大概念統領下“圓的標準方程”設計與思考*

徐友華

(江蘇省蘇州市相城區陸慕高級中學 215131)

1 學情分析

教學對象是四星級高中物化生模式的高二年級學生,基礎較好,有較強的分析能力、運算能力和建模能力．學生在初中已學習了圓,熟悉了圓的定義、圓的幾何特征、幾何性質．而且學生剛經歷了直線與方程的學習,學會了運用坐標法借助確定直線的幾何要素來建立直線的方程,對直線方程的意義有了一定的認識．

2 課標解讀

圓是平面圖形中最美的曲線,是解析幾何中直線與方程之后學習的又一個重要的數學模型．圓的標準方程是圓與方程這個單元的第一課時,在這一課時,需要明晰圓的方程的意義、從圓的幾何特征出發探索建立圓的標準方程、學會從不同條件出發探求圓的標準方程、能借助圓的標準方程考查點與圓的位置關系．通過本課時的學習,學生將經歷平面解析幾何解決問題的基本過程:根據具體問題情境的特點,建立平面直角坐標系;根據幾何問題和圖形特點,用代數語言將幾何問題轉化為代數問題;根據對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論;給出代數結論合理的幾何解釋,解決幾何問題．從中幫助學生掌握運用代數方法解決幾何問題的思路、方法,領悟解析幾何蘊含的數學思想．學生將經歷數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算等數學實踐活動,從中積累活動經驗,提升數學核心素養．

圓是直線之后學習的內容,圓的學習完成之后,還將學習圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線),從前后知識的聯系來看,本課時的學習研究過程可以視為直線與方程學習研究經驗的再實踐——圓的標準方程的構建及運用可以從直線方程的建構與運用中獲得借鑒,也為后續圓錐曲線的學習研究提供參考．

教學目標 (1)根據圓的定義把握圓的幾何特征,在坐標系中探求并掌握圓的標準方程;(2)能根據條件選用適當的方法求出圓的標準方程,能根據給定點的坐標與圓的標準方程判斷點與圓的位置關系,從中感受形與數的結合,體會運用代數方法研究幾何問題的解析幾何思想;(3)經歷數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等數學實踐活動,積累活動經驗,從中體會類比思想、方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想,感受曲線(圓)與方程之間的辯證統一,欣賞圓的對稱美,(圓的標準)方程的簡潔美,圓與方程之間的和諧美．

教學重點 從確定圓的要素出發探索建立圓的標準方程．

教學難點 根據條件選用適當的方法求出圓的標準方程．

3 過程實錄

3.1 情境創設引入課題

問題1直線與方程的學習中,研究了哪些問題?

生眾(斷續):斜率、截距、方程、位置關系、距離．

追問:我們是以怎樣的順序展開研究的?

生1:先研究了確定直線的幾何要素,然后在確定直線的幾何要素的基礎上建立了直線的方程,最后研究了直線間的位置關系(兩直線交點、點到直線的距離等)．

下面,我們將研究平面圖形中最美的圖形——圓(畢達哥拉斯語)．(引入課題)

問題2你覺得要研究哪些問題?以怎樣的順序展開研究?

生:要研究確定圓的要素、圓的方程、涉及圓的一些位置關系問題.應該也是先研究確定圓的幾何要素,再建立圓的方程,最后考察位置關系這樣的順序展開研究．

設計意圖在新授課中,通過創設問題情境引入課題通常有兩種選擇:一是借助生活中數學對象的原型引入,二是從數學內部自身的問題引入．聯系初中及前面一階段直線的學習可知,學生已經掌握了圓的定義,熟悉了圓這一幾何對象,因此本節課舍棄借助生活中的原型引入課題．而且本節課無論是學習內容還是學習方法都與直線方程的學習經歷相似,因此通過回憶直線與方程所學內容、學習順序與方法這一數學內部的問題引入課題,可以借助類比、遷移,將直線與方程的學習內容、順序與方法的回憶充當本課時的學習先行組織者,激活學生的已有認知與經驗,為圓的方程的學習提供內容、順序以及方法上的借鑒,使得本課時的探究學習成為學生已有認知、經驗的再實踐,將較為困難的探究學習化為學生的實踐性活動,有利于新知的探求與生成,有助于數學核心素養的提升．

3.2 意義構建探求方程

活動1 (圍繞下列問題)談談你對圓的認識．

問題3-1圓是如何定義的?

生1:(學生口述,教師板書)圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合(集合觀點)．

追問:如何稱呼這里的定點、定長?

生眾:圓心、半徑．

師:正如距今約2 500年的墨子所言,“圓:一中同長也”,大家還有其他看法么?

生2:也可以看作平面內到定點(圓心)的距離為定值(半徑)的點的軌跡(運動觀點)．

問題3-2如何確定一個圓?

生眾:圓心及半徑．

追問:各有怎樣的意義?

生3:圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大?。?/p>

設計意圖回顧圓的定義,把握幾何特征,明晰確定圓的幾何要素,學會用數學的眼光觀察幾何對象,感悟數學文化．

問題3-3什么是圓的方程?怎樣建立圓的方程?

(學生啞然)

師:請同學們回憶一下,什么是直線的方程?怎樣建立直線的方程?請翻看課本第59頁右下角框圖中的文字:“建立直線的方程,就是利用確定直線位置的幾何要素,建立直線上任意一點的橫坐標x,縱坐標y所滿足的關系式．”

師:現在你能說出什么是圓的方程、如何建立圓的方程嗎?

生4:圓的方程就是圓上任意一點的橫坐標x、縱坐標y所滿足的關系式．要建立圓的方程可以利用確定圓的幾何要素(圓心、半徑),建立圓上任意一點的橫坐標x、縱坐標y所滿足的關系式．

設計意圖通過創設問題,引導學生思考圓的方程的含義,把握數學本質．預設中,對于問題3-3剛開始學生將無從作答,此問題的目的就是引發學生的思考．在聯系的觀點下,通過對直線方程舉例、回顧(閱讀),借助類比遷移,讓學生自行悟出圓的方程的含義,為接下來的探究活動明確目標．

活動2 探究圓的方程．

師:假設定義中的定點(圓心)為A(a,b),定長(半徑)為r,圓上任意一點P(x,y),圓的定義用符號語言如何表示?

生眾:PA=r．

師:請大家將符號語言坐標化,探求圓上任意一點P(x,y)的坐標x,y之間滿足的關系式．

學生嘗試建立圓的方程,投影展示、交流．

生2:(x-a)2+(y-b)2=r2②．

追問生1:①式怎么得到的?

生1:根據PA=r,運用兩點間的距離公式得到．

追問生2:②式怎么得到的?

生2:在①的基礎上對表達式兩邊平方以后得到．

師:①和②都可以認為是圓上任意一點P的橫坐標x與縱坐標y之間的關系式,你們覺得哪一個表示圓的方程更好?為什么?

生眾:②式更好,②式在結構上更簡潔,形式上更美．

師:同感!正如愛因斯坦所言:“美,本質上終究是簡單.”

設計意圖借助符號語言的坐標化來探究圓的方程,其實質是不同數學表征之間的轉化,從中體會運用數學的語言(方程)描述數學對象(圓),感受數學表征的多元性,欣賞方程的簡潔美．探究活動中適時追問是怎么得到的,意在展示學生的思維過程,引導學生關注不同表征之間的內在聯系,也為后續橢圓、雙曲線、拋物線等曲線方程的學習提供借鑒．

3.3 問題辨析理解方程

活動3 辨析②式是否確系以A為圓心,r為半徑的圓的方程．

問題4-1圓上的點的坐標都滿足②式嗎?

生:是．

師:如何得知?

生:由方程的推導過程可知．

問題4-2以②式方程的解為坐標的點都在圓上嗎?

生:是．

師:如何得知?

生:②式兩邊開方可得①式,其幾何意義為點P′(x,y)到A(a,b)的距離為r,根據圓的定義可知,這樣的點P′在圓上．

師:給②式起個名字．

生(陸續):圓的標準方程、圓的徑心式方程．

師:為了便于交流,我們統一稱之為圓的標準方程．(板書:圓的標準方程)

追問:“標準”體現在什么地方?

生:這個方程最能反映圓的特征(一中同長),最能揭示圓的確定要素(圓心、半徑),表達式比較簡潔．

設計意圖引導學生思考圓與探究所得方程的關系,借助集合觀點,聚焦曲線上任意一點的坐標與方程的解之間的關系來認識曲線與方程概念的純粹性與完備性(教學中不提及純粹性與完備性名詞)．洞悉曲線與方程的兩位一體:方程是曲線的抽象表示,曲線是方程的直觀呈現．感悟曲線與方程是形與數的對立統一,領悟曲線與方程中所蘊含的數形結合思想．

問題4-3此方程有何特征?

生:二元二次式,含有三個參數．

問題4-4若圓心在原點,則半徑為r的圓的方程是怎樣的?

生:x2+y2=r2．

追問:若圓心在原點,半徑為1,則圓的方程又是怎樣的?

生:x2+y2=1．

問題4-5前面方程②一定表示以A(a,b)為圓心、r為半徑的圓嗎?

生:不一定.若r=0,則圖形退化為一點;若r<0,則圓的半徑為|r|．

練一練 1．指出下列方程表示的曲線是何圖形:(1)(x-1)2+(y-2)2=9;(2)(x-1)2+(y-2)2=9(y≥0)．

2．指出下列圓的圓心與半徑:(1)(x-1)2+(y+2)2=5;(2)(x+m)2+(y+n)2=s2(s≠0)．

設計意圖通過問題4-3、4-4、4-5以及練一練的問題考查,幫助學生進一步明晰圓的標準方程的內涵與外延,深刻理解圓的標準方程的意義．

3.4 例題剖析掌握方程

例1求圓心為A(2,-3),半徑為5的圓的標準方程,并判斷M1(5,1),M2(-2,-1)是否在這個圓上．

學生練習后交流．

生:將點的坐標代入圓的方程,若式子的左、右兩邊相等,則點在圓上;若式子的左邊小于右邊,則點在圓內;若式子的左邊大于右邊,則點在圓外．

師:為什么?

師:還有其他想法嗎?

問題5上述兩種方法有何關系?

生:第一種通過運算比較數的大小來判斷位置關系,第二種通過比較距離與半徑的大小來判斷位置關系．第一種側重于從數的角度思考,第二種側重于從形的角度思考,兩者本質上是一致的．

探究活動 考察點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系．

變式練習1 (1)判斷點M3(7,-3),M4(2,-8)與圓(x-2)2+(y+3)2=25的位置關系;(2)求以A(2,-3)為圓心,過點M(5,1)的圓的標準方程;(3)求以A(8,0),B(0,6)為直徑端點的圓的標準方程;(4)求以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的標準方程(課后探究)．

學生獨立完成以后交流．(略)

設計意圖研讀教材發現,人教A版教材中的例1、例2考查的是同一個圓,將教材中例1的點M1的坐標從(5,-1)改為(5,1)不影響問題的處理,將例2中的B,C兩點設置為變式練習1,一方面鞏固所學,另一方面為例2的處理埋下伏筆．通過對M2相對于圓的位置的追問,自然地引出探究問題,引導學生審視圓的標準方程的推導過程.問題5引導學生聚焦方程的幾何意義,明晰代數法與幾何法的一致性,把握數學本質．將教材中的探究問題一般化,結合對圓的標準方程推導過程的審視,未增加難度,更具一般性．另外,在例1的處理中,除審視代數法的幾何意義外,淡化幾何法,突出代數法,凸顯解析幾何思想．

例2已知△ABC的三個頂點分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求△ABC的外接圓的標準方程．

學生通過建立三元一次方程組求出圓心坐標 和半徑,求得△ABC的外接圓方程(x-2)2+(y+3)2=25．引導學生交流反思,歸納方法(板書:待定系數法)．

追問:有其他方法么?

投影展示用兩邊中垂線確定圓心,再計算半徑后求得△ABC的外接圓方程．引導學生交流反思,歸納方法(板書:幾何法)．

變式練習2 (1)△ABC的三個頂點分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求△ABC的外心坐標;(2)已知圓過A(5,1),B(7,-3)兩點,且圓心在直線x+y+1=0上,求圓的標準方程．

學生練習后投影展示解答,點評交流(略)．

設計意圖師生共研例2,教師板書,適時停頓,追問接下去如何處理,提升學生的數學運算素養;同時,示范解答題的規范書寫．在問題的分析處理過程中讓學生體會從幾何特征處尋找思路,運用代數方法求解的解析法思想．解析幾何主要解決兩類問題:第一類求曲線的方程;第二類利用方程解決幾何問題．教學實施中將與教材例3同類型的問題作為例2的變式出現,將例3留作鞏固練習,減少不必要的重復運算,聚焦于思路的探求與問題的求解．在變式練習2的交流互動中選取不同做法進行交流展示,體現數學表征的多元性,揭示不同方法背后機理的一致性,突出解析法思想．

3.5 回顧反思完善認知

問題6本節課學到了哪些知識、方法?從中體會到哪些策略、思想?還有哪些疑惑或問題?

師生共同完成思維導圖(圖1)．

圖1 思維導圖

設計意圖回顧學習內容、學習過程,歸納其中設計的數學方法、策略、思想,完善學生的認知結構．

3.6 分層作業拓展提升

復習鞏固第88頁習題2.4第2～3題,綜合運用第88頁習題2.4第6～7題,拓廣探索第89頁習題2.4第10題(選做)．

設計意圖分層作業,讓不同層次的學生都得到適當的發展．

4 教學思考

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《標準2017》)提出,學生要在學習數學和應用數學的過程中發展數學學科核心素養．數學學科核心素養具有階段性、連續性,是在數學學習過程中逐步形成的,其水平的達成不是一蹴而就的[1]81．以記憶事實與表象性概念為主、缺乏深入理解的碎片化的知識點教學無法將數學的本質表述清楚,不能保障數學核心素養提升的連續性,無法滿足素養導向的教學要求,難以保證數學核心素養的落實．為此,《標準2017》指出:重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化……促進學科核心素養的落實[1]前言4．發展數學學科核心素養,開展以學科大概念為核心、使課程內容結構化的大概念統領下的教學勢在必行．

4.1 開展大概念統領下的教學,促進核心素養的提升

在零散的、碎片化的知識點教學中,關注的往往是本課時的知識點的掌握,較少考慮單元或課程內容的整體,容易導致教學中只見樹木不見森林,教學視野狹窄,教學立意不高．而實施大概念統領下教學,首先要提取學科大概念,大概念的提取需要掙脫課時、知識點的束縛,在單元甚至課程的視野下認識課時內容的本質、作用、地位及育人價值,這就促使教師自然地由單純關注課時目標,轉向課時目標、單元目標甚至課程目標兼顧．著眼點不再只是課時中的知識點,還有整個單元甚至整個數學課程,使得教學不只關注知識點的掌握,還要關注單元目標、課程目標的實現,而數學課程的目標正是發展學生的數學學科核心素養．因此,在大概念統領下的教學中,在教學目標的制定時自然地關注單元目標、課程目標,自然地關注數學學科核心素養的達成,思考數學學科核心素養在課時內容中的孕育點、生長點[2]81,注意數學學科核心素養與教學內容的關聯．比如本課時學習中,借助坐標系建立圓的方程時運用到了數學抽象;根據不同條件求圓的方程的問題求解中運用到了邏輯推理與數學運算;而整個課時學習過程中經歷從幾何圖形(圓)到圓的方程的建構,以及運用點的坐標及圓的方程考查點、圓關系,并解釋其中的幾何意義這樣一個完整的廣義上的建模過程,運用到數學建模．在上述教學環節中,組織學生開展相應的數學實踐活動,在數學實踐活動過程中獲得“四基”、提升“四能”,促進學生數學學科素養的提升．

4.2 開展大概念統領下的教學,改進問題情境的創設

問題是數學的心臟,好的問題情境才能激發學生積極思考與主動交流,才能驅動學生的學習實踐活動走向深入．在碎片化的知識點教學中,由于對知識的前后聯系以及學生的認知基礎關注不夠,創設出的問題適切性不強,對教學推動作用不大,問題的動力性不足．大概念統領下的教學,需要站在單元、課程的高度,熟悉知識的來龍去脈、前后聯系以及學生的認知基礎．故而,情境創設才能瞻前顧后,挑戰性問題設計才能緊扣學生的最近發展區,創設出的問題才能激發學生的積極思考與交流．在本課時的學習中,著眼學生的學習歷程可以知道:在初中,學生已經學習了圓的概念,了解了圓的幾何性質;在高中,學生在學習圓之前已經學習了直線,積累了一定的學習經驗．鑒于此,可以確立圓的方程為課時大概念,在此大概念統領下,確定本課時的核心任務是建立圓的標準方程．考慮到學生已知圓的概念,無需重復建構圓的概念,情境創設便沒有采用生活中圓的原型來引入新課,而采用回顧直線方程學習中的內容、歷程(以及其中隱含的方法與思想),在此基礎上,直接指明課時的研究對象——圓,以此作為問題情境,引入新課．這樣創設既通過情境問題隱喻了課時的研究目標、方法、路徑,又以前位大概念——直線方程的學習經驗充當了課時學習的先行組織者．在大概念的聯結與遷移下,新知的學習可以參照前位大概念——直線方程的學習,通過創設探究活動,借助類比遷移,學生較為容易地建構圓的標準方程．

4.3 開展大概念統領下的教學,增進知識之間的聯結

5 結語

大概念統領下的教學正是要將碎片化的具體的事實、概念、技能與學科中處于中心地位,具有持久性和遷移價值的學科大概念建立關聯,使碎片化的知識實現有意義的結構化,進而通過知識的結構化幫助學生獲得知識、掌握方法、把握本質、通曉緣由、加深理解、領會要義,促進學生形成良好的數學認知結構．并從中獲得“四基”,提升“四能”,積累經驗,發展數學學科核心素養．