局部平均隨機過程隨機場采樣定理

張 碩

(天津財經大學理工學院，天津 300222)

0 引言

自從1949 年信息論的創始人Shannon[1]正式提出采樣定理以來，這一定理作為信號的基本分析工具在信號分析與處理中發揮了重要作用，可以說沒有采樣定理，就沒有今天手機的普及和信息社會的文明。

關于采樣定理的研究可以追溯到20 世紀初。1915 年，Whittaker[2]在研究插值理論時，利用辛格函數完成了對給定數據進行內插的問題，并給出了具有整函數性質的基數函數C(x)，也就是信號處理中經常提到的頻譜有限函數。Whittaker 還證明這一基數函數C(x)不僅是f(x)的插值表達式，而且是f(x)的一般逼近表達式，從這一點講，Whittaker 是數學領域采樣定理研究的先驅[3]。1920 年，Ogura[4]指出了Whittaker 定理中存在的問題并對采樣定理進行了清晰描述，遺憾的是，Ogura 在采樣方面的工作在很長時間內都沒有得到認可，直到1992 年他的基本定理才引起了數學界的關注[5]。Nyquist、Kotelnikov 和Shannon 也先后從不同角度對信號采樣問題進行了深入研究，對該定理的發展和推廣做出了很大貢獻。因此，采樣定理又被稱為Whittaker-Kotelnikov-Shannon 采 樣 定 理(以 下 簡 稱WKS 采 樣 定 理)。實 際 上Whittaker 的 理 論與Shannon 的理論是采樣定理在數學領域與信息處理領域的等價形式。

WKS 采樣定理為利用頻譜有限信號的離散采樣值恢復原始信號提供了依據，建立了連續信號和離散信號之間的橋梁。盡管如此，WKS 采樣定理在使用中仍存在一些缺陷和局限性。很多學者針對WKS 采樣定理的局限性從不同角度開展了深入研究，其中不乏精彩的結論，進一步擴大了采樣定理的應用范圍。首先，WKS 采樣定理要求采樣間隔相等，這對采樣儀器的精確度提出了更高的要求而且采樣的數據也必須完整。因為無論是人工還是機器控制采樣間隔都無法做到等間隔，在某些實際情況中不得不進行非均勻采樣，而且如果在采樣的時間段內信號頻率變化很大，按照WKS 采樣定理中進行均勻采樣會造成數據冗余，在要求的時間段內進行非均勻采樣可以減小數據冗余度，這在處理一些大數據圖像時就非常重要。早在1953 年，Black[6]就提出了非均勻采樣的思想，通過一些例子討論了非均勻采樣的應用，指出在信號重構過程中會存在誤差。1956 年，Yen[7]詳細研究了一些特殊的非均勻采樣過程，推導出頻譜有限信號的一些有趣性質，給出了四個廣義采樣定理，并引入了一類稱為“最小能量”的信號，這類信號更適合包含有限個采樣點的非均勻采樣。隨后的幾十年，非均勻采樣信號的重構問題，非均勻采樣的域變換算法，非均勻采樣的方式設計，非均勻采樣的誤差分析都成為研究的重要方向，詳見參考文獻[8]。

其次，WKS 采樣定理要求信號頻譜有限，這只是理想的數學模型，一個信號不可能同時時域有限又頻域有限。因此，實際中處理的信號經常是非頻譜有限的，這就促使人們考慮更大的函數空間，比如小波子空間、平移不變空間。1992 年，Walter[9–10]將采樣定理推廣到小波子空間，隨后又建立了小波子空間的不規則采樣。Walter 小波子空間采樣定理是WKS 采樣定理的推廣，如果將Walter 小波子空間采樣定理中的基函數s(t)換成辛格函數，即為WKS 采樣定理。而s(t)并非一定是頻譜有限函數，如果它是非頻譜有限的，則Walter 小波子空間采樣定理可以重構非頻譜有限信號。1993 年，Xia 和Zhang[11]在小波空間中研究了基正交尺度函數的采樣定理及小波變換。1996 年，Liu[12]在樣條小波空間中建立了不規則采樣定理。在文獻[11]的研究基礎上，孫文昌和周性偉[13–15]對小波子空間的采樣問題進行了深入研究，得到了一系列有意義的結論，使得小波空間的采樣定理有了進一步發展，并建立了向量小波空間上的采樣定理，給出了小波子空間里采樣定理的各種誤差分析。隨著小波理論的發展，采樣定理這一課題再一次得到了發展，借助小波空間的自由度更高的特點，很多研究者提出了實用性更廣泛的采樣公式。

第三，WKS 采樣定理要求獲得無限多個離散采樣點的精確值。一方面，實際采樣中計算機只能進行有限次運算，只能使用有限個采樣點的值重構原始信號，這樣會產生截斷誤差。另一方面，由于儀器的精度和慣性，得到的只是采樣點的局部平均值而非精確值?；谝陨蟽牲c，學者們提出了局部采樣和平均采樣的概念。

第四，WKS 采樣定理適用于確定性信號的重構，而自然界的信號大多是隨機信號，而且依賴于多個變量，比如時間、位置等，有關隨機信號和隨機場采樣的研究應運而生。早在1955 年，Yaglom 和Harkevich 在博士論文中研究了寬平穩過程采樣問題。1957 年，Balakrishnan[16]證明了連續參數隨機過程的采樣定理并給出了精確重構公式，將采樣定理推廣到了復值寬平穩過程。

根據信號的類型從確定性信號轉向對隨機信號采樣的研究，尤其是非平穩隨機信號、隨機場的采樣定理是一個新的研究課題；根據函數空間的類型，研究者提出了條件更寬松的函數空間來重構原始信號，如小波空間、樣條空間、平移不變空間、再生核空間等。根據采樣點的取值，由精確采樣轉向局部平均采樣。這些研究不是孤立進行的，如頻譜有限信號的平均采樣[17–19]，樣條子空間中信號的平均采樣[20–21]，平移不變空間中的平均采樣[22–24]，再生核空間中的采樣與重構[25–27]，混合勒貝格空間中信號的采樣和重構問題[28–32]等都有有價值的結論提出，這對采樣定理的發展和應用起到了非常大的推動作用。本文主要從隨機信號與局部平均采樣兩方面系統介紹近幾年在隨機過程、高維隨機過程、隨機場、時空隨機場局部平均采樣定理方面的若干結論，以及時空隨機場采樣的未來研究方向。

1 經典隨機過程采樣定理

WKS 采樣定理被正式介紹到工程領域后，為信號處理的有關理論奠定了基礎，也成為具有歷史意義的里程碑。同時，很多學者也注意到大自然中的大多數信號是隨機的，沒有確切的表達式。因此，關于隨機過程的采樣問題受到了關注，其中就包括前蘇聯數學家Kolmogorov。在WKS 采樣理論中基本的模型是頻譜有限函數，將其推廣到隨機信號時也是從頻譜有限函數開始的。

1955 年，Kolmogorov 的博士生Yaglom 在他的博士論文中討論了寬平穩隨機過程采樣的有關問題。1957 年，Balakrishnan[16]將采樣定理推廣到復值平穩隨機過程，給出了復值平穩過程均方收斂的結果及證明。

定理1[16]若復值平穩過程{X(t),t ∈R}的譜密度函數f(λ) = 0(|λ|＞?)，即{X(t)}的自相關函數R(τ)在[??,?]上頻譜有限，則

即按均方收斂，簡記為

Belyaev[33]也一直從事隨機過程和采樣定理方面的研究，1959 年，他研究了解析隨機過程，給出了隨機過程解析性的充分條件及高斯過程和平穩過程解析的充要條件。同時，也將采樣定理從概率1 收斂的角度推廣到復值隨機過程。

定理2[33]若隨機過程{X(t),t ∈R}的譜密度函數f(λ) = 0，當|λ|＞ ?，即{X(t)}的自相關函數R(τ)在[??,?]上頻譜有限，則在幾乎處處收斂意義下成立：

WKS 采樣定理解決的是確定性頻譜有限信號的恢復問題，而隨機信號是實際中是常見的，通常用平穩過程作為隨機過程采樣定理的研究模型。以上定理說明對于[??,?]上的頻譜有限的平穩隨機信號，可以由它的離散采樣值恢復原始信號。若? ＞?，也可以做到幾乎處處收斂。

與此同時，Lloyd[34]也從數學角度對寬平穩隨機過程的采樣問題進行了討論。1962 年，Yaglom[35]在專著中介紹了頻譜有限寬平穩隨機過程的性質和有關結論。1965 年，Zakai[36]推廣了頻譜有限函數和隨機過程的定義，并得出采樣定理在此推廣定義下仍然成立的結論。Butzer 和Splettst¨osser[37–42]是關于隨機過程采樣的研究中比較有代表性的學者，他們在進一步完善寬平穩過程采樣定理的研究中做了出色的工作，在1978～1983 年發表了一系列寬平穩過程采樣問題的文章。Pog′any[43–50]在采樣定理方面著作頗豐，對頻譜有限隨機過程，高維隨機過程等進行了深入研究，但都屬于點采樣。對在[??,?]上頻譜有限的隨機信號，Splettst¨osser[39]在1981 年，利用指數型積分函數理論證明了頻譜有限寬平穩隨機過程的采樣定理。

首先，假設Lp(R)是在R 上的可測函數空間，滿足‖f‖p ＜+∞，其中的范數定義為

對于? ≥0 以及1≤p ≤∞，如果f ∈Lp(R)為整函數，且滿足|f(x)|≤Ce?|x|(C為常數)，則稱f屬于Bernstein 空間，記作f ∈Bp?，表示限制在實數范圍內Lp(R)的具有指數型參數為?的函數f的全體[51]。由Paley-Wiener 定理，一個平方可積函數f是在[??,?]上頻譜有限的，當且僅當f ∈B2?。

定理3[39]若寬平穩過程X(t)的自相關函數RX ∈Bp?，其中1≤p ≤2,? ＞0，則成立

定理4[39]若寬平穩過程X(t)的自相關函數RX ∈Bp?，其中1≤p ≤∞,? ＞0，且自相關函數RX對某個γ ＞0 滿足

則寬平穩過程X(t)的Shannon 采樣級數展開式(1)成立。

這是Splettst¨ossor 從函數空間的角度利用指數型積分函數理論嚴格證明了對于頻譜有限寬平穩隨機信號，如果其自相關函數滿足一定條件時，可以由其離散采樣值恢復。

盡管頻譜有限是WKS 采樣定理中的一個非常重要的條件，相關結果也有很多，然而這一條件在實際中總是很難得到滿足，或者說準確的帶寬是未知的。為此，我們通常使用寬平穩非頻譜有限隨機過程作為模型，Splettst¨osser 在之前研究的基礎上又進一步給出了用采樣級數展開式近似非頻譜有限隨機信號函數時產生的誤差的估計和收斂速度。

若寬平穩過程X(t)的自相關函數RX ∈Bp?(1≤p ≤∞)，則稱X(t)是在[??,?]上頻譜有限的，記作X(t)∈L。

注意到任意自相關函數RX ∈Bp?具有無窮階導數，所以寬平穩過程X(t)屬于下述Lipschitz 類

現實中的信號雖然大部分有隨機性，但是頻譜有限且時域有限的函數是不存在的。這一定理說明非頻譜有限的隨機信號可以由其離散采樣值逼近。

2 隨機過程局部平均采樣定理

在WKS 采樣理論中，都是通過采樣點處精確的函數值恢復原始信號。在用測量工具采取樣本值的過程中，測量工具本身會產生測量誤差，實際中得到的采樣值并不是f(t)在時間變量tk(k ∈Z)點的精確值，而是tk點附近的局部平均值。這種將取局部平均應用于采樣定理的思想是Gr¨ochenig[52]在1992 年提出來的。具體地說，就是將f(t)在tk點的采樣值取為

如果δ足夠小，則局部平均值是f(tk)的非常好的近似。

Gr¨ochenig[52]基于局部平均建立了頻譜有限的確定性連續信號不規則采樣的新數學模型，證明了在一定條件下，頻譜有限確定性連續函數f(t)可由〈f,uk〉唯一確定，并給出了迭代重構算法。

局部平均采樣是采樣定理發展過程中Gr¨ochenig 提出的非常有代表性的觀點。這一算法給出了頻譜有限確定性連續函數的恢復迭代，也為局部采樣平均在隨機信號中的應用和推廣奠定了基礎。

在Gr¨ochenig[52]、Butzer[53–54]、Spletts¨osser[39]、Sun 和Zhou[17–18,20,22,56]等學者的研究基礎上，Song 等[19,57–60]研究了在[??,?]上頻譜有限的連續信號f(t)及隨機過程X(t)的局部平均采樣問題，并在2006 年優化了由Butzer 和Lei[54]于2000 年對確定性信號的研究結果。2007 年，Song 等人[57]給出了對稱區間上頻譜有限寬平穩隨機過程的采樣定理。

對于隨機過程X(t)的采樣問題，同樣存在采樣值并不是X(t)在時間變量tk(k=0,1,2,···)點的精確值的問題。類似處理確定性信號的方法，將tk點附近的局部平均積分值作為采樣值，它是新的隨機變量。X(tk)局部平均積分值定義為

對于采樣處的函數值，無法獲得精確值，用局部平均值代替。實際上，取得采樣平均值的權函數支撐區間也很難做到完全對稱，Song[58]將局部平均中權函數的支撐區間由對稱改為非對稱區間，系統研究了頻譜有限和非頻譜有限實值寬平穩過程的局部平均采樣相關問題，將Spletts¨osser 關于寬平穩過程的采樣推廣到局部平均采樣，其中權函數uk(t)滿足下列性質

這一定理說明，對于頻譜有限的寬平穩隨機信號，實際中很難得到它的精確離散采樣值，可由其采樣點處的局部平均采樣逼近，且誤差可以控制在一定范圍內。

但是，在實際中寬平穩過程頻譜的精確界是未知的，在這種情況下就需要考慮非頻譜有限寬平穩過程采樣逼近。Song[59]在Spletts¨osser[39]于1981 年得到的非頻譜有限寬平穩過程采樣逼近的逼近階的基礎上，給出了非頻譜有限寬平穩過程局部平均采樣逼近的誤差上界。

{uk(t)}是(4)式定義的實函數列。

顯然，當? →∞可以用寬平穩過程局部平均采樣逼近非頻譜有限寬平穩過程。另外，在隨機過程的局部平均采樣逼近方面，得到了寬平穩隨機信號局部平均采樣的概率1 收斂的結果。

其中{uk(t)}是(4)式定義的實函數列。

如前所述，頻譜有限這一條件在實際中是難以滿足的，在尋求更一般的函數空間過程中，采樣定理被推廣到了樣條子空間、小波子空間、平移不變子空間等。早期關于平移不變子空間的采樣問題基本上都圍繞均勻采樣和確定性信號，后來更加關注非均勻采樣和局部平均采樣。2014 年，Xian 和Li[61]將隨機過程與平移不變空間相結合，引入平移不變隨機過程。它是經典頻譜有限隨機過程的一般情況，也是一種非頻譜有限隨機過程。得到了平移不變隨機過程的兩個采樣定理，推廣了頻譜有限隨機過程和平移不變空間的結果。

定義1[61]若寬平穩隨機過程{X(t) :t ∈R}的自相關函數RX(τ)屬于某個平移不變子空間，即

則稱{X(t):t ∈R}為平移不變寬平穩過程。

定理11[61]令X(t)為平移不變隨機過程，生成子ψ對于V2(ψ)是連續且穩定的，滿足ψ(x)=O(1+|x|)?β,β ＞1，X:=(xj:j ∈Z)是V2(ψ)的采樣集，則存在～K(xk,·)，使得

是均方收斂的。

WKS 采樣定理局限于由sinc 函數的整平移生成的頻譜有限空間，但是在實際應用中，很多信號不是頻譜有限的，比如核磁共振成像，并且sinc 函數衰減速度比較慢。因此，WKS 采樣定理在實際中很少被用到?，F代數字信號處理要求空間的生成元選擇在時域和頻域同時有良好的局部性質，如果生成元在時域和頻域上衰減且滿足一定條件，信號仍然可以被唯一穩定恢復，這是更一般的平移不變空間上采樣問題。

定理11 將文獻[62]在平移不變空間中的結果推廣到了平移不變隨機過程的情況。Xian和Li[61]還證明了平移不變隨機過程，也可以通過局部平均采樣重構。

定理12[61]令X(t)為平移不變隨機過程，生成子ψ對于V2(ψ)是連續且穩定的，假設

以上兩個定理將文獻[21,62–63]中平移不變子空間的結果推廣到了平移不變隨機過程，而且將文獻[34,57–58,64–68]中關于頻譜有限隨機過程的結果推廣到了平移不變隨機過程，并在定理12 中給出了重構算子Sxj(t)的一個顯式構造。

2016 年，Jiang 等[27]將頻譜有限空間和平移不變空間的隨機信號局部平均采樣定理進一步推廣到再生核空間。

定義2[27]令T為定義在Lpν(R)上的冪等積分算子，其中1≤p ≤∞，且T的核函數K′′滿足

冪等積分算子T的值域V={Tf:f ∈Lpν(R)}={f ∈Lpν(R) :Tf=f}為Lpν(R)的再生核子空間，即對于任意的x ∈R，存在Cx ＞0，使得|f(x)≤Cx‖f‖Lpν|,?f ∈V。當自相關函數RX(t)屬于Lpν的再生核子空間V時，稱隨機過程X(t)為加權再生核隨機過程。

定理13[27]令δ和a滿足

設Γ ?R 是間隔為δ ＞0 的相對分離集，{ψγj:j ∈Z}為相應的平均采樣泛函集。如果對某個η ＞0，加權再生核寬平穩隨機過程X(t)的自相關函數RX(t)滿足RX(t)≤RX(0)(1+|t|)?1?η，且對任意的s ∈R，有K′′(s ?x,y)=K′′(x,s ?y)成立，則可得

在壓縮傳感和超寬帶通信等工程問題中，很多信號不具有平移不變結構，比如，在雷達領域中為了實現高空間分辨率和目標鑒別能力，雷達系統傳輸的是高瞬時頻率的脈沖，雷達信號的帶寬急速增大。傳統雷達回波信號依賴于WKS 采樣定理的采樣和處理體系顯得力不從心。選用更廣泛的生成函數和對應采樣核，才能精確重構該類信號。再生核空間的隨機信號局部平均采樣定理對更大空間信號的采樣和恢復提供了理論支撐。

3 高維隨機過程局部平均采樣定理

在此基礎上，得出了以下結果。

隨著信息技術的發展，信號處理進入了大數據時代，其中許多信號屬于高維信號，比如多媒體信號、地震信號、海浪信號等等，里面蘊含著很多有價值的信息，以上定理對這些信號的采樣和重構問題起到了至關重要的作用。

4 齊次隨機場局部平均采樣定理

關于隨機信號采樣的研究已經取得了豐碩的成果，在實際中人們也注意到大多數隨機信號并不僅是時間t的函數，還可能和其他變量有關，比如空間變量，也就是說大多數隨機信號是多變量隨機信號。流體力學中的湍流、海浪的雷達回波信號、水文學中的溫度場、濕度場等，這些隨機信號在應用中通常被稱為隨機場。早在1941 年，Kolmogorov[71]在研究湍流時提出了隨機場的雛形。隨后他的博士生Yaglom[72–74]對n維空間隨機場進行了研究，建立了相關的譜理論。Vanmarcke 從20 世紀70 年代起開始研究隨機場理論，1976 年，他將隨機場理論引入巖土工程的可靠度分析中，建立了土性剖面的隨機場模型并成為分析巖土工程可靠度的常用模型。1983 年，Vanmarcke[75]又提出了隨機場的局部平均，并將其應用于土木工程。但是，他所考慮的局部平均屬于對稱平均，不具有一般性。關于多變量信號的采樣定理，最早由Parzen[76]在1956 年引入，隨后Miyakawa[77]、Petersen 和Middleton[78]在多變量信號的采樣定理的研究方面都取得了一些結果。尤其是Spletts¨osser[42]在1982 年，給出了多變量確定性函數Shannon 采樣定理的混淆誤差?；谝陨涎芯?，Zhang 和Song[79–80]給出了局部平均齊次隨機場采樣定理及均方估計的誤差上界，并討論了齊次隨機場局部平均采樣的概率1 收斂問題，將寬平穩隨機過程的局部平均推廣至齊次隨機場。

Lp(Rn)是Rn上的‖f‖p ＜+∞全體可測函數空間，其中

給定概率空間(W,A,P)，定義在Rn×W上的實值隨機場X(t):=X(t,ω)是弱齊次的，當且僅當E[X(t,ω)2]＜∞,?t ∈Rn，且自相關函數

對于t ∈Rn是獨立的，即RX(t,t+τ) =RX(τ)，其中t= (t1,t2,···,tn),τ= (τ1,τ2,···,τn)，簡稱齊次隨機場。

Bn?,p是限制在Rn內Lp(Rn)的具有指數型參數為?的函數f(t)的全體。如果RX(τ)∈Bn?,p, 1≤p ≤∞，則稱齊次隨機場X(t):=X(t,ω)在[??,?]上是頻譜有限的，即

注1 定理8 是此定理的特殊情形。

定理21[80]若齊次隨機場X(t)的自相關函數RX(τ)∈B?,p, 1≤p ≤∞，且滿足

隨機場在土木工程中應用極為廣泛，比如巖土工程結構可靠性的分析中，考慮不同地理位置的土體性質變化時，建立土性剖面的隨機場模擬模型，通過采樣計算土性的相關參數，在真實反映土性指標以及結構可靠性的分析中必不可少。

5 非平穩隨機信號及采樣定理

平穩隨機信號在理論上得到了深入研究和發展，也廣泛應用于雷達、通信、自動控制等諸多工程領域。關于非平穩隨機信號的研究，長期以來受限于理論的發展，在應用中通常將它們簡化為平穩隨機信號處理，當然結果有時并不太令人滿意。隨著科學技術的發展和進步，對非平穩隨機信號分析與處理的研究逐漸受到國內外學者的廣泛關注，其理論和方法取得了很大的發展。1965 年，Zakai[36]首次描述了非平穩隨機過程的采樣定理，但是并沒有對其進行徹底的數學描述[81]。直到1972 年，美國學者Gardner[82]才正式給出并證明了非平穩隨機過程的采樣定理。

定理22[82]若RX(t,s)為非平穩隨機過程X(t)的自相關函數，且RX(t,s)的二維Fourier 變換SX(f,v)是頻譜有限的：對于|f|≥?,|v|≥?,?/=0，有

則對于任意的t ∈(?∞,∞)，X(t)在均方意義下有如下表示

兩年之后，Sharma 和Mehta[83]將非平穩隨機過程的采樣定理推廣到了n維空間。首先，他們給出了非齊次隨機場(n維非齊次隨機過程)頻譜有限的定義。

定義3[83]設n維非齊次隨機過程X(t1,t2,···,tn)的自相關函數為RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)，如果它的n維Fourier 變換滿足以下頻譜有限的限制，對于|fk|≥?i且|vk|≥?i,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，有

則稱非齊次隨機場X(t1,t2,···,tn)在區間(??i,?i)是頻譜有限的。

由以上定義可將采樣定理的一般形式推廣至n維空間。

定理23[83]設RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)是n維非齊次隨機場X(t1,t2,···,tn)的自相關函數，如果對于|fk|≥?i且|vk|≥?i,k=1,2,···,n,i=1,2,···,n，RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n維Fourier 變換SX(f1,f2,···,fn,v1,v2,···,vn)滿足(8)式，那么對任意的ti ∈(?∞,∞),i=1,2,···,n，X(t1,t2,···,tn)在均方意義下有如下表示

上述結果也被推廣到非齊次隨機場的局部平均采樣，得到了一些初步的結果。

定理24[84]設RX(t,s)為非齊次隨機場X(t)的自相關函數。如果RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)的n維Fourier 變換SX(f1,f2,···,fn,s1,s2,···,sn)滿足有限帶寬的限制(8)式，?2RX(t1,t2,···,tn,s1,s2,···,sn)/?tj?si ∈C(R2n)且

則對于? ≥2π且0＜γ ≤1，有

這一結果只是針對頻譜有限空間中的非齊次隨機場信號局部平均采樣進行了討論。如前所述，應用中的很多隨機信號并非具有頻譜有限和平移不變性，所以關于隨機場局部平均采樣理論的進一步研究還有很大空間。

6 時空隨機場的局部平均采樣

近幾年，信號采樣的有關研究不勝枚舉，從頻譜有限空間到平移不變空間，再到再生核空間，信號和采樣的形式越來越多樣化，應用范圍也越來越廣泛，也促使研究者們發現了更多的問題，急需在理論上有更多的突破。比如，關于隨機場局部平均采樣理論已經在海浪參數反演[85]和海洋污染監測[86]以及全息采樣及三維顯示[87]等應用方面取得了一些成果，這些成果的取得證明采樣定理尤其是隨機場局部平均采樣有廣泛的應用。但是，以上應用中實際上只是更多的從數學理論角度處理，用到了多指標隨機場，并未考慮時間和空間的不同屬性。嚴格地說，海浪和視頻中的三維數據均為時空隨機場，直接看做多指標隨機場失去了它的物理意義。時空隨機場的特殊屬性已經得到了學術界的關注，國內外陸續有一些關于時空隨機場的成果問世。2022 年，混合范被首次引入到齊次隨機場，對齊次混合勒貝格空間中再生核齊次隨機場的局部平均采樣進行了初步探討[88]。

當齊次隨機場的自相關函數屬于混合勒貝格空間中的再生核子空間，則稱該齊次隨機場為混合勒貝格空間中的再生核齊次隨機場。

設算子T為定義在混合勒貝格空間Lp,q(Rd+1)上的冪等積分算子，即

其中算子T的核函數K是定義在(R×Rd)×(R×Rd)上的函數，并滿足

連續模定義為

對于定義在Rn×Rn上的函數K0(x,y)而言，相應的W0-范數定義為

記V:={Tf:f ∈Lp,q(Rd+1)}={f ∈Lp,q(Rd+1) :Tf=f}為冪等積分算子T的值域空間?？臻gV是混合勒貝格空間中的再生核子空間，即對任意的(t,x)∈R×Rd，存在常數Ct,x ＞0，滿足|f(t,x)|≤Ct,x‖f‖Lp,q。

若樣本集合Γ={γj,k=(tj,xk):tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}滿足

定理25[88]令1≤p,q ≤∞，核函數K(t,x;s,y)滿足(9)式，相對分離樣本集Γ={γj,k= (tj,xk) :tj ∈R,xk ∈Rd,j,k ∈Z}針對兩類變量的間隔分別為δ1和δ2，U={uj,k(t,x)}j,k∈Z是與相對分離集合Γ有關的一致有界單位劃分，δ1、δ2、a、M滿足

若混合勒貝格空間中再生核齊次隨機場X(t,x)的自相關函數RX滿足

并且對任意的s ∈R,y ∈Rd,RX(s ?·,y ?·)∈V，則可知

上述結果可以利用隨機場模擬實際應用中由于隨機噪聲干擾而具有隨機特性的信號，從而使得相應的采樣結果能夠更符合實際情形。這一結果為在混合范數下時空隨機場采樣理論的研究打開了新的突破口。

7 未來研究展望

采樣定理在信號處理領域有舉足輕重的作用，但是在應用中弊端也日漸凸顯，這也為學者們提供了新的研究方向。注意到時空隨機場中時間變量和空間變量屬性的區別，引入混合范進行時空隨機場采樣理論的研究成為新的研究焦點。結合目前基于混合范數下采樣理論的研究，展望未來的研究還能在以下問題中打開新的局面：

1) 目前基于混合范數勒貝格空間中信號采樣定理的研究主要針對的是確定性信號的隨機采樣，只是隨機選取的采樣點服從某個范圍內的一般概率分布。有關隨機信號的采樣研究還比較少，尤其是考慮混合范數下時空隨機場的采樣逼近是一個新穎的研究課題；

2) 目前基于混合范數勒貝格空間中的采樣研究中關于采樣值的定義針對不同的信號有多種不同的形式。比如對稱和非對稱區間的加權局部平均采樣、卷積平均采樣等。這些只是從數學理論的角度討論，有關實際應用中哪種平均采樣形式更符合時空隨機場還值得進一步探討；

3) 目前基于混合范數勒貝格空間中采樣的研究中對信號所屬的空間從頻譜有限空間擴展到平移不變空間和再生核空間，關于隨機信號的討論，也僅限于齊次時空隨機場?，F實中的信號不滿足齊次性條件，多為非齊次的，很難得到理論上完美的結論。應用中也通常忽略信號的非齊次性而假設信號在觀測時間內是平穩或齊次的，這一手段雖然為處理信號提供了便利，但是增大了信號重構的誤差，有關非齊次隨機信號采樣的理論及其應用也成為亟待解決的問題?；诨旌戏犊紤]非齊次以及更寬泛條件的時空隨機場局部平均采樣研究有一定的挑戰性；

4) 目前基于混合范數勒貝格空間的采樣研究中考慮的范數都是Lp,q(R,Rd)中定義的范數形式。然而，關于混合范數時空隨機場的采樣研究一方面要從理論上得到漂亮的結論，另一方面也要切合應用背景，理論服務實踐。目前尚未解決，也是今后研究要解決的核心問題是，由于應用背景不同，還沒有一種統一的混合范形式來量化實際應用中需要描述的指標的測度。在時空隨機場中引入能應用于不同物理場景不同時空尺度的統一混合范數，在理論分析和實際應用都表現出良好的精確度和普適性，并在此基礎上建立相應的采樣數學模型，不僅具有重要的理論價值，而且對于工程領域也有應用價值。