超高性能纖維增強混凝土單軸本構關系和鋼纖維增強作用對其影響

鄧金嵐,楊簡*,陳寶春,徐港,李洋

（1.三峽大學 防災減災湖北省重點實驗室，宜昌 443002；2.三峽大學 土木與建筑學院，宜昌 443002；3.福建理工大學 土木工程學院，福州 350118；4.福州大學 土木工程學院，福州 350108）

隨著社會經濟發展，工程結構逐漸向更高、更輕、跨度更大和耐久性更好的方向發展，傳統混凝土材料的力學性能和耐久性很難滿足新的建設需求，超高性能纖維增強混凝土(Ultra-high performance fiber reinforced concrete，UHPFRC)的推廣應用成為必然趨勢。UHPFRC抗壓強度不低于120 MPa，抗拉強度可達10 MPa[1-3]，具有超高強度、高韌性、高耐久性等優勢，在橋梁、建筑、核電、海洋等工程中已得到廣泛應用[4-7]。

近年來，UHPFRC材料的研究熱度不斷攀升，國家級資助的UHPFRC相關項目穩定增長，近五年均在20項以上。知網與“WOS”平臺統計發現，UHPFRC相關的學術論文數量也急劇增加，2022年發文量達到了2007年的9倍以上。

UHPFRC研究主要聚焦在工程應用、材料科學和施工技術3個重點領域，占比所有研究的78%。本構關系是工程應用和材料科學的核心問題之一。學者們圍繞UHPFRC本構關系已開展了大量研究，但研究結果呈現出方法各異、形式多樣、結果各有優劣、適用場景各不相同的特點。

因此，本文系統梳理了國內外UHPFRC軸拉和軸壓本構關系相關研究，按照建立本構方程函數模型的方法對其進行歸納分析，梳理各本構函數模型的推薦函數和適用場景；此外，針對現有本構函數的不足，開展摻入不同長徑比、體積率鋼纖維UHPFRC的軸拉和軸壓試驗，揭示鋼纖維對單軸本構關系的影響，提出包含鋼纖維參數的UHPFRC軸拉和軸壓本構方程，為認識材料特征、非線性結構設計和數值模擬提供本構方程。

1 UHPFRC本構關系研究現狀

UHPFRC單軸本構關系從函數模型提出的方法大致可分為基于本構曲線數值規律的經驗模型和基于力學理論推導的理論模型；理論模型根據所依據的力學原理不同得到的函數差異較大，目前采用最多的為：(1) 基于塑性損傷理論建立的塑性損傷本構模型(損傷模型)；(2) 基于線彈性理論建立的線性簡化模型(簡化模型)。

1.1 UHPFRC本構經驗模型

采用經驗模型的研究較多沿用或借鑒普通混凝土(Normal concrete，NC)/高性能混凝土(High performance concrete，HPC)的函數，針對應力-應變曲線上升段和下降段的數值規律不同，采用在峰值點連續的分段函數[8-9]；常用函數包括多項式、有理分式和指數式[10]等。

1.1.1 軸拉本構經驗模型

軸拉本構經驗模型下降段均采用有理分式，不同學者間主要差異在上升段函數選擇。針對上升段函數，過鎮海等[11]針對NC提出的多項式模型最常被引用。鄭文忠等[12]、安明喆等[13]、楊志慧[14]均采用過鎮海函數模型，通過各自軸拉試驗應力-應變數據擬合建立軸拉本構方程。劉沐宇等[15]、胡翱翔等[16]根據軸拉試驗曲線特征上升段選擇有理分式擬合得到本構方程。

1.1.2 軸壓本構經驗模型

與軸拉本構經驗模型相似，下降段均采用有理分式，不同研究的主要差異在上升段函數選擇。早期軸壓本構研究中，許多學者們認為UHPFRC軸壓曲線與NC特征類似，時金娜等[8]、Zheng等[17]、黃政宇等[18]、高丹盈[19]、尹俊紅等[20]、池寅等[21]沿用過鎮海在NC本構中使用的多項式模型或修正模型，結合自身試驗數據擬合提出了各自的軸壓本構關系方程。

另一些學者認為UHPFRC的軸壓力學性能遠優于NC，不同于NC比例極限為軸壓峰值應力的40%～50%，UHPFRC比例極限一般在峰值應力的70%～95%[10]；且纖維增強作用使其破壞形態表現出延性特征[22-23]；UHPFRC軸壓本構上升段方程宜采用更高階的多項式函數。徐強等[23]、鞠彥忠等[24-25]將上升段改為采用四階多項式；劉沐宇等[15]、安明喆等[26]、Zheng等[27]、Li等[28]則選用五次多項式；鞠彥忠等[7]、金凌志等[22]、沈濤[29]、單波[30]、He等[31]更是采用了六階多項式來擬合UHPFRC軸壓本構上升段方程。

CEB-FIP規范[32]和Carreira等[33]采用有理分式函數描述NC軸壓本構上升段，也被部分UHPFRC研究所借鑒。Wu等[34]、楊劍等[35]采用CEB-FIP的函數形式；Wu等[36]、Wang等[37]對Carreira等[33]模型的上升段進行了修正。

綜合而言，UHPFRC單軸本構經驗模型是基于試驗數據的數值擬合本構方程，具有與樣本試驗曲線吻合良好和函數形式簡單的優點，研究和應用較廣泛，但是缺乏力學基礎，可靠性高度依賴于樣本數量。經驗模型構建的核心在于上升段和下降段函數選擇，軸拉本構兩段均較多采用有理分式；軸壓本構早期研究上升段較多采用多項式，近年來高階多項式和有理分式越來越多，下降段為有理分式。此外，經驗模型的本構方程普遍無法體現纖維的影響。

1.2 UHPFRC本構損傷模型

UHPFRC損傷模型是通過Lemaitre應變等效原理[38]構建損傷因子，確定演化函數，進而建立的。損傷本構模型差異主要體現在損傷因子的構建方法和損傷演化函數的選擇。

1.2.1 軸拉本構損傷模型

Deng等[39]在Sima模型[40]基礎上，考慮卸載和重新加載中的損傷演化規律，提出了UHPFRC循環加載拉伸本構模型。Wang等[41]引入塑性應變來反映不可逆變形，并量化其與卸載應變的線性關系，對Deng等[42]模型中的相關系數進行了修正，將彈性損傷轉換為彈塑性損傷，提出了UHPFRC的彈塑性損傷本構模型。Li等[43]、Yue等[44]、Xu等[45]采用聲發射等手段，從剛度退化、應變能釋放等角度構建損傷因子，分析建立了纖維增強混凝土(Fibre reinforced concrete，FRC)的軸拉損傷本構，對UHPFRC本構具有借鑒意義。

1.2.2 軸壓本構損傷模型

Chi等[46]利用纖維因子，對NC的塑性損傷本構模型進行修正，提出適用于FRC的損傷函數。Krahl等[47]以割線模量定義損傷因子，分析試驗數據發現循環受壓時UHPFRC損傷演化符合指數函數分布。寧喜亮等[48]、王春來等[49]、程臻赟[50]、薛云亮等[51]基于應變等效原理，采用Weibull分布函數作為損傷因子的演化方程，建立了FRC損傷本構模型。徐禮華等[52-53]分析鋼纖維特征參數對FRC循環受壓過程的影響，建立了FRC循環受壓彈塑性損傷本構模型。

綜合而言，UHPFRC損傷模型符合力學原理，適用于材料特征研究；目前損傷本構研究多以FRC為對象，UHPFRC研究較少。UHPFRC損傷本構建立的關鍵在于損傷因子構建和演化函數選擇；基于應變等效原則構建損傷因子時，損傷演化函數多采用Weibull分布。此外，目前鋼纖維對損傷本構影響的研究尚不充分。

1.3 UHPFRC本構簡化模型

許多學者假設軸拉和軸壓本構上升段滿足線彈性建立本構簡化模型，以簡化受力分析和建立數值模型。簡化模型的主要差異在于線型的選擇。

1.3.1 軸拉簡化模型

徐海賓等[54]結合現有研究成果，建議UHPFRC在結構非線性設計時采用上升-平直-下降的三線型軸拉本構簡化模型。Liao等[55]、Isa等[56]、Mobasher等[57]、劉欣益等[58]考慮到UHPFRC具有應變硬化特征，提出彈性上升段、平緩上升段和軟化下降段的三線型簡化模型。趙繼之等[59]也采用了彈性上升段、平緩上升段作為上升段，但下降段采用的指數函數曲線。

UHPFRC軸拉軟化下降段常用應力-裂縫寬度關系描述。張哲等[60]、Fang等[61]基于試驗結果基本沿用了Stang等[62]提出的指數型應力-裂縫寬度經驗模型，對系數進行了修正。

為了使簡化模型軟化段與試驗曲線更加吻合，Kang等[63]、Fujikake等[64]、Shi等[65]選用三線型形式來等效軟化段曲線。但過于復雜的軟化段線型背離了簡化受力分析計算的初衷，本文推薦下降段采用單一線性函數。

1.3.2 軸壓簡化模型

UHPFRC軸壓本構上升段曲線近似線彈性。日本[66]、瑞士[67]等國規范和趙繼之等[59]學者的研究中，軸壓簡化模型均采用雙線型模型。

綜合而言，UHPFRC本構簡化模型的突出優點是便于計算，并且能夠滿足一定的精度要求。本文推薦UHPFRC軸拉本構采用彈性上升段、平緩上升段和軟化下降段的三折線模型；軸壓本構采用雙折線模型；此外建議針對不同應用場景和設計要求選擇不同線型以滿足不同需求。

2 試 驗

2.1 原材料與試驗設計

為探究鋼纖維對UHPFRC本構關系的研究，UHPFRC基體采用統一的原料和配合比，見表1。

原材料如下：水泥采用P·O 42.5級硅酸鹽水泥；硅灰比表面積18 920 m2/kg，SiO2含量97.57%；集料包括粒徑為0.212～0.428 mm、0.428～0.850 mm、0.850～1.700 mm的3種石英砂和粒徑為0.038 mm的石英粉；減水劑采用減水率約為30%的CX-8型高效減水劑。

以鋼纖維的長徑比和體積率為變量開展研究。選用長徑比為43 (直徑0.30 mm、長度13 mm)、65 (直徑0.20 mm、長度13 mm)、100 (直徑0.20 mm、長度20 mm)的3種鍍銅圓直形鋼纖維(分別記作S0313、S0213、S0220)，見圖1，鋼纖維均由統一原絲制備，原絲抗拉強度為2 850 MPa，彈性模量為210 GPa。

圖1 不同長徑比的鋼纖維Fig.1 Steel fibers with different aspect ratios

A組試驗為軸壓試驗，設計3種體積分數：1.0vol%、2.0vol%和3.0vol%，共計9種UHPFRC。A組試件采用“C-纖維代號-纖維體積分數”編號各組試件，“C”表示棱柱體軸壓試驗，例如：“C-S0213-2.0vol%”表示摻入體積分數2vol%的長度為13 mm、直徑為0.2 mm鋼纖維的UHPFRC棱柱體抗壓試件。具體編號見表2。

表2 A組和B組試驗方案Table 2 Test scheme of group A and group B

B組試驗為軸拉試驗，設計6種體積摻量：0.5vol%、1.0vol%、1.5vol%、2.0vol%、2.5vol%和3.0vol%，共計18種UHPFRC。B組試件采用“T-纖維代號-纖維體積分數”編號各組試件，“T”表示軸拉試驗，例如：“T-S0213-2.0vol%”表示摻入體積分數2vol%的長度為13 mm、直徑為0.2 mm鋼纖維的UHPC狗骨軸拉試件。具體編號見表2。

2.2 澆筑與養護機制

參照國家規范GB/T 31387-2015[68]制備UHPFRC，攪拌全過程約需13～15 min。攪拌完成后，采用沿長度方向分批分層澆筑的方式入模，澆筑完成后模外振動密實。在試件上覆蓋塑料薄膜，靜置8～24 h后脫模。脫模后將試件放入蒸養室在90℃蒸汽環境下蒸養72 h。蒸養完成后，自然養護至28天進行抗拉和抗壓試驗。

2.3 試驗方法

2.3.1 軸拉試驗

直拉強度試件形狀、尺寸采用DB13/T 2946-2019[69]規定的試件。每組軸拉試驗澆筑6根狗骨試件。參考文獻[70]的測試方法，測試設備為布置于試件中部四面的應變片和兩側的引伸計。加載采用300 kN的液壓伺服微機控制萬能試驗機(濟南東測試驗機技術有限公司)。加載方式以0.1 mm/min的加載速度進行加載，直到試件的長度變化為鋼纖維長度的60%時結束試驗。試驗以主裂紋位于100 mm測距內，且彈性段位移計和應變片的數據差異小于15%，作為試驗成功的判斷標準。具體的軸拉試驗裝置圖可見圖2(a)。

圖2 試驗裝置示意圖Fig.2 Diagram of test device

2.3.2 軸壓試驗

每組UHPFRC澆筑3個尺寸為100 mm×100 mm×300 mm的棱柱體試件，進行軸壓試驗。參照國家標準GB/T 31387-2015[68]進行抗壓性能檢測，加載方式為力和位移混合加載，先以0.25 kN/s的速度連續加載至30 kN；然后以0.1 mm/min的加載速度連續加載至試件發生破壞。具體軸拉試驗裝置見圖2(b)。

2.4 試驗結果

試驗得到各組UHPFRC軸拉應力-應變曲線見圖3；受壓力機剛度限制，軸壓試驗中僅測試到軸壓應力-應變曲線的上升段，見圖4。

圖3 UHPFRC軸拉應力-應變曲線Fig.3 Uniaxial tensile stress-strain curves of UHPFRC

圖4 UHPFRC軸壓應力-應變曲線Fig.4 Uniaxial compressive stress-strain curves of UHPFRC

3 UHPFRC本構關系

3.1 UHPFRC本構關系經驗模型

3.1.1 軸拉本構經驗模型

由1.1節可知，現有經驗模型中，軸拉本構方程上升段函數形式不一。上升段需滿足邊界條件：(a)x=ε/εp=0時，y=σ(ε)/σp=0，dy/dx=E0/Ec，E0為初始彈模，Ec為割線模量；(b)x=1時，y=1，dy/dx=0；(c) 0 ＜x＜ 1時，dy/dx＜0，d2y/dx2＜0。

由文獻[19]可知1.1.1節中多項式形式的軸拉本構模型中A應該滿足1.5＜A＜3；有理分式形式的軸拉本構模型由邊界條件(a)可得：dy/dx=E0/Ec=A＞1。通過對試驗數據擬合分析，發現較多曲線擬合出的A值超出多項式模型中的A取值范圍，因此，本文選擇與文獻[15-16]中相同的有理分式的形式，見下式：

式中：x=ε/εp；y=σ(ε)/σp；σp和εp分別為峰值應力、峰值應變；m1、n1為待定系數。

模型的上升段曲線由待定系數A確定，下降段由待定系數m1、n1確定；為了分析適用于不同基體的待定系數的推薦值，收集UHPFRC相關文獻[13-14,47,71-82]中的軸拉數據，通過擬合發現A值在1.5～6.5之間可包含大部分曲線上升段，見圖5。

圖5 UHPFRC軸拉本構曲線[13-14,47,71-82]Fig.5 Uniaxial tension constitutive curves of UHPFRC[13-14,47,71-82]

以試驗和文獻收集的共35組數據為樣本，剔除大誤差點，統計得到A的平均值為3.4，并將其作為A的推薦值。下降段以18組試驗和文獻數據作為樣本，同樣通過統計分析推薦m1、n1分別為0.49和2.0。綜合得經驗模型本構式如下式：

3.1.2 軸壓本構經驗模型

軸壓經驗模型的函數模型差異也主要出現在上升段。通過文獻[19,22,24,26-27,34]收集了不同經驗模型中上升段A值的取值范圍，見表3。

表3 A值(A=E0/Ec)的取值范圍Table 3 Value range of A (A=E0/Ec)

將試驗數據為樣本根據1.1.2節中各經驗模型進行擬合，發現得到的A值均滿足系數范圍；進一步對比各經驗模型吻合度，見圖6。

圖6 經驗模型的判定系數R2Fig.6 Determination coefficient R2 of empirical model

判定系數R2是評價擬合結果與試驗結果吻合度的統計指標，相關系數值越大則吻合越好。圖6對比發現針對不同試驗結果，采用有理分式擬合時，相關系數值最大，表明采用有理分式與試驗結果更吻合。為此，本文與文獻[34-35]相同選擇有理分式作為本構關系函數式，見下式：

可見，上升段僅與系數A相關。以試驗和參考文獻[26,35,37,50,83-88]中的19組數據為樣本，對A值進行擬合，剔除大誤差點，統計分析所有樣本值，得到A的均值為1.17，以其為推薦值。以收集文獻中的11組本構下降段曲線為樣本，采用相同方法確定m2推薦值為10.0。綜上所述，可得數值本構關系式如下式：

3.2 UHPFRC損傷本構函數模型

根據第1.2節的分析，本文選用Weibull分布作為損傷演化函數，如下式：

根據Lemaiture的應變等價性假說[38]，可以得到應力-應變關系式，如下式：

式中，a和η是分布函數控制系數。

3.2.1 軸拉損傷本構

軸拉本構方程邊界條件包括：(a) 當拉應變εt=0時，拉應力σt=0和dσt/dεt=E0；(b) 對應于應力峰值點的應變當εt=εtp時，有σt=σtp和dσt/dεt=0(其中εtp為峰值拉應變，σtp為峰值拉應力)；(c) 應變為初裂應變εtk時，應力為初裂強度σtk，即εt=εtk時，σt=σtk；兩個控制系數μ和η可以由邊界條件(a)、(b)和(c)確定。對式(6)進行無量綱化，令y=σt(εt)/σtp，x=εt/εtp，同時引入邊界條件，得本構函數式，見下式：

由式(7)可知，系數η值可以通過峰值點應力、應變值和彈性模量進行估算。如圖7所示，η值隨纖維增強因子K(K=Vf(lf/df)，Vf為纖維含量，lf和df分別為鋼纖維長度和直徑)值的增加而降低，以2.4節試驗數據為樣本，數值回歸分析得η值的估算式如下式：

圖7 UHPFRC軸拉本構方程控制系數η與纖維增強因子K關系Fig.7 Relationship between control coefficient η of uniaxial tension constitutive equation and fiber reinforcement factor K of UHPFRC

為驗證不同基體時式(8)估算的系數η值是否有效，共收集了12篇文獻[13-14,71-80]中的33組UHPFRC軸拉試驗數據。圖7對比結果表明，不同基體條件時，數據點多位于±15%誤差限內，可見式(8)依舊具有較好精度。

為考慮不同基體差異對模型的影響，使在不同基體條件時估算結果更加準確，通過文獻收集了不同基體UHPFRC的相關試驗數據，以擴展樣本庫數據，以文獻和試驗的全部數據為樣本，重新回歸分析得下式：

對比式(9)計算曲線與試驗曲線，見圖8，擬合曲線與實測試驗曲線吻合良好。

圖8 UHPFRC抗拉本構模型與試驗數據對比Fig.8 Comparison between tensile constitutive model and test data of UHPFRC

3.2.2 軸壓損傷本構

與軸拉曲線相同，軸壓曲線滿足相同的邊界條件，同理可得下式。

由式(10)可知，系數η值可以通過峰值點應力、應變值和彈性模量進行估算。如圖9所示，η值隨纖維增強因子K值的增加而降低，且下降趨勢為開口向上的二次拋物線。以2.4節試驗數據為樣本，數值回歸分析得η值的估算式如下式：

圖9 UHPFRC軸壓本構方程控制系數與纖維增強因子關系[26,35,50,84-95]Fig.9 Relationship between control coefficient of uniaxial compression constitutive equation and fiber reinforcement factor of UHPFRC[26,35,50,84-95]

為驗證不同基體時式(11)估算的系數η值是否有效，收集15篇文獻[26,35,50,84-95]中的23組UHPFRC軸壓試驗數據。

圖9對比結果表明，不同基體條件時，數據點基本位于±15%誤差限內，式(11)依舊具有較好精度。

為考慮不同基體差異對模型的影響，使在不同基體條件時估算結果更加準確，通過文獻收集了不同基體UHPFRC的相關試驗結果，以擴展試驗樣本庫數據，以文獻和試驗的全部數據為樣本重新分析得下式：

對比式(12)計算曲線與試驗曲線見圖10，擬合曲線與實測上升段曲線吻合良好。

圖10 UHPFRC抗壓本構模型與試驗數據對比Fig.10 Comparison between compressive constitutive model and test data of UHPFRC

3.3 UHPFRC簡化本構關系

3.3.1 軸拉簡化本構

根據1.3.1節的梳理，應變硬化型UHPFRC的軸拉本構簡化模型采用三折線模型。軟化型UHPFRC的本構曲線可視作在峰值點無限接近初裂點時的特例。彈性段和硬化段曲線明確，僅需要分析軟化段系數b，見下式：

此處ytk=εtk/εtp，xtk=σtk/σtp，εtk、σtk分別為初裂應變和應力；b為待定系數。以試驗和文獻[13-14,71-80]的12組下降段曲線為樣本，對每一根下降段曲線進行回歸得到b，而后剔除大誤差點，統計分析b均值為12.4，作為推薦值。

3.3.2 軸壓簡化本構

UHPFRC軸壓本構曲線僅有一個峰值點的特征點，如第1.3.2節的梳理其簡化本構曲線通常為雙折線模型。通過對文獻[26,35,50,84-85,88-92]收集的全部10組下降段曲線，進行如3.3.1節的統計分析，得最大應變推薦為峰值壓應變的2.7倍，簡化本構函數如下式：

4 結 論

(1) 超高性能纖維增強混凝土(UHPFRC)本構經驗模型函數形式簡單，較易于計算，適用于設計計算，但缺乏力學原理支撐，可靠性高度依賴于樣本數量。其構建的關鍵在于上升段和下降段函數形式選擇，軸拉兩段均較多采用有理分式；軸壓上升段早期較多采用多項式，近年來采用有理分式的逐漸增多，下降段為有理分式。通過試驗數據的對比分析，認為軸拉、軸壓本構方程都采用有理分式更優，然后綜合試驗與文獻數據建立了單軸本構關系經驗模型方程式。

(2) UHPFRC本構損傷模型符合損傷原理，更吻合試驗應力-應變曲線特征，適用于認識材料特征。其構建關鍵在于損傷因子構建和損傷演化函數確定，以真實應力構建損傷因子，假定符合Weibull分布，可得到較吻合的本構方程式。

(3) 試驗數據分析鋼纖維參數對UHPFRC單軸本構損傷模型的影響，發現損傷模型控制系數與纖維增強因子K呈現顯著相關性，綜合試驗與文獻數據建立了考慮纖維參數影響的UHPFRC本構損傷模型方程式。

(4) UHPFRC本構簡化模型，易于計算和簡化分析，適用于簡化計算與數值模擬。其構建核心在于線型選擇，軸拉本構簡化模型多采用三折線模型以充分體現其假性應變硬化特征，軸壓本構多采用雙折線模型以簡化計算。