基于Wiener退化過程的動車組部件狀態-機會維修模型分析與研究

皇甫蘭蘭，蘇宏升，林俊亭

(蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州 730070)

高速動車組以電力為動力,具有節能環保的優點。然而,隨著動車組運行速度的提高和載客量的增加,高速動車組在方便人們出行的同時,也出現了一些問題,如可靠性和安全性面臨巨大挑戰、維修費用成本逐年增加等。因此,研究和分析動車組的可靠性和維修問題具有重要的理論意義和工程應用價值。

預防性維修在大型設備如風電、能源、核電以及高鐵等領域的應用和研究愈來愈受到學者們的關注。目前,系統或部件的維修主要有兩種方式: 事后維修和預防性維修。預防性維修分為基于時間的維修(time-based maintenance,TBM)和基于狀態的維修(condition-based maintenance,CBM)[1]。在建模過程中,TBM 模型是一種有計劃的預防性維修活動,能夠在確定的維修時間點安排相應的維修資源,實施后能夠滿足部件的性能要求,但其只考慮了運行時間對部件失效率的影響,沒有考慮部件的真實運行狀態,因此,存在“欠維護”和“過維護”的現象[2-3]。隨著檢測技術的發展,學者們提出了一些基于部件狀態的預防性維修策略。文獻[4]提出一種基于 Markov 特性的狀態維修策略,能夠根據部件的實際狀態制定動態的維修策略。文獻[5-6]建立基于比例失效模型的狀態維修策略,根據多屬性決策理論,建立聯合目標函數。文獻[7]根據動車組齒輪箱的實時運行情況,建立威布爾比例風險模型,得到了最佳維修時間和維修閾值。文獻[8]基于SDE建立風力發電機齒輪箱的威布爾比例風險模型,并對影響齒輪箱狀態的3個重要因素進行加權處理,得到最優的預防性維修周期。以上文獻大多是在假設部件修復如新的條件下進行的研究,未考慮部件的不完全維修。而實際部件進行預防性維修后,部件的狀態處于在“修復如新”和“修復如舊”之間,針對這一問題,文獻[9]基于Gamma過程建立劣化系統的CBM模型,設備在進行預防性維護后考慮其維修的不完全性,制定相應的維修策略。文獻[10]基于Wiener過程,提出一種牽引供電設備狀態檢修模型,考慮預防性維護和修復性維護后的不完全性,實現運行費用率最低的優化目標。但這些研究針對的是單一部件或者將多部件構成的系統看為一個整體進行的維修,未考慮部件之間的故障、經濟等關聯關系。

大型復雜系統中的各部件之間往往存在著一定的相關性,因此,基于串聯部件的機會維修策略是一種有效減少維修費用的方法。國內外研究人員對于多部件機會維修策略進行了深入的研究。文獻[11]研究在部件進行維修過程中,考慮其他部件的維修情況,確定機會維修的范圍。文獻[12]提出一種基于可靠性的機會預防性維修優化模型,引入機會維修的思想,通過偏最小二乘回歸方法優化機會維修閾值,確定最佳預防性維修閾值和機會閾值。文獻[13]引入動車組部件故障風險量化和機會維修里程窗的概念,建立部件的機會維修策略。上述文獻,多數未考慮部件的檢測狀態對機會閾值的影響。文獻[14]提出一種狀態-機會維修(condition-based opportunity,CBOM)策略,該策略采用威布爾比例失效模型,但未考慮可修系統中存在的不完全維修。文獻[15]針對維修過程中存在的不完全維修情況,借助維修因子描述部件的不完全維修,并利用維修因子的取值大小確定狀態維修函數和機會維修函數,其針對的是符合威布爾比例失效模型的可修部件。本文針對動車組部件在運行過程中的劣化特性,利用Wiener過程描述部件的這種特性,借助指數分布的隨機幾何過程反映不完全維修后部件的劣化損傷程度。通過隨機過程和拓撲的基本理論分析狀態檢測周期的大小與不同檢測策略之間的關系。在求得各部件的最優狀態閾值和維修檢測周期的基礎上,引入機會閾值與狀態閾值的比值,建立狀態-機會維修策略模型,并求得部件機會維修次數期望值的數學表達式,同時采用蒙特卡洛算法流程進行求解,確定各部件的最佳機會閾值,達到優化維修費用率的目標。通過算例進行仿真驗證狀態-機會維修模型在減少停機次數和降低維修費用率方面的有效性。

1 模型建立

1.1 模型概念描述

引理1令f(yi(t))為退化量yi(t)的連續函數,且二次可微,則存在一個隨機函數

(1)

式中:β為退化量yi(t)函數的擴散參數。

證明:

(2)

(3)

將式(3)代入式(2)可得

(4)

引理得證。

由引理1可以看出,δn為部件狀態檢測的時間間隔,反映了部件狀態檢測的稠密程度。當δn→0時,部件的狀態檢測視為連續檢測。當δn為大于0的定值時,視為定期檢測。

定義1以部件狀態的故障閾值Di為約束條件,以費用率或可用度等為優化目標,以τ為參數空間T=[0, ∞)上的分割空間長度,而制定的預防性維護計劃,定義為基于時間的維修。

由定義1、定義2、定義3可知,CBM和OM實質上是部件在狀態空間意義下的TBM。

圖1 動車組部件狀態-機會維修策略

在時刻t1,3個部件的維修策略為:部件i、q同時維修,部件i進行狀態維修,進行機會維修中的小修——更換零部件的不完全維修方式,部件j不維修,部件i、q同時維修只需花費一次固定維修費用,且減少停機一次。狀態-機會維修策略在實施過程中,能否發揮應有的作用和效益,在于機會維修節約的維修費用(包括停機次數、停機成本、固定維修費用)與機會維修增加的成本(頻繁的更換零件)之間的博弈,當實施狀態-機會維修策略后,機會維修節約的維修費用大于機會維修增加的成本時,才有意義,反之,該維修策略意味著部件的過度維修或者維修資源的浪費,則意義不大。而對于大型設備動車組,狀態-機會維修策略意義在于減少動車組的出入車輛庫停檢修次數,提高維修效率,降低停機損失成本。而多部件維修的有機結合,在一定程度上能夠分攤固定維修費用,降低固定維修成本。

1.2 基于拓撲的模型分析

命題1設δ1、δ2為任意大于等于0,小于設計壽命TP的實數,且δ2=mδ1,m為正整數,則基于檢測間隔δ1的CBM所建立的拓撲要細于基于檢測間隔δ2的CBM所建立的拓撲。

證明:令檢測間隔(δ1,2δ1,3δ1,…,iδ1,…,nδ1)所構成的集合為A,T1為集合A的拓撲,則有

T1={A?R|

?iδ1∈A,?i,n>0,

(δ1,2δ1,3δ1,…,iδ1,…,nδ1)?A}

令檢測間隔(δ2,2δ2,3δ2,…,iδ2,…,nδ2)所構成的集合為B,T2為集合B的拓撲,則有

T2={B?R|

?iδ2∈B,?i,n>0,

(δ2,2δ2,3δ2,…,iδ2,…,nδ2)?B}

由于δ2=mδ1,m∈N,則有

集合B?A,由拓撲的定義及性質[16]可知,T2?T1,拓撲T2粗于拓撲T1(拓撲T1細于拓撲T2)。

命題得證。

從命題1可知,當δn→0時,部件為連續狀態檢測,所組成的拓撲為最細的拓撲。事后維修(passivemaintenance,PM)只在設備故障后方進行維修,是設備維修所構成的拓撲中最粗的拓撲,是平凡拓撲。TBM所構成拓撲是CBM所構成拓撲中最粗的拓撲。

推論1多部件的狀態-機會維護CBOM所構成拓撲細于基于狀態的維護CBM所構成拓撲。

證明:令CBM下檢測間隔(δ1,δ2,δ3,…,δi,…,δn)所構成的集合為G,T3為集合G的拓撲,則有

T3={G?R|

?δi∈G,?i,n>0,

(δ1,δ2,δ3,…,δi,…,δn)?G}

令檢測間隔和機會維修間隔(δ1,δ2,δ3,O1,…,δi,…,Oi,…,δn)所構成的集合為H,T4為集合H的拓撲,則有

T4={H?R|

?δi,Oi∈H,?i,n>0,

(δ1,δ2,δ3,O1,…,δi,…,Oi,…,δn)?H}

顯然,集合G?H,由拓撲的性質可知,T3?T4,拓撲T3粗于拓撲T4(拓撲T4細于拓撲T3)。

推論得證。

由推論1可得,針對多部件的預防性維護,CBOM是CBM的一種優化策略。

1.3 不完全維修的Wiener退化模型

部件的退化過程一般都具有一定的隨機性,基于隨機過程刻畫部件的退化過程中的不確定性是一種比較有效的方法[17]。為了便于分析與計算,隨機退化模型多采用齊次平穩的增量過程,例如Gamma過程和Wiener過程。根據文獻[18]研究,Gamma過程適合于符合非減的退化過程部件的描述。而Wiener過程模型比較適合于描述退化過程為非單調且呈增長趨勢的部件,同時這種退化過程存在波動現象。針對動車組牽引供電系統三部件退化的特點,采用可線性化的Wiener過程模型建立部件的退化過程,令y (t)為部件在時刻t的退化量,可表示為

y(t)=y(0)+αΛ(t)+βB(Λ(t))

(5)

式中:y(0)為部件的初始退化量;α為漂移參數;β為擴散參數,假設每次預防性維修后的退化速率保持不變,則α和β為固定值,其值可以通過似然估計法[19]求得;Λ(t)為時間t的非負單調增函數;{ B(Λ(t)), t≥0}為標準一維布朗運動。根據Wiener的性質,且y(0)=0,易知退化量函數y (t)～N(αΛ(t), β2Λ(t)),N為正態分布。

根據式(5)求得的退化量y (t)為部件退化數據的擬合值,而動車組部件在運行過程中,受不同工況和零件的影響,其實際檢測的退化量x (t)與擬合值y (t)必然存在一定的殘差e (t),其計算式為

e(t)=|x(t)-y(t)|

該殘差能夠反映部件自身退化過程的不確定性以及隨機測量誤差中的不確定性。而殘差正態性的頻率檢驗方法能夠檢驗模型的正確性以及適應性,進而采取相應的措施及時更新模型參數,以便模型更好地擬合實際退化量。

令D為部件退化的故障閾值,當部件的退化量y (t)超過D時,部件失效。根據可靠性定義,可求得部件的可靠度函數RD為

RD(t)=Pr(y(t)

(6)

式中:Pr為概率函數;FD為不可靠度;Φ為正態分布函數。

部件在實際預防性維修中,由于受維修人員的水平、維修工具的優劣以及其他部件退化過程的影響,在部件進行預防性維修后,部件的狀態一般在“修復如新”和“修復如舊”中間的某一狀態,稱為部件的不完全維修。如圖2所示為動車組部件不完全維修過程示意,yp(h)為預防性維修后部件的退化量,h為預防性維修次數,此時yp(h)≠0,它處于“修復如新”和“修復如舊”的中間某一退化量。對于部件的每個劣化周期,如圖2中的[0, t1]、[t1, t2],部件的每個Wiener退化過程是非單調且呈增長趨勢的連續函數,區別在于其過程的起始點不同,每個退化過程一定能夠從某個狀態擊中Lo或Lp,因此,對于同一部件而言,在整個生命周期中,該部件的機會閾值Lo和狀態閾值Lp保持不變。在不完全維修的情況下,預防性維修的效果隨著維修次數h的增加呈下降趨勢,因此在部件的一個更新周期內,次數h是有限的[18]。預防性維護后部件的退化量采用基于指數分布的隨機幾何過程來表示,其期望值為

圖2 動車組部件不完全維修過程示意

[1-exp(-εωh-1)]

(7)

式中:Lp為部件的預防性維修閾值;ω為部件隨機幾何過程的比,且ω>1;ε為指數分布參數的常數因子,且0<ε<1,其值根據部件既有歷史維修數據,通過最大似然估計法求得。

當部件的退化量超過預防性維修閾值時,將進行不完全的預防性維修,維修后部件的退化量函數yp(t)為

yp(t)=yp(h)+αΛ(t-t0)+βB[Λ(t-t0)]

(8)

式中:t0為初始值。

預防性維修后部件的可靠度函數為

RpD(t)=Pr[yp(t)

D-yp(h)]=1-FpD(t)=

(9)

2 單部件狀態維修策略及狀態閾值的確定

在保證部件可靠性運行的前提下,以部件的最低運行費用率為優化目標,建立決策模型為

s.t.y(t)

(10)

假設部件的所有預防性維修和修復性維修時刻均在檢測點進行,且預防性維修為不完全維修,修復性維修為完全維修。部件預防性維修發生的概率包括維修之前未進行過預防性維修和進行過預防性維修兩部分。

部件預防性維修發生的概率第一部分為在進行此次預防性維修之前,部件未進行過預防性維護。設部件在第g(g=1,2, …)次檢測時,進行預防性維護,此時部件的初始劣化值為0,則部件在gδ時刻進行預防性維修的概率為

P11(g,δ)=Pr(y((g-1)δ)

R(gδ,(g-1)δ,Lp-y)]dy

(11)

式中:R(t, t1, y)為部件在時間區間[t, t1]內退化增量小于任一退化量y的概率。

部件預防性維修發生的概率第二部分為在本次預防性維修gδ時刻之前,部件已經進行過預防性維護,此時部件的初始劣化值為yp(h),則部件在gδ時刻進行預防性維修的概率為

P12(g,δ)=Pr(yp((g-1)δ)

nδ,D-y)-Rp(gδ,(g-1)δ,nδ,Lp-y)]dy

(12)

式中:n為在gδ時刻之前的上次預防性維護發生的時刻第n次檢測;Rp(t, t1, t0, y)為部件在時間區間[t, t1]內退化增量小于任一退化量y的概率;t0為上次預防性維修發生的時刻。

根據式(11)、式(12),可得部件預防性維修次數的期望值E(N1)為

部件修復性維修次數的期望值E(N2)為

式中:P2(·)為部件修復性維修發生的概率;δs為部件將實時修復性維修的時刻。

根據決策模型(10)可知,以部件的最低運行費用率為優化目標,需要決策兩個變量:檢測周期δ和預防性維修閾值Lp,通過蒙特卡洛算法求得單個部件最優的組合(δ, Lp),獲得單部件的最優決策方案。

3 多部件機會閾值的確定

3.1 維修費用分析

因為部件的修復性維護和檢測的相關費用在多部件狀態維修策略和狀態-機會維修策略中同時存在,且不受是否考慮機會維修的影響,因此本節維修策略分析中,僅考慮部件的狀態維修、機會維修、固定維修費用以及停機損失。

在不考慮機會維修的情況下,多部件進行狀態維修的總費用CCBM期望值可表示為

式中:Cic為部件i實施一次狀態維修的成本;E(Nic)為對應狀態維修次數的期望值;Cid為部件i的固定維修費用;Cif為部件i的停機損失。

在考慮機會維修的情況下,多部件進行狀態-機會維修的總費用期望為

多部件在狀態-機會維修策略下的費用率期望值為

(18)

根據圖1可知,在時刻gδ,系統中一個部件j的退化量yj(t) ∈[Lp(j), D(j)),另一部件i的退化量yi(t) ∈[Lo(i), Lp(i)),則部件j進行狀態維修,部件i進行機會維修。

在時刻gδ,不考慮其他部件是否進行狀態維修,部件i進行機會維修的概率為

Pi1(g,δ)=Pr(y((g-1)δ(i))

[R(gδ(i),(g-1)δ(i),Lp(i)-y)-R(gδ(i),

(g-1)δ(i),Lo(i)-y)]dy

(19)

(20)

多部件在狀態-機會維修策略下機會維修次數為

在時刻gδ,部件j進行狀態維修的概率為

Pj1(g,δ)=Pr(y((g-1)δ(j))

[R(gδ(j),(g-1)δ(j),Lp(j)-y)-R(gδ(j),

(g-1)δ(j),Lo(j)-y)]dy

(22)

Pj2(g,δ)=Pr(yp((g-1)δ(j))

nδ(j),y]·[R(gδ(j),(g-1)δ(j),nδ(j),Lp(j)-

y)-R(gδ(j),(g-1)δ(j),nδ(j),

Lo(j)-y)]dy

(23)

結合式(19)～式(23)可求得部件i在一個設計壽命周期內發生機會維修次數的期望值為

Pj2(g,δ)]

(24)

3.2 機會閾值的求取

根據圖1可知,對于任一部件i有

針對不同的部件,其機會閾值與狀態閾值的差值差別較大,為便于計算,采用比值的形式表達機會閾值與狀態閾值的關系,即

針對同一系統的多個部件而言,不同部件的退化過程采用不同的狀態退化數據,這些數據一般具有不同的量綱。為了便于現場系統的控制檢測,不同部件退化量需采用同一個度量尺度,以保證其具有相同的靈敏度,因此,本文假設ki=kj=kq=k,則基于k的部件狀態-機會維修決策原理為:

Step1根據第2章維修策略確定單部件的最優檢測周期δ(i)和狀態維修閾值Lp(i),作為初始化參數。

Step2對k進行賦值,0

Step3假設其中一個部件i的退化量yi(t)最先達到其狀態維修閾值Lp(i),此時部件i的運行時間為t(i)。

Step4根據時間t(i),判斷其他部件j的退化量是否在其機會維修區間[kLp(j),Lp(j)],如在該區間,則對部件j實施機會維修,否則僅對部件i實施狀態維修。

Step5確定運行時間t(i)是否超過設計壽命TP,若小于設計壽命TP,則轉入Step2繼續執行程序,直至所有部件的運行時間均達到設計壽命TP。

最后,計算式(18)的費用率值,通過比較不同的k值對費用率的影響,求出最佳的k值,進而求得最優機會閾值,從而確定多部件的狀態-機會維修策略。

本文利用蒙特卡洛算法對多部件狀態-機會維修決策模型進行仿真求解。

4 算例分析

以某線路動車組牽引供電系統3個關鍵部件牽引變壓器、受電弓和牽引電機的現場運行數據為例,進行算例分析,并對3個部件進行編號依次為部件1、部件2、部件3。利用Wiener過程描述3個部件的退化過程,其對應的退化參數見表1[20-22]。三種部件的設計壽命均按照12 a計算[23-24]。在仿真中選取Λ(t)=t。表2為該線路動車組牽引供電系統3個關鍵部件的維修參數,參數含義同式(10)。

表1 動車組牽引供電系統關鍵部件退化參數

表2 動車組牽引供電系統關鍵部件相關參數

根據第2節維修策略和表1、表2的相關參數,利用蒙特卡洛算法可求得每個部件的最優檢測周期和狀態閾值。所有部件的檢測周期取0.1～1,步長取0.05;部件1狀態閾值取0～16,步長取0.5;部件2狀態閾值取0～2.5,步長取0.05;部件3狀態閾值取0～100,步長取5。因為蒙特卡洛算法存在較大的隨機性,為了降低這種隨機性對仿真結果的影響,在仿真過程中設置每個循環的仿真次數為1 000次,并求取平均值。根據式(10),求得單個部件最低費用率模型下的最優檢測周期和狀態閾值,如圖3所示。

圖3 三部件最優費用率求解結果

根據圖3可知,三部件的最優檢測周期均為0.25年,最優狀態閾值分別為10.5、1.57、65,所有部件隨著檢測周期和狀態閾值的增大,其運行費用率均符合先減小后增大的趨勢。原因分析:在檢測周期和狀態閾值取值均較低時,部件存在維修“過?！?造成運行費用增大;如果檢測周期和狀態閾值取值較大,部件存在維修“不足”,致使部件進行修復性維修或故障發生的概率增大,增加運行費用。

表3為該線路動車組牽引供電系統關鍵部件維修費用參數,參數含義同式(15)、式(17)。

表3 動車組牽引供電系統關鍵部件維修費用參數 萬元·次-1

根據表3三部件維修費用參數,按照狀態-機會維修策略原理的步驟,采用蒙特卡洛算法,求解狀態-機會維修策略決策模型。仿真按照1 000次的次數進行,求得機會閾值與狀態閾值之比k與維修費用率的關系,如圖4所示。

圖4 k與維修費用率關系曲線

由圖4可知,在[0,1]區間里,存在唯一的k值,使多部件的維修費用率達到最低。如果k值取值太小,則機會閾值過小,使部件的狀態-機會區域過大,造成部件過度維修,引起維修資源浪費;如果k值取值過大,機會閾值過大,使部件的狀態-機會區域變小,引起動車組頻繁停機,降低可用性,無法體現狀態-機會維修策略的優勢。因此,選取合適的機會閾值與狀態閾值的比值k,對降低部件的運行維修成本具有重要的經濟意義。

表4為同等運行條件下,動車組牽引供電系統3個部件的狀態維修策略(CBM)和狀態-機會維修策略(CBOM)下的維修費用率和維修次數的對比。從表4可以看出,CBOM策略下總的維修次數和CBM下的基本相同,但狀態維修次數有所降低,且CBOM策略下維修費用(5 467元)比CBM下的維修費用(7 127元)降低了23.29%,同時CBOM策略下停機次數比CBM下的減少了12次。

表4 動車組牽引供電系統關鍵部件維修費用率、維修次數及停機次數對比

5 結論

本文提出基于隨機過程的多部件狀態-機會維修優化模型,該模型不僅利用Wiener過程和隨機幾何過程描述了單部件的不完全維修,并確定單部件的最優狀態閾值和檢測周期,而且考慮了處于不同狀態下多部件的維修,引入機會閾值與狀態閾值的比值,建立狀態-機會維修策略模型,并利用蒙特卡洛算法對模型進行求解。同時,利用隨機過程和拓撲的基本理論,分析狀態檢測周期的大小與不同檢測策略之間的關系,從拓撲的角度,證明狀態-機會維修是狀態維修的一種優化策略。算例分析表明,機會閾值的合理取值,能夠避免各個部件的過維修和欠維修,節約了維修成本,減少了停機次數,提高了部件的可用性,對動車組部件的維修工作提供了一定的參考。