膨脹管實體膨脹錐受力分析與膨脹試驗驗證

郭慧娟，王鑫，趙運才

(1.中國石油集團工程技術研究院有限公司，北京 102200；2.江西理工大學機電工程學院，江西贛州 341000)

膨脹管(SET)技術通過膨脹管和膨脹錐組合，將膨脹管和錐體下到井內特殊地質層，以機械、液壓或兩者結合的方式驅動膨脹錐擠壓膨脹管，使膨脹管內徑擴大，實現有效封堵復雜地層、修復損壞套管及重復壓裂等目的[1]。膨脹管的膨脹過程是從彈性狀態到彈塑性狀態最終達到完全塑性狀態的過程，要求膨脹管具備較好的抗拉性、塑性、抗斷裂性、延展性[2]。

膨脹錐作為膨脹管技術中的一個重要工具，在工作時受到極大的接觸壓力和摩擦力，因此要考慮膨脹錐的錐體結構、選材和潤滑問題，要求其具有足夠的強度、剛度、耐沖擊性、耐磨損及耐腐蝕性等。目前改善膨脹錐耐磨性能的措施包括采用基材強化、優化膨脹錐結構、添加潤滑脂、表面涂層、選用耐磨硬質材料，以實現最大程度減小錐體表面磨損，提高使用壽命，滿足超長段膨脹要求。張仁勇等[3]選用模具鋼Cr12MoV為基材，對其進行 1 020 ℃淬火+160 ℃低溫回火處理，設計加工出小錐角(6°)的膨脹錐，采用自上而下的膨脹工藝對J55套管和316L不銹鋼管進行徑向膨脹試驗。結果表明：經過回火處理后的 Cr12MoV膨脹錐滿足工作要求，并順利完成對J55套管和316L不銹鋼管的徑向膨脹。郭慧娟等[4]通過對不銹鋼膨脹管進行不同錐角下的膨脹過程數值模擬，研究了錐角與膨脹壓力、壓力波動、膨脹后半徑及軸向縮短量的關系。結果表明：隨著錐角的增大，膨脹壓力和啟動壓力都逐漸增大，軸向縮短量隨著錐角的增大而減小，綜合膨脹壓力、膨脹后半徑及壓力波動，比較理想的膨脹錐錐角為15°～17°以及22°。任勇強等[5]采用等離子原位冶金技術，在膨脹錐用20CrMnTi低合金鋼基體表面制備了Cr-Mn-Fe強化耐磨涂層，通過磨損試驗機進行了磨損試驗和硬度表征。結果表明，強化層的硬度高于20CrMnTi鋼基體，強化層的相對耐磨性高出基材20CrMnTi鋼10倍以上。魏松波等[6]采用超音速火焰噴涂技術在合金鋼膨脹錐表面制備了碳化物硬質涂層，并進行摩擦磨損實驗，結果表明，涂層使膨脹錐硬度提高了近60%，并顯著降低了膨脹錐和膨脹管間的摩擦阻力，減輕了磨損，延長了膨脹錐的使用壽命。

目前，研究人員已廣泛開展了基于彈塑性理論的膨脹力計算和利用有限元法的膨脹過程中膨脹力影響因素的研究。龔龍祥等[7]采用彈塑性理論，推導出膨脹管在彈性變形區和塑性變形區的周向應力和徑向應力的數值計算模型，確定了膨脹管膨脹時在膨脹錐與膨脹管之間所需的最小接觸載荷。張艷軍和雷美榮[8-9]采用彈性理論分析的方法和主應力法對膨脹管進行力學分析，得到了膨脹管膨脹力理論計算模型。于洋等人[10]利用有限元數值模擬研究實體膨脹管的膨脹特性，探究了膨脹率、屈服強度、摩擦因數和膨脹錐錐角對膨脹力的影響規律。劉鵬等人[11]通過ANSYS軟件對膨脹過程進行有限元分析，得到膨脹管的應力分布、膨脹力值、殘余應力、軸向收縮量以及壁厚變化情況。然而，目前探究膨脹過程中膨脹錐體表面受力模型和應力分布的研究開展較少。因此，本文作者應用彈塑性理論推導了膨脹錐膨脹過程中的受力模型并采用ANSYS Workbench軟件模擬了膨脹過程，研究膨脹錐表面應力、接觸摩擦應力和膨脹推力變化情況，最后結合膨脹試驗對有限元模擬結果進行了驗證。研究結果可為膨脹錐設計、選材和膨脹管技術改進提供指導。

1 膨脹錐與膨脹管相互作用彈塑性力學行為理論分析

1.1 膨脹錐受力分析

膨脹錐分為定徑膨脹錐和可變徑膨脹錐，文中選擇定徑膨脹錐進行分析。膨脹錐在液壓驅動下擠壓膨脹管實現膨脹，膨脹錐受到液壓推力、接觸壓力、滑動摩擦力[12-13]，圖1所示為膨脹錐受力示意圖。L1區域是導向區，用于引導膨脹錐前進和潤滑液導出；L2是膨脹區，用于擠壓膨脹管；L3是定徑區，用于阻止膨脹管過大的回彈變形，保持最大膨脹半徑。在膨脹過程中，由于速度較慢，且波動較小，近似為勻速直線運動受力平衡，因此在膨脹錐軸向方向上，由力的平衡關系可得：

圖1 膨脹錐受力示意Fig.1 Schematic of force on expansion cone

dF=df·cosα+dNz

(1)

dNz=dN·sinα

(2)

由滑動摩擦力公式：

df=μ·dN

(3)

由式(1)、(2)、(3)可得：

(4)

df1=μ·dN1

(5)

式中：dF為該微單元受到的液壓推力，N；dN為膨脹管反作用于微單元的接觸壓力，N；dN1為膨脹管反彈力，N；df為膨脹區微單元受到的滑動摩擦力，N；df1為定徑區微單元受到的滑動摩擦力，N；α為膨脹錐錐角，(°)；μ為摩擦因數。

膨脹管對膨脹錐的反作用力主要是垂直于膨脹區表面的dN和垂直于定徑區表面的dN1。dN沿r方向的分力dNr是膨脹管某個橫截面達到塑性狀態所需的最小力；dN沿z方向的分力dNz是膨脹管對膨脹錐的阻滯力。dN1為膨脹管介于不完全塑性變形向彈性變形轉變的回彈壓力。

1.2 膨脹管彈塑性力學分析

在膨脹過程中，隨著膨脹錐通過，膨脹管先進入彈性形變，然后是彈塑性變形最后是塑性流動狀態[14]。在該過程中涉及幾何、材料和接觸非線性[15]，因此膨脹錐受到膨脹管的反作用力是不連續變化量，難以用具體解析式表達。在膨脹管上取一厚度為dz的微單元進行彈塑性力學分析，微單元受力示意圖如圖2(a)所示。

由于膨脹錐的硬度遠大于膨脹管，在分析過程中，假定膨脹錐的屈服強度遠大于膨脹管的屈服強度，即膨脹錐的變形不予考慮，兩者間的接觸方式視為面-面接觸。同時假定膨脹管：(1)材質具有各向同性，材料為理想彈塑性體；(2)是理想的同心圓管，壁厚均勻和橫截面滾圓；(3)在每一個橫截面周向方向內，應力分布均勻[16]。

由圖2(a)可知，膨脹錐與膨脹管接觸正壓力為p，作用于膨脹管內壁?？蓪B 邊受壓力p作用的四邊形ABCD等效為AE邊承受均布壓力p作用的四邊形AECF。

由于膨脹管滿足理想同心圓管、壁厚均勻和橫截面滾圓，且應力分布均勻，因此取高為dz的膨脹管段，在其任一橫截面內，可視為軸對稱平面應力問題。膨脹管橫截面力學示意圖如圖2(b)所示，可知應力對稱分布。在膨脹過程中，膨脹管單元體的位移、應力是徑向坐標r與軸向坐標z的函數，與角坐標θ無關[17]，在膨脹錐的作用下，只產生沿半徑r方向的膨脹。由于膨脹管是軸對稱性彈塑性材料，在橫截面上，設半徑a處為彈塑性交界，可知a

在塑性區域內，各應力分量為

(6)

(7)

在彈性區內，由拉梅公式[19]，各應力分量為

(8)

(9)

由Mises屈服條件可得等效應力滿足：

(10)

任取膨脹管一圓環面，設其半徑為r(r1≤r≤r2)， 對于平面軸對稱問題，平衡方程為

(11)

由式(10)、(11)可得：

(12)

式中：σr為徑向壓應力；σθ為周向拉應力；σs為屈服極限。

邊界條件滿足：

σ(r=r1)=-p

(13)

σ(r=r2)=0

(14)

將邊界條件式(13)代入式(12)，可得：

(15)

將式(15)代入式(12)可得：

(16)

將式(14)代入式(16)，可得：

(17)

在膨脹管周向上，要使某個膨脹管橫截面全部進入塑性狀態，即a=r2塑性區擴展到外壁，需在膨脹管內壁施加不小于p的壓力，因此p是膨脹錐使膨脹管某個橫截面全部達到塑性狀態所要施加的最小壓力，主要受材料屈服強度的影響。由牛頓第三定律可知，當膨脹管某個橫截面剛達到塑性變形時，膨脹錐表面受到膨脹管的壓力為-p。

對于膨脹錐，膨脹管反作用于膨脹錐表面的壓力-p，其方向與dNr相同。由壓力的計算公式可得：

dNr=pdS

(18)

(19)

由式(17)、(18)、(19)可得：

(20)

式中：R1為膨脹錐小徑，mm；R2為膨脹錐大徑，mm。

由三角函數定義：

(21)

(22)

由式(20)、(21)、(22)可得：

(23)

(24)

將式(24)代入式(3)，可得：

(25)

在定徑區，假設膨脹錐受到膨脹管的反作用壓力也是-p。同理可得：

dN1=p·dS1

(26)

S1=2πR2L3

(27)

由式(17)、(26)、(27)可得：

(28)

同理可得，滑動摩擦力f1為

(29)

因此影響膨脹錐接觸壓力和摩擦力的主要因素是膨脹管屈服強度和膨脹錐錐角。

2 膨脹錐受力有限元分析

在膨脹過程中，膨脹管與膨脹錐不斷產生新的接觸面，難以用解析法表達膨脹管變形時的每一個狀態量，但基于非線性連續介質的有限元分析模擬方法，能為解決塑性大變形等非線性問題提供可視化解析，對膨脹管技術這類問題的模擬提供極大方便[20]。

2.1 模型建立

膨脹錐與膨脹管接觸屬于面-面接觸大變形問題，在膨脹過程中存在摩擦和生熱。文中利用ANSYS Workbench進行仿真模擬，選擇靜力分析解法求解膨脹錐表面應力分布情況，包括等效von Mises應力、摩擦應力和膨脹力。

膨脹錐選用冷作模具鋼Cr12MoV，該材料具有較高的硬度和耐磨性，符合膨脹錐選材；膨脹管選用不銹鋼，將其視為理想彈塑性模型，不考慮材料的強化性質，忽略屈服上極限影響[21]，即膨脹管在膨脹錐的擠壓下，先進入線彈性階段，然后是塑性流動狀態。2種材料主要力學性能參數如表1所示。膨脹管雙線性等向強化模型曲線如圖3所示。

表1 材料性能參數

圖3 雙線性等向強化曲線Fig.3 Bilinear isotropic strengthening curve

采用三維建模軟件SolidWorks對膨脹錐和膨脹管進行建模，對膨脹錐小徑和大徑處進行倒圓角處理，減小應力集中效應。文中對建模尺寸進行了等比例縮小，以有效減少網格單元，提高計算效率。建模參數如表2所示。

表2 建模尺寸參數

在接觸設置時，因膨脹錐硬度遠大于膨脹管，選定膨脹錐膨脹區和定徑區外表面為目標面，膨脹管內壁為接觸面，接觸方式為面-面接觸，目標面和接觸面均為柔性體[22-23]，設為摩擦接觸類型，摩擦因數為0.1，計算方程為純罰函數。接觸對選擇如圖4(a)、4(b)所示。

2.2 網格劃分

在分析過程中，計算結果的精度和收斂性取決于建模的合理性和網格劃分的質量。由于膨脹錐的整體尺寸相對于膨脹管來說較小，所以對膨脹錐網格進行細化，這樣避免模型整體采用較小的網格尺寸導致劃分的單元數過多從而使計算時間太長或者不收斂。文中利用ANSYS Workbench Mesh進行網格劃分，其中，膨脹錐采用四面體單元，網格尺寸為2 mm，膨脹管采用自由劃分，網格尺寸設為5 mm，網格物理選項設為非線性結構。劃分網格后的膨脹錐有限元模型如圖4(c)所示。

2.3 邊界條件

在ANSYS Workbench中，載荷和約束是模型求解的邊界條件。對膨脹管的下端圓環面設為Y方向無位移約束，上端自由。對膨脹錐底面設為Y正向移動120 mm，其他方向自由度為0。邊界條件設置如圖4(d)所示。

圖4 模型前處理Fig.4 Model preprocessing：(a)target face；(b)contact face； (c)finite element mesh model；(d)boundary condition

2.4 有限元計算結果與分析

為便于計算，做如下簡化假設：(1)膨脹錐的運動，屬于緩慢勻速直線運動，即視為受力平衡；(2)摩擦因數恒定；(3)因膨脹速度緩慢忽略摩擦生熱；(4)在計算過程中無潤滑條件，視膨脹錐與膨脹管之間為干摩擦；(5)膨脹管材料沿各個方向力學性能相同；(6)膨脹管為理想彈塑性材料。

為了降低計算量，調整接觸法向剛度因子為0.1，設置初始接觸與滲透條件以及載荷子步選項控制，打開大變形，最后進行求解。

2.4.1 應力分析

以膨脹錐接觸面為研究對象，得到最終載荷子步下的等效von Mises應力、摩擦應力結果，如圖5所示。由圖 5(a)可知，膨脹錐在膨脹過程中受到極大的界面應力，最大等效應力集中在大徑處，原因是該區域受到接觸力、摩擦力以及膨脹管彈性和擠壓等多重作用，同時該區域是最大膨脹半徑，對膨脹管擠壓程度最強烈，最大等效應力712.78 MPa。

由圖5(b)中的摩擦應力云圖可知，膨脹錐與膨脹管接觸面上最大摩擦應力集中在膨脹錐小徑和大徑處，最大摩擦應力達到32.463 MPa。原因是膨脹錐小徑處最先與膨脹管接觸，受到膨脹管彈性擠壓導致該處的摩擦應力較大，而在大徑處對膨脹管的擠壓程度最強烈，且有接觸應力集中，因此該處摩擦應力最大。由圖5(b)中的最大摩擦應力隨時間變化曲線可知，最大摩擦應力呈先增大再減小最后趨于相對穩定的變化趨勢。在時間為0時最大摩擦應力為47 MPa，其原因歸結于建模時設置了過盈，因此模擬開始時存在一定的摩擦應力；在0.1 s時最大摩擦應力達到峰值55 MPa，是由于膨脹管剛被膨脹時任何一段都處于彈性狀態，且在0.1 s之前是靜摩擦狀態，因此該處是最大靜摩擦力。當膨脹錐逐漸進入后，由于先被膨脹的膨脹管開始進入塑性變形狀態，內徑也開始變大，因此對膨脹錐作用力逐漸減弱；當膨脹錐完全進入膨脹管后，膨脹達到相對穩定狀態，因此摩擦應力趨于相對平穩狀態，但存在一定的波動，原因是在膨脹管膨脹方向上，膨脹管每一段依次進入彈塑性變形到塑性流動狀態，由于經歷的狀態不同，因此摩擦應力出現波動。

圖5 有限元計算結果Fig.5 Finite element calculation results：(a) maximum equivalent stress；(b) maximum friction stress

2.4.2 接觸分析

有限元模擬結果與膨脹試驗在不同時間段的接觸狀態如圖6(a)所示[24]?？芍?，隨著膨脹錐進入膨脹管，膨脹管端口呈現“喇叭狀”，當膨脹管前端口通過膨脹錐大徑后，兩者之間并沒完全接觸，主要與膨脹區接觸，其他區域存在較小的間隙。其主要原因是膨脹管彎曲強度較大，同時設置了膨脹管為理想彈塑性模型，因此被膨脹后的狀態會一直保持。

圖6(b)所示為最終載荷子步狀態?？梢缘贸?，在膨脹過程中，膨脹錐膨脹區與膨脹管并沒完全貼合，對于膨脹錐而言，小徑處受拉應力，大徑處受壓應力，最大壓應力為397.35 MPa，集中在大徑上。

圖6 膨脹管與膨脹錐接觸狀態Fig.6 Contact state between expansion tube and expansion cone：(a) state in different time periods；(b) state of final load sub-step

2.4.3 膨脹力分析

在膨脹管技術中，膨脹力是評價膨脹管技術的關鍵參數，其大小直接影響著膨脹成形和施工過程的難易程度，同時對膨脹錐的壽命、密封系統的完整性都有影響。由于膨脹力顯著影響膨脹變形過程，因此在滿足膨脹管塑性成形的前提下，較小的膨脹力不僅可以使膨脹過程順利、減小施工難度，還可以保持膨脹管密封完整性，避免過大的膨脹推力導致管壁或密封環破裂失效甚至導致膨脹錐磨損過快。由于假定了膨脹過程屬于緩慢勻速直線運動，軸向受力平衡，因此提取膨脹錐底部在軸向方向的推力即為膨脹力。圖7所示為錐底推力隨時間變化曲線?？芍?，在膨脹過程中，膨脹力先迅速增大，最大膨脹力為118 kN，之后在108～118 kN 之間出現小幅度波動。

圖7 錐底推力隨時間變化曲線Fig.7 Change curve of cone bottom thrust with time

3 試驗驗證

3.1 膨脹試驗

選用20G材質的碳素結構鋼膨脹管，尺寸為φ89 mm×7 mm，膨脹錐(錐角12°)選用Cr12MoV模具鋼，最大直徑為85 mm，如圖8(a)所示。將發射腔、膨脹錐、膨脹管、連接桿、高壓管線、壓力表等連接，連接鋁絲堵，完成膨脹系統組裝[25-26]，如圖8(b)所示。

圖8 膨脹錐和膨脹系統組成Fig.8 Expansion cone(a) and expansion system composition(b)

膨脹試驗得到的膨脹壓力隨時間變化曲線如圖9所示?？芍诖驂号蛎涍^程中，膨脹壓力先升高再相對穩定最后驟降為0。膨脹壓力在33.6～43.2 MPa之間波動，最大膨脹壓力為43.2 MPa。當膨脹錐脫離膨脹管后，膨脹壓力迅速減小為0。

圖9 試驗得到的膨脹壓力隨時間變化曲線Fig.9 The change curve of expansion pressure with time obtained from the experiment

3.2 有限元模擬結果與試驗對比

有限元計算與膨脹試驗對比結果如表3所示?？芍?，有限元模擬結果值大于試驗值，平均誤差8%。其主要原因是有限元模擬中設置的膨脹管屈服強度為345 MPa，而試驗采用是20G結構鋼膨脹管，屈服強度只有230～250 MPa，因此會造成有限元模擬值大于試驗值。同時在限元模擬中膨脹壓力波動幅度較小，只有3.69 MPa，而試驗得到的壓力波動幅度達到9.6 MPa。主要原因為有限元模擬時膨脹管屬于理想彈塑性材料，而試驗中膨脹管要經歷彈性形變到彈塑性狀態和塑性流動狀態，另外還受試驗設備和方法的影響，因此試驗值波動幅度更大。

有限元計算與膨脹試驗結果的誤差符合工程誤差范圍，證明了該有限元模擬的合理性。

4 結論

(1)由彈塑性理論得出的膨脹錐受力模型表明，影響膨脹錐接觸壓力和摩擦力的主要因素是膨脹管屈服強度和膨脹錐錐角。

(2)錐角12°的膨脹錐對不銹鋼膨脹管的膨脹模擬結果表明，膨脹錐的最大等效應力集中在大徑圓角處，達到712.78 MPa，最大摩擦應力集中在膨脹錐小徑和大徑處，達到32.463 MPa。

(3)膨脹錐膨脹區只有部分與膨脹管內壁接觸，對于膨脹錐而言，小徑處受拉應力，大徑處受壓應力，最大接觸壓應力為395.35 MPa，集中在大徑處。