借助模型轉化 凸顯數學本質
——以“乘法的初步認識”為例

哈爾濱市群力實驗小學 王 睿

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱新課標）強調：數學模型的建立，可以讓學生感受到很多生活問題都可以用數學模型進行表達和解釋，從而更深刻地認識到數學與生活的聯系。

一、建構模型，建立數學與外界的關聯

（一）數學的本質與作用

數學是研究數量關系和空間形式的科學。它是對現實生活的抽象化，具體包括數量以及數量關系、圖形和圖形關系的抽象。 這些抽象化的概念形成了數學的探究目標。建立在抽象結構之上， 通過對研究目標進行符號運算、形式推理、模型構建等，生成數學的觀點和途徑，它能協助我們理解、識別并描述現實生活中的本質、關系和規律性質。

新課標將“數與代數”和“圖形與幾何”兩個主題進行了重新組織，以便更好地理解和掌握數學知識。 在“數與代數”領域，把傳統的六個主題整合為“數與運算”“數量關系”兩個主題；在“圖形與幾何”領域，把傳統的四個主題整合為“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題[1]。 例如，通過對數量的抽象，可以更好地理解自然數的大小關系，而通過對角的概念的介紹，可以更好地理解角的大小關系。 可以看到，這樣的整合有利于學生感悟數學的本質，形成和發展核心素養。

（二）數學建模的意義

研究數學就是探討現實生活中的數量關系和空間結構，從而發現一些具有普遍適用性的規律，將這些規律運用到其他領域或日常生活中，從而形成多種多樣的數學模型。因此，數學建模是數學應用的基本方式，模型思想是數學的一種基本思想。一套完備的數學模型構建步驟涵蓋了從現實狀況中用數學角度發現問題、提出問題、分析問題、創建模型、解決問題、檢驗結果、對模型進行優化的過程，最后成功處理實際問題。這一過程比較充分地反映了數學課程要培養的核心素養，即數學觀察、數學思考與數學表達。 正因為如此，許多國家和國際組織提煉數學素養的依據就是數學建模過程[2]。

以數量關系這一部分為例， 數與運算包括整數、小數、分數的認識及其四則運算，是按照加、減、乘、除數學發展規律進行教學的。 數與運算的關系圖體現了數的運算本質上的一致性， 從中可以看出加法是四則運算的核心（見圖1）。數概念的教學應融合進“＋”的主題，討論數量關系涉及到數學模型的使用。 利用這些模型，人們會采用數學創造的語言、 符號和方法來解讀真實世界中的故事，從而構建數學與生活實際的聯系。數學建模是數學活動中較為復雜的內容，構建模型的過程中難度相對較大。因此，教師在數學教學中，應該更關注學生的生活體驗，利用一些簡單的日常環境以及現有的模型，重視數學化的過程。

圖1 數與運算關系圖

二、立足教材，落實數學語言素養

數學語言素養在小學階段的主要表現之一是“模型意識”。教學前教師要對學習內容有深入的了解，抓住知識本質巧妙設計問題，激發學生的學習興趣，獲得學習動力，引導思考方向，提出建構模型的問題，這樣在設計問題時就有了方向，學生的思考就有了目標，為推導模型的建立指明了方向。 下面以“乘法的初步認識”為例進行解讀。

（一）整體解讀，直指單元本質

新課標指出： 通過感悟數的運算及運算之間的關系，體會數的運算本質的一致性， 形成運算能力和推理意識?！俺朔ǖ某醪秸J識”一課，學生通過在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟乘法模型的意義，形成模型意識，引領學生認識到乘法是一種簡化的加法運算。 感受乘法和加法內在的一致性， 是求幾個相同加數的和是多少。所以本課核心素養聚焦在“推理意識”“模型意識”兩個核心詞上。

“乘法的初步認識”這個部分，是學生對乘法運算概念的首次觸碰和理解，是學習乘法、除法以及多位數的乘除法的基石，同時也是增強學生運算能力的重要步驟。 在教學過程中，我們通過豐富且生動的直觀表象，輔助學生構筑乘法模型的理解。我們將一連串的同加數相加的運算抽象為“幾個幾”的表述方式，進而構建起加法運算式與乘法運算式之間的聯系。

（二）前后勾連，形成整體模型構架

在學生已經熟練掌握“加法”及“100 以內加減法”的基礎之上，開始深入研究“乘法的初步認識”?，F階段，學生已經成功地建立了加法模型，即幾個數相加就是把幾個數合起來，且他們能準確地完成基礎的加法運算。 在接觸這節課之前，有一部分學生已經通過多種途徑對乘法有了直觀的理解， 還有一些學生已經通過各種方法記住了乘法表。然而，他們對乘法含義的理解相對寬泛，需要借助直觀表象，以及連加的加法表達式，初步了解乘法模型。

建立模型的過程包含：從實際生活或特定情境中提煉數學問題，利用數學符號構建等式來描繪數量關系，推導答案并剖析答案的意義。這些步驟能幫助學生開始形成模型思維，提升他們對數學的興趣和實踐觀念。 教材應遵循課程內容，排列出利用現存知識和經驗進行解決問題的任務。這類任務應以“問題情境——建?！鉀Q驗證”作為流程，這一流程有助于理解和掌握相關知識技能，感受數學思維，積累實踐經驗。

三、圍繞本質，建構數學模型

學生對于乘法其實并不陌生，那么，怎么讓學生的認識從加法過渡到乘法， 在思考中真正掌握知識的“生長點”與“延伸點”？這是我們每一位教師在用新課標指引下進行教學設計時都應該思考的問題。 選擇學生熟悉的生活素材，讓他們體會乘法的由來。 通過多元的表征方法，幫助學生理解加法與乘法的關系，初步感受乘法的意義，體會乘法的簡便性。

（一）問題引領，經歷數學化過程

教師可直接出示教材游樂園主題圖（見圖2），并引導學生從圖中找到數學信息，提出數學問題。從問題“小飛機里面一共有多少人？ ”入手，預設學生會出現以下幾種方法。

圖2 數學教材中游樂園主題圖

方法一：每架小飛機里的人數相同，都是3 人。 于是3個3 個數，并且把每3 人圈了起來，數出15 人。

方法二： 列出連加法算式求出一共有多少人。 3+3+3+3+3=15。

此時，可借助學生匯報的契機進行追問：你能用一句話讓我一聽就明白嗎？學生會總結出——5 個3 相加。利用加數數量多的特點，巧妙地在讀法中鋪墊乘法的意義，5 個3 相加是15。 這為學生塑造了關于幾個幾相加的表象，為之后深化乘法含義提煉打下堅實的基礎。

接下來按此方法將學生提出的問題依次進行分析，列式計算。

“過山車有多少人？ ”學生已經建立了幾個幾的表象，發現圖中有7 個2，直接列出連加法算式：2+2+2+2+2+2+2=14。此時，讓學生的思維進一步延伸：如果過山車增加一排座位呢？ 那就是8 個2 相加，如果增加到20 排座位呢？ 那就是20 個2 相加?；蛘咴黾痈嗟淖?，你還想繼續列出連加算式嗎？學生會提出不想，因為太麻煩，想用幾個2 來表示，或者直接有學生提出可以用乘法。由此揭示乘法，幫助學生初步建立乘法模型。

（二）結果解釋，感悟建模的意義

我們分析問題、解決問題的過程，就是靈活運用學習過的數學知識和數學方法， 進行數學思維并再創造的過程。這個過程，既需要正向的、發散的思維，又需要逆向的、收斂的思維，正逆向思維的結合處，就是問題得以解決的關鍵節點。 加深學生對乘法含義的把握，根據乘法的含義構建“乘法模型”，嘗試多種方法理解乘法的本質，在進行數學活動的累積過程中，充實數學經驗，并發展學生的數學思維能力。

進一步理解乘法算式中2 和7 的含義?？稍O計這樣幾個核心問題。

1.乘法算式會讀了，那算式中的2 在圖中表示什么，能找到嗎？

2.能從加法算式中找到2 嗎？

3.能在圖中找到7 嗎？

4.能在加法算式中找到7 嗎？

深刻理解7 是2 的個數。7 在圖中表示7 節車廂，在加法算式中是2 的個數。引領和深入的問題使乘法算式的每個部分變得更細致，逐步揭示“2”和“7”，為理解創建基礎。目標在于加強“相同加數”的概念以及它們在乘法算式中的數量的理解， 讓學生認識到乘法其實是加法的延伸，含義相同，只是更加簡潔明了，突出了乘法意義的本質，培養學生的模型意識。

（三）多種維度，驗證乘法模型

數學建模要引導學生在實際生活中探尋知識的根本，利用數形結合去理解數量關系，同時在多元表征中拓展概念的形象。理清學生的思路，深化學生對乘法意義的理解：一個乘法算式可以表示兩層含義。 出示方格圖（見圖3），每個方格站一人，一共有多少人？ 分別列出加法算式和乘法算式。

圖3 4 行5列方格圖

經過對比和研究，學生察覺到同一情境可以被表述為不同的加法算式以及相同的乘法算式。 比如，以橫向視角觀察，每行有5 個，有這樣的4 行，此時可以用加法表達為：5+5+5+5，或者乘法表達為：4×5 或5×4。 而從豎向對比，可以視為每列含有4 個，有這樣的5 列，加法的表達形式是：4+4+4+4+4，而乘法仍舊是4×5 或5×4。

不同角度的實物情境通過聚焦后， 進行感官的觀察、分析、比較，可以幫助學生驗證乘法模型，在實物圖中抽象出加法算式及乘法算式， 從而發現乘法算式的兩層含義，建構“4×5”和“5×4”的模型。

從觀察生活情境開始，到讓學生留意生活中能用乘法解決的問題，讓他們體會數學與生活的密切聯系，通過經歷簡單的“建?！边^程，培養學生的模型意識，體會數學化的過程。