基于負剛度慣容型非線性能量匯的整星振動抑制*

高原 張振 方勃

(沈陽航空航天大學 航空宇航學院, 沈陽 110136)

引言

目前,國際上將總質量介于1kg至10kg之間的衛星稱為納米衛星,總質量介于11kg至100kg的衛星稱為微衛星[1,2].1990年5月,美國使用“偵察兵”火箭發射了兩顆6.8kg的“多路通信衛星”.自此,諸多衛星產業大國爭相開展了對微小衛星的開發研究[3-5].

航天器在發射過程中會受到來自結構內部和外界環境的各種形式的振動干擾,強烈的振動會導致航天器中電子設備儀器的性能失效從而不能正常工作,甚至會破壞航天器結構,造成巨大損失.因此,改善航天器的振動環境是提高衛星發射安全性和可靠性的關鍵[6].衛星隔振最早是由美國CSA公司應空軍研究室要求在1993年開展了對整星隔振器的研究[7,8].Johnson在1996年提出被動整星控制平臺,并取得很好減振效果[9].王曉雷等人在被動隔振的基礎上加入主動控制,改進系統的低頻隔振性能,實現全頻帶隔振[10].

非線性能量匯(Nonlinear energy sink)最早是由Vakakis在2001年提出[11].NES具有吸振頻帶寬、快速高效的能量轉移等顯著優點[12-16].常見的非線性能量匯主要有:杠桿式非線性能量匯、軌道式非線性能量匯、限幅式非線性能量匯等.這些研究表明非線性能量匯具有廣泛的應用前景.

慣容器最早是由Smith在2002年提出[17].慣容器具有兩個連接終端,與質量都可以作為慣性元件,但與質量不同的是,慣容器可以提供比其質量大得多的慣性系數且可以調節.將慣容器集成到非線性能量匯中可以適當地增強其減振效果,然而帶有慣容器的非線性能量匯仍有質量大的缺陷[18].非線性能量匯中的質量塊可以完全用慣容器替代,這種新型慣容型非線性能量匯幾乎不引入附加質量,克服了傳統非線性能量匯的大質量缺陷,且具有更高的減振性能[19].

負剛度最早是由英國工程師Molyneux在1957年提出[20].Molyneux使用兩個橫向彈簧元件形成了負剛度結構.而后大部分學者基于負剛度理論,將負剛度彈簧元件與正剛度彈簧元件相結合形成具有高靜態低動態剛度特性的準零剛度隔振器[21,22].引入負剛度元件可以強化減振器的減振效果.Wu等[23]提出了一種新型負剛度磁彈簧(MS-NS)隔振器,并與沒有負剛度磁彈簧的隔振器進行比較,實驗結果表明,帶有負剛度磁彈簧隔振器可以降低系統固有頻率并減小共振幅值,實現更好的減振效果.Zhou等[24]提出了一種應用于浮板軌道的負剛度動力吸振器(NSDVA)并與傳統的Voigt型動力吸振器相比,帶有負剛度的動力吸振器具有更好的減振效果.

本文提出了一種帶有負剛度的慣容型非線性能量匯應用于整星系統的振動抑制.同時,比較了不同激勵幅值下,負剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果,討論了負剛度元件對減振性能的影響.基于牛頓第二定律推導出耦合系統的動力學方程.應用諧波平衡法得到系統穩態響應的近似解析解,并通過Runge-Kutta法得到系統的數值解驗證解析解的正確性.此外,討論了負剛度慣容型非線性能量匯的參數對其減振效果的影響.本項研究將促進和拓寬負剛度和慣容型非線性能量匯的實際工程應用.

1 負剛度慣容型非線性能量匯組合減振系 統動力學建模

圖1為耦合負剛度慣容型非線性能量匯的整星振動系統,其中整星系統簡化為二自由度線性振子[25].圖中,m1,c1和k1分別為衛星的質量,阻尼和線性剛度.m2,c2和k2分別為衛星適配器的質量,阻尼和線性剛度.b為慣容器慣性質量,其兩終端的作用力與兩終端的相對加速度成正比.慣容器的慣性質量遠遠大于其自身重量,因此數學建模過程中,慣容器的質量可以忽略不計[17].c3為負剛度慣容型非線性能量匯的阻尼.負剛度慣容型非線性能量匯的負剛度和立方非線性剛度由兩個預壓縮的橫向線性彈簧實現.k3為橫向彈簧剛度值,L0為彈簧初始長度.系統處于靜平衡時,橫向彈簧處于水平位置,此時彈簧長度為LH.x1,x2和x3分別為衛星,衛星適配器和慣容器的位移.系統的外激勵為諧波位移激勵xe=Acos(ωt),其中,A和ω分別為位移激勵的幅值和頻率.

圖1 耦合負剛度慣容型非線性能量匯的整星振動系統Fig.1 Whole-spacecraft vibration system coupled with negative stiffness inertial nonlinear energy sink

橫向彈簧在垂直方向上的非線性彈性力F推導如下:

(1)

由泰勒公式展開可得:

(2)

(3)

非線性彈性力F與位移差(x2-x3)的精確關系曲線和泰勒展開近似關系曲線如圖2所示.從圖中可以看出,在泰勒展開項數為三階的時候,就可以滿足對精度的需求.

圖2 非線性彈性力泰勒級數展開曲線Fig.2 Nonlinear elastic force Taylor series expansion curve

由牛頓第二定律推導出耦合負剛度慣容型非線性能量匯的整星系統的動力學方程為

(4)

經過無量綱化處理,可得:

(5)

無量綱變量和參數為

(6)

2 穩態幅頻響應

2.1 諧波平衡方法求解

由于系統方程中只包含立方非線性項,故而只考慮奇次諧波項,忽略偶次諧波項的影響.基于諧波平衡方法,設整星系統的穩態響應位移解的形式為

b1,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

b2,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

b3,2i+1·sin[(2·i+1)·Ω·τ]}

(7)

諧波平衡方法為近似解析方法,其假設解取的諧波階數越多,得到的近似解析解就越精確.然而,階數過多,得到的系數方程就會越多,從而使得計算量大大增加.在這里,以一階諧波假設解為例給出求解過程.令i=0,則式(7)將變為

u1=a11cos(Ωτ)+b11sin(Ωτ)

u2=a21cos(Ωτ)+b21sin(Ωτ)

u3=a31cos(Ωτ)+b31sin(Ωτ)

(8)

將式(8)代入式(7)中,整理諧波系數方程組可得到一組非線性代數方程組.

(9)

-Ωξ1b11+Ωξ1b21-Ω2a21λ2+Ωξ2b21+

Ωξ1a11-Ωξ1a21-Ω2b21λ2-Ωξ2a21+

b21β2+b21α-b31α-b11+b21-

(10)

(11)

求解代數方程組可以得到諧波系數的常數值.將所得到的值代入到諧波假設解,可以得到位移的時域響應.通過提取不同激勵頻率下位移時域響應的幅值,可以得到位移的幅頻響應曲線.

2.2 數值驗證

考慮到非線性能量匯中采用的是立方非線性,因此,諧波平衡假設解只保留1階和3階諧波,忽略偶次和高階諧波的影響.由Runge-Kutta數值方法求得系統的時間歷程,時間步長設置為一個周期T的0.01倍.然后從時間歷程中的穩態響應部分提取出系統的響應幅值.控制激勵頻率正向增大和反向減小,通過打點的方式,可以得到數值解的正向和反向掃頻幅頻響應曲線,用以驗證諧波平衡解的精確性.

系統仿真參數如表1所示.圖3(a)、圖3(b)分別為位移激勵A為0.0018m時的耦合負剛度慣容型非線性能量匯的整星系統的一階主共振和二階主共振的解析解與數值解對比.從圖中可以看出解析解和數值解的對比具有較好的重合度.

表1 系統量綱參數

(a)一階主共振

3 減振性能比較

本節對比研究負剛度慣容型非線性能量匯(NSI-NES)、正剛度慣容型非線性能量匯(PSI-NES)和慣容型非線性能量匯(I-NES)的減振性能.

未控系統位移響應的最大幅值記為Au,控制系統的位移響應的最大幅值記為Ac,控制系統的最大幅值減少百分比為

(12)

相同質量下,激勵幅值為A=0.0014m 、A=0.0016m、A=0.0018m時的負剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果分別如圖4～圖6所示.其中,圖(a)、圖(b)分別為耦合負剛度慣容型非線性能量匯、慣容型非線性能量匯、正剛度慣容型非線性能量匯的整星系統一階主共振和二階主共振的減振效果的對比圖.

圖4 勵幅值A=0.0014m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.4 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0014 (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

圖5 勵幅值A=0.0016m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.5 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0016m: (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

圖6 勵幅值A=0.0018m時減振效果:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.6 Vibration damping effect when excitation amplitude A=0.0018m: (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

激勵幅值A為0.0014 m時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達到了87.86%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為48.35%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比為43.3%.在一階主共振中,激勵幅值A為0.0016m時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達到了89.08%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為45.4%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比卻為39.6%.激勵幅值A為0.0018m時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比達到了90.72%,而在相同情況下的慣容型非線性能量匯的減振百分比則為43.6%,正剛度慣容型非線性能量匯的減振百分比卻為40.3%.通過對比可以發現,在相同激勵幅值下,一階主共振中的負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要遠優越于慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯.

激勵幅值增大,一階主共振中的負剛度慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果越好.隨著激勵幅值的增大,一階主共振中的慣容型非線性能量匯的減振效果,先降低后增高.從圖4(b)、5(b)、6(b)中可以看出,在二階主共振中,三者的減振性能都達到較好減振效果,也可以看出在二階主共振中,正剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要略高于慣容型非線性能量匯,慣容型非線性能量匯的減振效果要略高于負剛度慣容型非線性能量匯.綜合考慮,隨著激勵幅值的增大,負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果要優于慣容型非線性能量匯和正剛度慣容型非線性能量匯.

4 負剛度慣容型非線性能量匯的參數影響

4.1 慣性質量的影響

慣性質量對主系統幅頻響應曲線的影響如圖7所示.從圖7中可以看出,隨著慣性質量值的增大,主結構一階和二階幅頻響應曲線的峰值均呈現出減小趨勢,最后歸于平穩.

圖7 不同慣性質量下整星系統的幅頻響應曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.7 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different inertial masses (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

4.2 負剛度的影響

負剛度對主系統幅頻響應曲線的影響如圖8所示.在確保立方非線性剛度值不變的情況下,負剛度值可通過同時調節橫向彈簧水平長度值LH和彈簧線性剛度值k3來進行改變.

圖8 不同負剛度下整星系統的幅頻響應曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.8 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different negative stiffnesses (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

從圖8(a)中可以看出,在一階主共振中,當負剛度的值為0(L0=LH)時,系統的幅頻響應的峰值最大.隨著負剛度絕對值的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值呈現出先減小后增大的趨勢.在α從0到-0.0256的區間,主結構位移有極為明顯的驟降趨勢.從圖8(a)也可以看出負剛度存在一個最優值使得主結構幅頻響應曲線的峰值最小.當負剛度α≈-0.0256時,主結構幅頻響應曲線的峰值最小.從圖8(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著負剛度絕對值的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值呈現增大的趨勢,且向左移動.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,負剛度α=-0.0256時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

4.3 立方非線性的影響

立方非線性對主系統幅頻響應曲線的影響如圖9所示.在確保負剛度值不變的情況下,立方非線性剛度值可通過同時調節橫向彈簧水平長度值LH和彈簧線性剛度值k3來進行改變.

圖9 不同非線性剛度下整星系統的幅頻響應曲線:(a)一階主共振;(b)二階主共振Fig.9 Amplitude-frequency response curves of whole-spacecraft system under different nonlinearity stiffness (a) First-order primary resonance;(b) Second-order primary resonance

從圖9(a)中可以看出,在一階主共振中,隨著立方非線性剛度的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值呈現出先減小再增大的趨勢.因此,立方非線性剛度存在一個最優值使得主結構幅頻響應曲線的峰值最小.從圖9(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著立方非線性數值的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值呈現向下的趨勢但影響較小.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,立方非線性剛度β4=0.03時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

4.4 阻尼的影響

阻尼對主結構幅頻響應曲線的影響如圖10所示.從圖10(a)中可以看出,在一階主共振中,隨著阻尼的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值也逐漸增大.從圖10(b)中可以看出,在二階主共振中,隨著阻尼數值的增大,主結構幅頻響應曲線的峰值呈現向下的趨勢.綜合考慮第一階主共振和第二階主共振的振動,當ζ3=0.0173時,負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果較好.

(a)一階主共振

4.5 阻尼和立方非線性剛度共同影響

通過負剛度慣容型非線性能量匯參數對幅頻響應曲線的影響了解到,參數變化對系統第一階主共振響應的影響較大,因此參數研究只考慮第一階主共振.對于不同的負剛度α=0、-0.0256和-0.05,當負剛度慣容型非線性能量匯的阻尼和立方非線性同時變化時,主結構的幅頻響應曲線的最大幅值變化的二維等高線圖如圖11所示.隨著阻尼和立方非線性剛度參數增大,減振效果得到明顯改善.圖11(a)中,當立方非線性和阻尼同時變化時,減振性能最優區域形成“山谷”,在該區域最大幅值接近11.當負剛度值為-0.0256時,如圖11(b)所示,“山谷”區域明顯增大了,最大幅值的最優值也顯著降低了,約為8.當負剛度值為-0.05時,如圖11(c)所示,最大幅值的最優值約為6.比較發現,隨著負剛度值絕對值的增大,實現的減振效果越好.

圖11 負剛度慣容型非線性能量匯的阻尼和立方非線性同時變化對主結構頻響最大幅值的影響(a) α=0;(b) α=-0.0256;(c) α=-0.05Fig.11 The influence of the simultaneous change of damping and cubic nonlinearity of negative stiffness inertial nonlinear energy sink on the maximum amplitude of the frequency response of the main structure(a) α=0;(b) α=-0.0256;(c) α=-0.05

5 結論

本文使用了一種新型負剛度慣容型非線性能量匯對整星系統進行減振,基于諧波平衡法求解系統的幅頻響應曲線,討論了負剛度慣容型非線性能量匯的減振效果,并對其參數進行了分析和優化.以下是具體結論:

(1) 負剛度慣容型非線性能量匯應用到整星系統中可以實現高效的振動抑制,其減振性能隨著激勵幅值的增加而增大.

(2) 參數研究表明,在合適區間范圍內,負剛度非線性能量匯的參數變化對一階主共振影響較大,當其他參數是定常數時,負剛度、立方非線性、阻尼都具有最優值,而慣性參數隨其數值增大,減振效果增強到一定程度后趨于穩定.

(3) 參數優化顯示,在合適區間范圍內,負剛度非線性能量匯的負剛度絕對值越大,可以實現的減振效果越好.