的末端位姿誤差。最后計算兩種方法得到的數據間偏差，即可評價誤差模型的精度。

圖3 包含誤差源的虛擬3RPS并聯機構Fig.3 Virtual 3RPS Parallel Mechanism Including Error Sources

4.2 仿真實驗

設置兩組3RPS并聯機構各支鏈幾何參數誤差δr1和δr2，如表1所示?；炻摍C床中3RPS并聯機構部分的理論可行工作空間與主要名義幾何參數，如表2所示。

表1 3RPS并聯機構結構參數誤差預設值Tab.1 Preset Values of Structure Parameter Errors of 3RPS Parallel Mechanism

表2 3RPS并聯機構理論可行空間與主要名義幾何參數Tab.2 Theoretical Feasible Space and Main Nominal Geometric Parameters of 3RPS Parallel Mechanism

為了使測量點盡可能涵蓋機構整個工作空間，以便衡量誤差模型在整個工作空間范圍的計算精度，綜合考慮實驗的工作量，分別選取3RPS并聯機構的3個自由度z等于350mm、370mm、390mm，α，β∈｛-20°，-10°，0°，10°，20°｝，如此產生75組測量點。

誤差設定值為δr1和δr2時，誤差模型的計算絕對偏差，如圖4、圖5所示。圖中測量點（1～25）、（26～50）、（51～75）分別為參數z取350mm、370mm、390mm時的結果。通過上述仿真實驗可以看出，忽略結構參數誤差引起的并聯機構末端位姿高階微小量，建立的線性誤差模型對其末端的位置和姿態誤差皆具備較高的求解精度。在兩組誤差設定值δr1和δr2時，末端角度誤差絕對偏差計算結果均小于0.01°，位置誤差絕對偏差計算結果均小于0.01mm，能夠滿足運動學參數標定所要求的計算精度。通過對比圖4、圖5可以發現，減小結構參數誤差的預設值，誤差模型的計算精度會顯著提高。

圖4 誤差設定值δr1下75組測量點的模型偏差Fig.4 Model Errors of 75 Sets of Measurement Points Under the Error Setting δr1

圖5 誤差設定值δr2下75組測量點的模型偏差Fig.5 Model Errors of 75 Sets of Measurement Points Under the Error Setting δr2

進一步分析發現，誤差模型計算精度隨z值的增大而提高，且不同測量點的計算精度有所差異，原因在于推導式過程中eiT δei原則上并不能一概近似為0，因為δei與δui滿足式所示的約束關系，即δei并非獨立幾何誤差，其值是由所有幾何運動參數共同決定，且經過qi的放大，在某些測量點處qieiT δei的數量級與其他項相差較小，故會產生舍去誤差。

5 結論

（1）對3RPS并聯機構影響運動精度的主要幾何誤差源進行了分析；并基于微分法，利用閉環矢量方程和轉動副約束關系，推導建立了3RPS并聯機構包含轉動副軸線方向誤差等27項幾何參數誤差對末端位姿誤差的映射模型，建模方法具有一定的通用性。

（2）借助ADAMS 虛擬樣機技術，仿真驗證了微小誤差情況下，所建立的誤差模型具有較高的精度和有效性，且誤差模型的計算精度會隨著結構參數誤差的減小而顯著提高。