旋轉行波型超聲電機定子的非線性動力學分析

陶 征，趙 丹，高建設

（鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

超聲電機（Ultrasonic Motor，簡稱USM）是一種全新概念的微特電機。它利用壓電材料的逆壓電效應，激發彈性體在超聲頻段內的微幅振動，并通過定、轉子之間的摩擦作用來實現轉子（動子）的旋轉（直線）運動。相比于傳統電磁電機，超聲電機具有低速大扭矩、重量輕、結構緊湊、起停靈敏度高、響應快，不受外界磁場干擾等特點。這些特點使其在航天領域中的空間機器人、火星探測器和衛星等系統中有著廣闊的應用前景［1］。2020年11月24日，中國新聞網報道由我國自行研制的超聲電機已在嫦娥五號登月工程中獲得成功應用，助力嫦娥五號奔月挖土。

超聲電機是一項橫跨振動、摩擦、材料等多學科的高新技術體系。其結構特點及其工作形式決定了該體系相比于一般的機械振動系統具有強非線性的特性。這一特性嚴重影響著超聲電機運行的平穩性、可靠性，同時也為超聲電機的運行控制帶來了一定的困難。為此，超聲電機的非線性建模問題已在該領域受到廣泛的關注。文獻［2］考慮定子、轉子、摩擦和接觸等因素建立了電機整機模型，該模型可預測電機輸入輸出功率和效率；文獻［3］系統地研究了雙模態縱扭直線型超聲電機的動力學原理，通過數值仿真和實驗發現了死區和飽和現象；文獻［4］通過理論分析和實驗觀察得到蘭杰文振子的滯后、頻率漂移及飽和現象。文獻［5-6］建立了定子駐波和行波振動的非線性動力學模型，應用多尺度法研究了定子的主共振響應，發現定子存在多解和跳躍現象；文獻［7］在建立了超聲電機非線性混沌分析模型后，分析了電機轉速控制系統的非線性運行特性；文獻［8］考慮了桿式電機摩擦、接觸等非線性因素建立了精確有限元模型，設計制造了電機原理樣機。這里通過四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數、Poincaré截面等方法，針對TRUSM-60旋轉型行波超聲電機定子在單相激勵下的振動響應特性進行了研究，獲得了定子機體在一定激勵頻率下的非線性響應特性，為進一步研究超聲電機的非線性問題提供了一定的基礎。

2 定子的非線性動力學模型

TRUSM-60旋轉型行波超聲電機定子結構，如圖1所示。電機定子主要由線彈性金屬體和壓電陶瓷片構成。如前所述，當定子中的壓電陶瓷片被施加一定頻率的交變電壓時，其逆壓電效應將使定子彈性體產生相應的振動響應，如圖3所示。

圖1 超聲電機定子結構圖Fig.1 Stator Structure Chart of Ultrasonic Motor

圖2 壓電陶瓷極化圖Fig.2 Polarization Chart of Piezoelectric Ceramics

圖3 定子振型圖Fig.3 Stator Vibration Shape Chart

當激勵頻率接近或達到定子的固有頻率時，定子達到共振狀態?，F有資料表明［9］，壓電陶瓷在強交變電場的作用下，由于極化后的壓電陶瓷體內剩余極化殘留出現翻轉，使得壓電陶瓷的機電耦合特性不再是簡單的線性關系，強非線性則成為主要的表現特征。壓電材料的這種非線性是形成定子體非線性問題的本質，在超聲電機的諸多非線性因素中占有重要的地位，對電機性能有著重要的影響。

在科研學者前期研究的基礎上，根據電機定子的結構特點，考慮壓電材料的非線性本構關系，利用廣義Hamilton變分原理和Rayleigh-Ritz模態假設方法建立了TRUSM-60型電機定子在單相電壓激勵下的非線性動力學模型，如式（1）所示。

式中：Mk—定子模態質量；Dk—定子模態剛度；Ck—模態阻尼系數；P（t）—定子模態坐標；機電耦合系數；Nk—壓電陶瓷的電容系數與壓電材料相關的非線性系數。壓電材料的非線性本構關系為［10］：

式中：cE—平面剛度系數矩陣；e—壓電系數矩陣；eS—介電系數矩陣；γ—電致彈性系數矩陣；β—電致伸縮系數矩陣。

式中：?wl—定子彎曲振型函數；?v—電勢分布函數—非線性剛度系數。

令激勵電壓V（t）=V0cos（wt），將其代入式（1）中第一個方程，可得：

對式（12）進行無量綱化，引入無量綱時間［11］：

引入無量綱小量ε，將阻尼項、非線性剛度項考慮為一階小量，外部激勵項考慮為二階小量，則動力學式（12）可以表示為：

式中：l—無量綱頻率；

Δ—激勵頻率調諧參數；

ωn—定子固有頻率。

3 定子非線性行為分析

分岔與混沌是非線性動力學系統所特有的一種運動形式，且對系統參數有較強的依賴性，因此，這里基于上述定子在單相激勵下的非線性動力學方程，采用四階Runge-Kutta 法、Lyapunov指數、Poincaré 截面等方法，對定子在單相激勵下的振動響應隨激勵頻率改變而變化的非線性動力學行為進行研究。仿真過程中所用參數，其中壓電陶瓷材料為PZT-8，如表1所示。

表1 定子的結構參數和材料參數Tab.1 The Structural Parameters and Material Parameters of Stator

當激勵電壓V0取150V，ε=0.1時，由式（17）可知，改變激勵頻率調諧參數Δ的值，可得定子在單相激勵下的振動響應隨激勵頻率改變而變化的特征，如圖4、圖5所示。

圖4 分岔圖Fig.4 Bifurcation Chart

圖5 最大Lyapunov指數圖Fig.5 Chart of the Largest Lyapunov Exponent

圖6 定子系統局部分岔圖Fig.6 Local Bifurcation Chart of Stator System

如圖4所示，當Δ在（-8～4）范圍變化時，定子的振動響應有明顯的非穩定狀態出現，其中，Δ在（-8～-7.4）區間變化時，定子振動出現Hopf分岔。如圖5所示，可知Δ在（-8～-7.4）區間所對應的最大Lyapunov指數約為0，由最大Lyapunov指數特性可知，該處為典型的擬周期運動，定子振動處于不穩定狀態。系統Hopf分岔過程中相應的Poincaré映射圖，如圖7所示。該圖顯示，當Δ=-7.4（分岔點A）時，Poincaré 截面成吸引環，隨著分岔參數的不斷變化，吸引不變圈不斷膨脹直至變形，最終由擬周期運動過渡為單周期穩定運動狀態。

圖7 定子分岔過程對應的龐加萊截面圖（a）和（b）穩定的焦點；（c）吸引不變圈；（d）和（e）膨脹的吸引不變圈；（f）變形的吸引不變圈Fig.7 Poincaré Cross-Sections Corresponding to Stator Bifurcation Process（a）and（b）Stable Focus；（c）Attraction Invariant Loop；（d）and（e）Expanded Attraction Invariant Loop；（f）Deformation Attraction of Constant Circle

當Δ=-3.52時，系統出現跳躍現象。這一現象我們認為是壓電陶瓷在交變電場的作用下，由壓電材料的電致彈性和伸縮效應引起的非線性激振力導致能量損失所致。當Δ=（-3.52～-2.45）時，系統再一次出現Hopf分岔并逐漸演化為單周期運動。當Δ大于0，系統進入單周期穩定運動。

超聲電機在實際應用中，為了獲取能量轉換最大效率，一般選取定子的共振頻率作為其工作激勵頻率。以上各非穩定區則均出現在定子固有頻率點的左側，如圖4 所示。這一現象似乎對實際工程應用并無影響，然而，由文獻［11］可知，隨著超聲電機的連續工作，由于定轉子之間的摩擦以及材料阻尼使機體溫度升高而出現定子頻率下降的頻率漂移現象，導致電機輸出穩定性下降。為解決這一現象，當前主流的控制策略是采用頻率追蹤技術，因此，實施這一控制方法過程中，回避圖中非穩態區應得到關注。

另外，如圖5所示，可以看出共振點（Δ=0）處的最大Lyapunov指數也是處于略大于0的狀態，這一現象表明固有頻率點或接近固有頻率點處，定子振動狀態應該也存在著一定的不穩定性。為此，我們對共振點（Δ=0）附近的定子振動特性作進一步的仿真分析，獲得了定子系統分岔圖，如圖6所示。由圖可知，定子在非常接近共振頻率時的振動的確存在著一定的相對較弱的不穩定性。為此，我們認為，為了獲得最佳電機工作狀態，激勵頻率應適當高于定子固有頻率。

4 結論

超聲電機具有強非線性，筆者在四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數、Poincaré截面等方法的基礎上，用數值分析方法研究了旋轉行波超聲電機定子在單相激勵下隨頻率變化時的非線性特性，結果表明定子系統在一定的頻率范圍內存在嚴重的非線性現象以及在共振點處仍然處于弱非穩定狀態?；谏鲜龇治?，針對當前所采用的頻率追蹤控制技術給出了應避開非穩態區所對應頻率以及電機激勵頻率應選取適當高于定子固有頻率的建議。這些研究對進一步研究超聲電機的動力學機理及工作的穩定性控制技術具有重要的意義。