山東省寧陽縣復圣中學 (271400) 張志剛
解題教學在高中數學教學中具有不可替代的作用.對于典型問題,教師要引導學生挖掘本質,捕捉信息,抓住關鍵,尋求聯系,觸發靈感,構建方案.讓學生在感知確認、抽象概括、合情推理、操作運算等思維活動中,全方位、多角度、多層次地思考問題,逐步學會有邏輯地思考數學問題.同時,教師追根溯源可以洞悉命題意圖,橫跨縱聯利于培養學生的發散思維.
本題是2023年中國科學技術大學創新班初試第4題,為函數與數列的綜合問題.試題結構精煉,情境新穎,突出對數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養的考查,呈現出更強的綜合性與選拔性,具有較高的研究價值.
第(1)問本小問要求證明不等式恒成立,可考慮構造函數,通過導數討論其單調性證明.
首先證明:當x>0時,sinx 設f(x)=sinx-x(x>0),f′(x)=cosx-1≤0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減,所以當x>0時,f(x) 第(2)問本小問是數列不等式的證明問題,綜合性較強.解答時應注重借助第(1)問的結論,結合數學歸納法與放縮進行證明. 本題第(1)問不等式的高等數學背景是正弦函數的泰勒(Taylor)展開式. 圖1 諸多高考題和模擬題以泰勒公式為科學背景;或是直接應用泰勒公式,或是研究泰勒公式,考查數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養.下面列舉兩例,體會泰勒公式在比較大小、不等式恒成立等問題中的功用. A.a3 命制背景