面向手眼標定的改進灰狼優化方法

李晟堯，肖世德，2，賴煥杰，胡鍇灃

（1.西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031；2.軌道交通運維技術與裝備四川省重點實驗室，四川 成都 610031）

1 引言

目前越來越多的制造業企業開始使用基于機器視覺技術的智能機器人以提高產能。英國的羅孚汽車公司［1］利用帶有機器視覺的智能機器人提高了車身輪廓尺寸的檢測精度和速度。瑞士ABB公司的Flex Picker機器人［2］，使用機器視覺技術，引導機器人進行工件的快速準確分揀。機器視覺技術可以使機器人獲得更豐富的環境信息，提高機器人在愈加復雜的工作環境中完成預定工作的能力。為了能利用機器視覺技術引導機器人運動，需要對機器視覺智能機器人進行手眼標定，從而獲得攝像機坐標系與機器人末端執行機構坐標系之間的位姿變換矩陣。

目前，專家學者已經提出了很多用于手眼標定矩陣求解的解析方法。其中，較為經典的有文獻［3］提出的基于幾何關系的算法，文獻［4］提出的基于李群和李代數的算法，文獻［5］提出的基于單位四元數的算法以及文獻［6］提出的基于對偶四元數的算法。但是，以上算法都只是從數學分析的角度出發，求解手眼標定矩陣，算法的魯棒性不強，如果拍攝的標定板圖像質量不佳，或者機器人位姿讀取結果不準確，求解的手眼標定矩陣可能不準確。為此，文獻［7］在歐氏群下定義了一種手眼標定誤差的衡量標準，從而可以將求解手眼標定矩陣轉換成非線性優化求解問題，但算法過分依賴初始值，容易陷入局部最優解。文獻［8］提出一種利用初始標定結果重新生成機械手拍照位姿的手眼標定方法，該方法需要利用k-means 算法反復聚類重算拍照位姿，較為繁瑣。文獻［9］提出了一種基于差分進化算法的手眼標定方法，能夠很好地避免局部最優，但算法迭代次數較多，速度較慢。

這里針對眼在手的智能機器人視覺系統，通過結合維度學習策略和差分進化算法，提出了一種改進灰狼算法的手眼標定方法。通過分析誤差公式，設計用于降低手眼標定誤差的機器人拍照位姿生成方案，利用傳統手眼標定算法得出解析解后，利用改進灰狼算法進行非線性優化，避免了陷入局部最優等問題。該方法簡單，容易實現，而且優化迭代速度較快，優化結果較好。

2 手眼標定的數學模型

假設機器人坐標系、攝像機坐標系和標定板坐標系之間的關系，如圖1所示。其中，{W}坐標系是世界坐標系，{E}坐標系是機器人末端執行機構坐標系，{C}坐標系是攝像機坐標系，{G}坐標系是標定板坐標系。

圖1 機器人坐標系示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Robot Coordinate System

定義T6為坐標系{W}到{E}的變換矩陣，Tm為坐標系{E}到{C}的變換矩陣，Tc為坐標系{C}到{G}的變換矩陣，Tg為坐標系{W}到{G}的變換矩陣。

由坐標系之間的變換關系，可得：

固定標定板的位姿，然后操作機器人，在不同的機器人末端位姿下，標定攝像機相對于標定板的外參數Tc。對于第i次和第i-1次標定，由于Tg保持不變，由式（1）得：

式中：T6i—第i次標定時坐標系{W}到{E}的變換矩陣T6；Tci—第i次標定時攝像機的坐標系{C}相對于標定板坐標系{G}的外參數Tc

式（2）經過整理，可以改寫為：

3 機器人拍照位姿生成方案

Tsai不僅提出了基于幾何關系的手眼標定算法，同時還以拍攝三張標定板圖像為例，給出了誤差公式：

式中：σR—R的等效旋轉軸k的均方根誤差；Err(R)—R的等效旋轉軸k的最大誤差幅值；σP—P的均方根誤差；Err(P)—P的最大誤差幅值；cond(A)—‖A‖‖A-1‖。

其中，A滿足：

由式（6）可以看出影響手眼標定誤差的因素有：

（1）相鄰的拍照位姿之間的等效旋轉軸之間的角度，例如∠(kg12，kg23)；

（2）相鄰拍照位姿之間的等效旋轉角度θgij(=θcij)；

（3）攝像機坐標系的原點到標定板坐標系的原點之間的距離|Pci|；

（4）相鄰拍照位姿機器人的末端執行機構的坐標系原點之間的距離|Pg1-Pg2|；

（5）攝像機坐標系相對于標定板坐標系的外參數矩陣標定誤差σRci，σPci；

（6）機器人末端執行機構坐標系相對于世界坐標系的求取誤差σRgi，σPgi。

因此，根據Tsai提出的誤差影響公式，設計了如下的拍照位姿生成方案，如圖2所示。以拍攝五張標定板圖像為例，首先，在標定板幾何中心的正上方 |Pc|距離處，放置一個參考坐標系{C0}。并使得{C0}的z軸指向標定板的幾何中心。然后，在{C0}坐標系的xy軸平面，虛構一個外接圓半徑為r的正五角星，正五角星的五個頂點即為拍照位置。至于五個拍照姿態，以如下方式設置：首先五個拍照點即是攝像機坐標系的原點，然后，令每個位置時，攝像機坐標系的z軸都指向標定板的幾何中心；令第一個攝像機坐標系的x軸沿外接圓的切向方向，即圖示的坐標系1，然后，虛構一個基準面，其定義為過正五角星一邊，且垂直于{C0}的xy軸平面，即圖示的基準面1，從而虛構一根旋轉軸，其定義為過標定板幾何中心，垂直于該基準面，即圖示的基準軸1，由此，第二個攝像機坐標系設置為第一個坐標系沿該基準軸旋轉到正五角星的一點，即圖示的坐標系2。后續坐標系設置與此類似，就不贅述。

圖2 拍照位姿生成方案Fig.2 Pose Generation Scheme

4 改進灰狼非線性優化算法

由Horaud在其論文中所述，由解析法得到的手眼標定矩陣，還可以通過以解析解為初始解，利用非線性優化算法進一步提高精度。這里提出的用于手眼標定的拍照位姿生成方案已使誤差下降得很小了，利用傳統的非線性優化算法容易陷入局部最小值而難以進一步優化。為此，這里提出一種用于手眼標定的DLHGWO-DE非線性優化算法。

灰狼算法是Mirjalili提出的一種通過模擬灰狼的社會等級和狩獵行為的智能種群優化算法［10］。該算法具有結構簡單、參數設置少的優點，因而被廣泛地用于尋優領域。但是該算法也和其他智能算法一樣，存在收斂速度慢，容易陷入局部最優解等缺陷。為此，Mohammad于2020年提出一種結合維度學習的狩獵搜索策略的IGWO算法［11］，有效提高了灰狼算法的全局搜索能力，但仍會出現較早收斂等缺陷。

為改進算法的尋優性能，這里將差分進化（DE）算法［12］和維度學習策略結合起來，提出一種更適合手眼標定矩陣優化的算法（DLH-GWO-DE），算法流程，如圖3所示。

圖3 DLH-GWO-DE算法流程圖Fig.3 Flow Chart of DLH-GWO-DE Algorithm

設置目標函數，即適應度為：

DLH-GWO-DE算法包含初始化，移動，變異，交叉，選擇，更新六個階段。

4.1 初始化階段

如果利用單位四元數替代旋轉矩陣，則手眼標定矩陣可以變換成1×7的向量：

參考傳統算法得出的解析解，設置搜索空間下界lb，上界ub。并產生N×7初始狼群：

最后用傳統算法得出的解析解替代部分初始狼群。

4.2 移動階段

移動階段包含群體狩獵和維度學習。

群體狩獵即原始GWO搜索策略：前三個適應度最好的狼被認為是α，β，δ。然后利用公式計算新狼群：

維度學習即DLH搜索策略：新狼群由其鄰域學習決定。首先，根據下式計算當前位置和候選位置之間的歐氏距離，以其作為半徑Ri(t)：

然后，由下式根據半徑Ri(t)構造Xi(t)的領域Ni(t)：

式中：Di—Xi(t)和Xj(t)之間的歐氏距離。

由此，DLH策略產生的新狼群為：

4.3 變異階段

分別對原始策略產生的Xi-GWO狼群和DLH 策略產生的Xi-DLH狼群進行變異，變異階段采用DE/best/1變異策略，即：

式中：Xp1，Xp2—從當前狼群中隨機選擇的兩只不相同的灰狼，并且p1≠p2≠i；F—縮放比例因子，F∈[ 0，1]。

4.4 交叉階段

交叉階段可以增加狼群的多樣性，分別對上步的兩種變異狼群進行交叉操作，交叉操作如下：

式中：CR—交叉概率，CR∈[0，1]。

4.5 選擇階段

利用適應度對四種新狼群中的每個個體進行比較：（1）由原始策略產生Xi-GWO狼群；（2）由DLH 策略產生的Xi-DLH狼群；（3）變異交叉后的Vi-GWO狼群；（4）變異交叉后的Vi-DLH狼群。

4.6 更新階段

利用適應度對新狼群X(t+1) 中的各個體進行比較：

5 實驗分析

5.1 拍照位姿生成方案實驗

實驗1：對比隨機拍照和根據拍照位姿生成方案拍照的手眼標定結果，其中方案一是移動機械臂末端到19個隨機位置，拍攝標定板；方案二是利用拍照位姿生成方案在 |Pc|=380，r=60，N=19拍攝標定板。實驗結果，如表1所示。

表1 實驗1結果Tab.1 Results of Experiment 1單位：×10-3

由實驗1可知，Tsai算法，Park算法，Horaud算法手眼標定結果相近，優于Daniilidis算法，拍照位姿生成方案比隨機拍照旋轉誤差降低約74%，平移誤差降低約92%。

實驗2：控制變量 |Pc|=380，r=60，實驗N對手眼標定誤差的影響，實驗結果，如圖4所示。

圖4 實驗2結果Fig.4 Results of Experiment 2

由圖4可知，在使用拍照位姿生成方案后，拍照張數N對誤差的影響不明顯，隨著N的增加，誤差僅少量降低。

實驗3：控制變量 |Pc|=380，N=19，實驗r對手眼標定誤差的影響，實驗結果，如圖5所示。

圖5 實驗3結果Fig.5 Results of Experiment 3

由圖5可知，隨著r的增加，旋轉誤差增加，平移誤差減小。

實驗4：控制變量r=60，N=19，實驗 |Pc|對手眼標定誤差的影響，實驗結果，如圖6所示。

圖6 實驗4結果Fig.6 Results of Experiment 4

由圖6可知，隨著 |Pc|的增加，旋轉誤差變化不明顯，平移誤差增加。

5.2 非線性優化算法實驗

以實驗一中方案二經Tsai算法計算的手眼標定結果為初始值，利用DLH-GWO-DE算法進行非線性優化，可以得到的優化結果，如圖7所示。由圖7可知，提出的DLH-GWO-DE的手眼標定優化算法比IGWO算法尋優速度跟快，得到的結果更優。

圖7 優化結果Fig.7 Optimization Results

6 結語

針對眼在手的智能機器人視覺系統的手眼標定問題，這里提出了面向手眼標定的改進灰狼優化方法，利用拍照位姿生成方案設計手眼標定實驗的攝像機拍照位姿，然后利用傳統手眼標定算法求得手眼標定矩陣的解析解，最后，以解析解作為初始解，利用提出的DLH-GWO-DE 非線性優化算法迭代尋優，進一步降低手眼標定誤差。通過實驗可以得出該拍照位姿生成方案簡便易操作，相比隨機拍照，手眼標定旋轉誤差降低約74%，平移誤差降低約92%。非線性優化算法相比傳統算法，手眼標定誤差進一步降低約19%。