高階Maggi方程的Birkhoff化及其辛算法*

薛冰 解加芳 張可心

(北方工業大學 理學院, 北京 100144)

引言

非完整系統是一類受到不可積微分約束的動力學系統[1],廣泛應用于場論、機電動力系統、控制理論、工程科學等領域[2].20世紀80年代我國學者梅鳳翔研究了帶參數約束的一類可控系統[3]、變質量非完整約束系統.Maggi在1896年推廣了拉格朗日第二類方程[4],對線性非完整約束系統得到一類動力學方程,后人稱為Maggi方程[5],這些方程后來被推廣到非線性非完整系統[6].Maggi方程是力學系統[7]各大運動方程的中間產物,對研究非完整系統的運動具有重要意義.

Birkhoff動力學理論是Hamilton動力學的自然推廣,它是包括齊次Hamilton系統和非齊次Hamilton系統的更一般動力學理論,是最一般辛結構的局部實現,只有Birkhoff系統與一般辛幾何結構之間才有一一對應關系.因此 Birkhoff 系統動力學[8]的研究對于完善和深化分析力學的理論體系具有重要意義, 尤其是對于非齊次 Hamilton 動力學系統的幾何結構分析具有重要應用價值[9].本文針對非完整系統高階Maggi方程,在其滿足一定條件下,將其進行Birkhoff化。并通過一個算例驗證上述理論分析的正確性,再分別采用Runge-Kutta方法和Birkhoff辛算法對其進行數值計算[10],并將數值結果進行比較,給出Birkhoff辛算法在長時計算時的優越性.

1 高階非完整系統Maggi方程的Birkhoff化

設力學系統的位形由n個廣義坐標qs(s=1,…,n)確定,系統受有g個理想m階非完整約束[11]

(1)

其中

根據d’Alembert-Lagrange原理可以導出Maggi形式為:

(σ=1,…,ε)

(2)

式中Qσ為廣義力,T為系統動能.

令

(ν=1,…,ε;k=1,...,n)

(3)

則方程(2)有形式

(4)

(5)

約束對初始條件的限制為:

(6)

(7)

約束對初始條件的限制為:

(8)

將式(7)化為標準一階形式,令

(s=1,…,n)

(9)

則式(7)可以寫成形式

(10)

其中

aν=xν,σs=xn+s,…,

σ(m-2)n+s=x(m-1)n+s,

σ(m-1)n+s=hs(s=1,…,n)

(11)

為將式(10)表為Birkhoff形式,其階必為偶數[9],即mn=2N,如果mn為奇數2N-1,可增加一個方程

(12)

使其成為偶階.從而,要使高階非完整系統的Maggi方程可表示成Birkhoff形式

(μ=1,…,2N)

(13)

即要求滿足

(μ=1,…,2N)

(14)

設式(10)的2n個第一積分Iμ(t,a)彼此無關,即

(μ=1,…,2n)

(15)

(16)

根據Hojman方法,則式(14)的Birkhoff函數組Rμ由下式確定

(17)

Birkhoff量B為:

(18)

其中Gα需滿足條件

(19)

2 Maggi方程的廣義辛差分格式

(20)

其中

(21)

假定方程組(20)的一種離散可以記為:

[?tR(zi,ti)]i

(22)

式(22)稱為式(20)的一個離散格式,如果它決定的格式Φ保持離散的K(z,t)辛格式,即

(23)

(24)

以及

(25)

此映射為:

(26)

式(26)的Jacobi矩陣為:

(27)

映射α要滿足

(28)

其中

當K與z無關時,根據式(27)和式(28)可以得到

(29)

且需滿足下面的截面條件

|CαM+Dα|≠0

設Bα=Cα=0,則式(29)可成

(30)

由式(30)可以得到

(31)

生成函數φ(ω,t,t0)=α(t,t0),可以構造廣義Birkhoff辛差分格式.當步長τ>0足夠小的時候,取

(m=1,2,…)

(32)

α1(zk+1,zk,tk+1,tk)

(33)

3 算例

假設某一力學系統的位形由2個廣義坐標q1,q2確定,其系統動能為

(34)

且該系統受到1個2階非完整約束:

(35)

(36)

顯然式(36)有解:

q1=1-arctan(t)

q2=-3t·arctan(t)+2ln(t2+1)+t

由此可以構造Birkhoff函數Rμ,B如下[11]:

R2=0

R4=0

從而將該系統的Maggi方程可以Birkhoff化:

結合式(24)和式(25),我們可以確定生成函數φ(ω,t,t0),之后采用上述的Birkhoff廣義辛算法式(32), 得到此 Birkhoff 系統的二階K(z,t)離散格式[11-13].

對該題采用二階K(z,t)算法和二階Runge-Kutta算法進行計算.在計算過程中,先取如下初值:q1=1,C1=C2=1,取步長τ=0.01.并通過比較兩種數值方法計算所得數值解和解析解q1=1-arctan(t)之間的相對誤差來說明兩種數值方法的差別.

對比圖1和圖2可以看出,Runge-Kutta方法在長期跟蹤后與解析解有著大幅度的相對誤差,而Birkhoff辛算法則相對誤差非常的小.因此,Birkhoff辛算法結果更加精確.

圖1 二階Runge-Kutta算法相對誤差Fig.1 Relative error of second order Runge-Kutta algorithm

圖2 Birkhoff辛算法相對誤差Fig.2 Relative error of Birkhoff symplectic algorithm

4 結論

本文對一定條件下的非完整系統的高階Maggi方程(2)先進行了Birkhoff化,得到廣義Birkhoff方程(13),并針對該方程,應用Birkhoff廣義辛差分格式與傳統Runge-Kutta算法分別進行計算,比較兩種算法,最后得出Birkhoff廣義辛差分算法在求解非完整系統高階Maggi方程中更加優越.