基于機器學習建模的液體火箭發動機噴管內型面優化設計

李晨沛，周晨初，高玉閃，胡海峰

(西安航天動力研究所，陜西 西安 710100)

0 引言

噴管是液體火箭發動機產生推力的重要部件。推進劑燃燒所產生的高溫高壓燃氣在噴管中迅速膨脹，經由噴管出口排出，產生發動機所需推力。噴管型面的結構將直接影響燃燒所產生的燃氣在噴管中的流動情況，進而對發動機的性能產生影響[1-2]。根據液體火箭發動機噴管的結構特點，可將噴管分為收縮段和擴張段兩個部分，氣流在噴管擴張段處于超聲速流動，所以一般情況下，擴張段對噴管的性能和尺寸影響最大，如果擴張段型面設計得不合理，噴管效率就會受到明顯的影響。

通常設計噴管型面是基于一維分析理論進行型面優化，并利用二維或三維CFD流場分析的方法來進行修正。馬國寶等[3]利用一維等熵流的氣動力公式、二次拋物線型面的幾何關系等，優化得到了比沖最優的液體火箭發動機型面結構。方杰等[4]根據發動機計算公式，利用單級優化算法實現了某型發動機噴管的多學科設計優化。上述方法可有效實現發動機內型面設計，但一維方法不能實現對噴管性能的準確評估。

雷靜等[5]指出多學科設計優化技術可較好地平衡計算精度與成本，在設計域內，采用高精度分析并行計算大量樣本數據，利用這些數據構建代理模型，通過代理模型對噴管性能進行優化。代理模型是一種用于建立輸入和輸出之間關系的模型，可基于各種數據和算法，如機器學習技術，構造一個計算規模小、求解時間短，且計算精度與復雜物理場仿真模型一致的數學模型。利用這一技術眾多學者考慮將CFD仿真與噴管優化設計相結合，基于CFD仿真平臺獲得大量仿真樣本點數據，基于機器學習的方式從數據中發現規律，擬合出反映噴管規律的代理模型，并尋優得到優化后的型面結構[5-9]。為進一步提高樣本點計算效率，周正[10]、苗萌等[11]、高太元等[12]在優化吸氣式沖壓發動機后體尾噴管結構時提出自動生成計算網格，極大程度地提高了計算效率。

目前針對液體火箭發動機噴管內型面優化設計的研究較少，本文采用B樣條曲線對拋物面型線進行參數化，基于一體化優化設計平臺，批量計算樣本點CFD流場數據，通過機器學習，構建噴管內型面結構參數與發動機比沖之間的代理模型，以比沖為優化變量對噴管性能進行評估。利用網格變形技術提高計算效率，基于流程算法在設計平臺上自動尋優，獲得最佳的噴管內型面結構。

1 噴管內型面優化設計流程

本文基于代理模型代替CFD計算，采用全局優化算法完成噴管內型面的優化設計，具體流程如圖 1所示。該流程圖主要包括兩個部分，分別是初始樣本的生成及優化迭代更新。

如圖1所示流程圖的第一部分中，首先針對噴管內型面優化問題選取設計變量，并確定各個設置變量的取值范圍。在已知室壓、喉部直徑、燃氣物性、噴管長度等條件的前提下，對噴管的比沖進行優化，選取噴管內型面幾個控制點作為設計參數，由三次B樣條曲線生成噴管的內型面結構。設計變量的范圍可以設置為初始設計點±10%～20%。其次，在完成設計變量的選取后，需要進行試驗設計。試驗設計需要確定樣本點的個數及樣本點在取樣空間內的分布，本文采用拉丁超立方方法，在設計空間內生成了200個樣本點數據。接著，在完成試驗設計后，針對每個樣本點的幾何相關參數建立噴管的幾何模型和計算網格。在生成新的噴管幾何外形后，建立計算網格，即初始網格，如圖 2所示。當樣本點數目較多時，通常采用動網格技術生成各個樣本點的網格，由此避免手動生成網格時導致的網格質量和數目的不可控。根據初始網格結構，利用徑向基函數插值算法，在不改變網格原拓撲關系的基礎上，根據變形的物面(面網格)重新生成新的計算網格，如圖 3所示。之后，針對各個樣本點的幾何和網格，將開展CFD計算提取比沖和流場信息，由此構成初始樣本庫。

圖1 基于代理模型的噴管內型面優化流程

圖2 初始網格結構

圖3 變形后網格

圖4 B樣條曲線示意圖

在完成初始樣本庫的計算后，將進入圖 1的第二部分，即優化計算。首先，基于當前樣本庫訓練代理模型，本文應用Kriging模型、響應面特征模型(Polynomial Response Surface，PRS)和徑向基函數特征模型(Radial Basis Function，RBF)訓練樣本點數據得到代理模型，并基于最大相對偏差、平均偏差等，對代理模型的誤差進行初步分析；接著，采用遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)和粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)進行優化分析，輸出最優解或Pareto解集；之后，采用CFD對最優解進行校核計算。若本次CFD計算得到的目標值與上一次優化的值滿足收斂條件，則停止計算并輸出最優解。若不滿足收斂條件，則把本次CFD計算解添加到樣本庫中，重新構建代理模型及優化分析。

下面將對液體火箭發動機噴管內型面優化設計流程中幾個重要過程進行詳細闡述。

1.1 噴管內型面設計

針對噴管擴張段內型面結構，本文采用的參數化方法為B樣條曲線方法。計算公式如下：

Pi，k(u)=[Bi-k+1，k(u)Bi-k+2，k(u)…Bi，k(u)]×[pipi+1…pi-k+1]T

(1)

式中，Bj，k(u)表示第j(j=i-k+1，…，i)條k階B樣條基函數有關段；pn表示第n(n=i，…，i-k+1)個頂點；u表示設計變量。

本文給定噴管喉部直徑、出口直徑以及噴管長度，采用四階三次B樣條曲線表征噴管內型面結構，如圖 4所示。此外，本文將第一個控制點設置在喉部附近，并保證曲線與喉部最小部分相切，使噴管喉部光滑過渡。

1.2 網格變形

在噴管的優化設計過程中，需要對不同的設計參數進行多次CFD計算。針對該優化設計問題，最簡單的方式是每次CFD計算時重新生成網格，但對于復雜幾何問題或網格數量大等情況該方式通常非常耗時。因而，有學者提出使用網格變形方法，其特點是在不改變拓撲關系和節點總數的基礎上，移動網格節點的位置，以滿足計算域變化[13]。

本文提供徑向基函數插值算法，可以根據變形的物面(面網格)重新生成新的計算體網格。徑向基函數插值算法對每個坐標方向采用一個插值函數來計算任意網格節點在該方向上的偏移量。

S(X)=p(X)+∑λjΦ||X-Xj||

(2)

其中，

p(X)=c1x+c2y+c3z+c4

(3)

滿足插值條件

S(Xj)=fj

(4)

以及正交條件

(5)

求解如下方程可得到系數λj和c1，c2，c3，c4。

(6)

針對數據量較大的情況，徑向基函數方法處理難度較大，因此本文選用局部徑向基函數插值方法，將全局空間劃分為若干子區間，對每個子區間利用徑向基函數進行插值運算，進而提高插值效率[14]。該方法網格變形質量高，適用于顯著彎曲和扭轉的幾何非線性大變形情況，可用于結構和非結構網格變形。

1.3 代理模型參數訓練及參數優化方法

在指定樣本數量情況下，徑向基函數模型和響應面模型的訓練參數可以采用數值方法進行求解。響應面模型基于最小二乘法計算多項式的擬合系數。徑向基函數模型求解一個維度等于樣本數目的關聯矩陣，采用全選主元高斯消去法求解。Kriging模型訓練參數θ體現在關聯函數中無解析解，是一個無約束問題，最終轉換為求解極大值問題。采用梯度類優化算法和全局優化算法求解參數的最優解，具體包括：遺傳算法、粒子群優化算法等。

1.3.1 遺傳算法

遺傳算法采用群體搜索技術，通過對當前群體實施選擇、交叉和變異等一系列遺傳操作，從而產生新一代群體，并使群體逐步進化到包含或接近最優解的狀態[15]。

在遺傳算法中，將n維設計變量用向量X=[x1，x2，…，xn]表示，每個X可以表示一個個體(又被稱為染色體)，包含n個遺傳基因(設計變量x)。遺傳算法求解最優解的過程為模擬生物進化過程，通過群體按照優勝劣汰的進化，將適應度高的基因更多地遺傳到下一代，在最終代的群體中達到或接近最優解。

遺傳算法的流程如圖5所示。

圖5 遺傳算法流程

(1)初始化。設置最大進化代數G，設置個體個數N，設置進化迭代器t=0，隨機生成N個初始個體P(t)。

(2)個體評價。計算各個個體的適應度。

(3)選擇運算。將選擇算子作用于群體，根據個體適應度，按照一定規則選擇父代和母代。常見的選擇算子包括輪盤賭選擇法、隨機遍歷抽樣法、局部選擇法及錦標賽選擇法等。

(4)交叉運算。將交叉算子作用于父和母，以一定的概率交換它們之間的染色體，從而產生新的個體。

(5)變異運算。將變異算子用于交叉產生的新個體，以一定的概率改變個體的基因。經過交叉和變異操作后，最終形成下一代種群P(t=t+1)。

(6)終止條件判斷。若t

采用實數編碼，選擇算子采用“君主方案”，即對群體按照適應度排序，用這一代中最優個體一直作為父，其他偶數位個體依次作為母，二者進行交叉后產生新的個體。新個體采用多點變異產生下一代子群。本模塊采用了兩種不同的變異操作，一種為恒定變異概率，另一種采用大變異遺傳算法。大變異遺傳算法中，當群體種群過于集中時改變變異概率，改變變異概率條件為：

am·fmax

(7)

式中am為用戶輸入參數，fmax為種群中最大的適應度，favg為種群中平均的適應度。滿足該條件時采用一個更大的變異概率。

1.3.2 粒子群優化算法

粒子群優化算法(PSO)是一種進化計算技術，源于對鳥群捕食的行為研究。其基本思想是：通過個體間的協作和信息共享，在群體中找最優解[16]。PSO的優勢在于其易操作性、易實現性，調整參數較少，不受函數約束條件限制。PSO可廣泛應用于函數優化、神經網絡訓練、模糊系統控制以及其他遺傳算法的應用領域。

粒子群算法通過設計一種無質量的粒子來模擬鳥群中的鳥，粒子僅具有兩個屬性：速度和位置，速度代表移動的快慢，位置代表移動的方向[16-17]。在設置空間范圍內，單獨搜索每個粒子的最優解，標記為該粒子的極值，然后共享每個粒子的極值與粒子群的其他粒子進行比較，在整個粒子群中尋找當前全局最優解，然后讓粒子群中的所有粒子根據當前自己的極值和粒子群的當前全局最優解來調整自己的速度和位置[17]。算法流程如圖6所示。

圖6 粒子群優化算法流程

圖7 0.5萬和7.1萬網格計算結果對比

(1)初始化，設置最大進化代數G，設置粒子群體個數N，設置進化迭代器t=0，隨機生成每個粒子在各個設計空間維度j的位置xj和速度vj；

(2)計算各個粒子的適應度；

(3)根據適應度更新各個粒子的歷史最優pbest；

(4)根據適應度更新整個群體粒子的全局最優gbest；

(5)根據位置和速度公式對每個粒子的速度和位置進行更新；

(6)進行邊界條件處理；

(7)若達到最大迭代次數，則輸出最優解并退出算法，否則回到步驟(2)。

步驟(5)中粒子速度和位置的更新公式如下：

vi，j(t+1)=w·vi，j(t)+c1r1[pi，j(t)-xij(t)]+c2r2[pg，j(t)-xi，j(t)]

(8)

式中，i為粒子編號，j為設計變量的維度，w為慣性權重，c1和c2為學習因子，r1和r2為[0，1]范圍內的均勻隨機數，pi，j為粒子i歷史最優的第j分量，pg，j為全局最優粒子的第j分量。在得到速度后，采用下式可以得到更新后粒子的位置分量：

xi，j(t+1)=xi，j(t)+vi，j(t+1)

(9)

慣性權重w對算法的收斂速度有很大影響，本模塊采用了動態慣性權重值，w的計算公式為：

(10)

式中，wmax為最大慣性權重，wmin為最小慣性權重，Tmax為最大進化次數。在大多數應用中wmax=0.9，wmin=0.4。

2 優化結果分析

2.1 CFD樣本計算

本研究利用Fluent的TUI命令，批量計算了200個樣本點。由于燃氣在噴管擴張段屬于超音速流動，初始樣本算例設置選取Standard k-ε模型，考慮能量方程。由于本文優化的目標參數為比沖，在燃燒室室壓、喉部直徑、噴管長度等參數確定的情況下，比沖與出口燃氣流速成正比，因此本文選取出口流速作為優化參數。為驗證不同網格數對計算結果的影響，本文測試了網格數目為0.5萬、1.1萬、2.1萬、3.3萬、4.2萬、5.6萬、7.1萬的情況，在初始結構下，噴管出口流速如表1所示。在網格數目大于2萬后，計算得到的質量加權速度偏出小于2 m/s。圖 7對比了網格數0.5萬和7.1萬情況下的速度分布，因此本文選擇7.1萬網格數進行所有樣本點計算。

表1 不同網格數對計算結果的影響

2.2 優化結果

本算例優化算法采用遺傳算法(GA)和粒子群算法(PSO)，種群數為500，進化代數設置為1 500。由于比沖正比于出口的速度，本算例的優化目標選為質量加權的出口軸向速度，圖8給出了該速度隨著進化代的演化過程(僅顯示前100代)。由圖可知在進化大約30代之后速度值達到收斂。

圖9展示了優化前后噴管的外形對比，圖10給出了優化前后噴管內的速度分布對比?；趦灮昂蟮脑O計參數進行CFD計算，給出了優化前后噴管氣動性能的對比。優化后出口質量加權速度為3 452.22 m/s，比初始情況增加了1.88 %。針對優化結果進行CFD校核計算，得到的出口質量加權速度為3 453.52 m/s，與基于代理模型的結果對比偏差小于0.04%。圖11對比了優化后輸出的云圖和CFD計算結果的對比，由圖可知，二者基本一致。這一現象表明：基于代理模型的預測云圖可有效預測CFD仿真結果，用于仿真結果的有效預測評估。

圖9 優化前及優化后的噴管外形對比

圖10 優化前及優化后速度分布對比

圖11 優化結果的預測云圖與CFD計算結果對比

另外將本文所用的基于CFD一體化優化流程的優化結果與特征線法優化設計的噴管型面結果對比，噴管內型面結構相當，如圖12所示。表2將不同優化算法的出口流速與特征線法優化的出口流速進行比較，本文使用的優化算法與特征線模型計算結果相當，最大相對誤差為0.28 %。該結果表明：基于CFD一體化優化流程的優化結果較傳統特征線法計算結果具有一致性，可優化得到噴管內型面的最優結構，并獲取最優解下的噴管流場信息。

表2 不同優化算法計算結果對比

圖12 特征線法優化結果與本文優化流程結果對比

對比遺傳算法與粒子群優化算法的計算結果，兩種算法的優化時間相近，計算時間均小于5 min。對比表2中兩種優化算法的計算結果發現，遺傳算法與粒子群算法計算結果相近，粒子群算法略優于遺傳算法。

3 結論

本文基于三次B樣條法構建噴管內型面結構，通過控制點坐標設計樣本點，同時結合網格變形技術，實現樣本點噴管內型面網格的自動變形，完成樣本點的CFD自動計算。然后基于樣本點的CFD計算結果，構建代理模型，代替優化過程中大規模的CFD計算，通過機器學習，在較短時間內實現了發動機噴管內型面結構的自動優化設計。通過本文研究得出以下結論：

(1)采用三次B樣條法可有效描繪液體火箭發動機內型面結構，同時采用徑向基函數插值法實現樣本點網格的自動生成，能高效地實現前處理的自動化，有利于工程應用。

(2)基于代理模型的優化方法計算結果與CFD仿真結果相當，誤差為0.04%，證實基于代理模型的優化結果可有效代替大規模的CFD計算優化。本文所用方法在30代后，優化結果基本保持穩定，高效地完成了發動機噴管內型面優化設計。

(3)基于代理模型的優化方法與傳統特征線法計算相比較，優化得到的噴管內型面結構基本保持一致，對比發動機比沖的相對誤差為0.28%，進一步證實了本文所使用的基于代理模型的噴管內型面優化方法可較精確、高效地實現液體火箭發動機噴管內型面優化設計，具有較強的工程應用性。