多基色顯示系統基色亮度求解及討論

姚昞暉,鄧林宵,許立新*

(1.中國科學技術大學 核探測與核電子學國家重點實驗室,合肥 230026,中國;2.中國科學技術大學 物理學院 安徽省光電子科學與技術重點實驗室,合肥 230026,中國;3.先進激光技術安徽省實驗室,合肥 230026,中國)

0 引 言

從早期的黑白顯示到現在蓬勃發展的激光顯示[1],顯示一直在人們的生活中扮演著重要的角色,人們對它的要求也越來越高。顯示色彩的優劣直接影響顯示的效果。對于顯示系統,通常使用色域來衡量其顯示顏色的能力[2]。色域越大,則顯示系統可渲染的顏色越豐富。為了定量表征顏色,國際照明委員會(Commission Internationale de I’Eclairage,CIE)首先提出了CIEXYZ顏色空間,并將其簡化為xy色度圖[3],其直觀的特點讓其被廣泛應用在顯示領域來表征色域。但顏色是一個3維的物理量,2維的xy色品圖為了直觀而犧牲了亮度屬性,這也導致其準確性相對較低[4]。為了更準確地描述人眼感知的顏色,CIE進一步提出了CIEL*a*b*顏色空間,它是目前應用最廣泛的均勻顏色空間[5]。立體顏色空間中的色域稱為立體色域。在均勻顏色空間中,精確定量描述顏色成為可能[6]。MAcADAM最早于1935年提出了計算色域的方法[7],但由于時代限制,只將色域在xy色品圖中進行了表示[8]。MASAOKA改進了他的方法,并將其應用于立體顏色空間,獲得了立體色域[9]。而WANG等人繼續改進了MAcADAM的方法,使其適用于當前常見的基色顯示系統[10]。WANG等人進一步研究了色溫或者說白平衡點色坐標對色域的影響[11]。根據這些研究可以看出,目前的三基色顯示系統的理論基礎已經較為完備。在此基礎上,為了方便不同設備之間色彩還原的準確性,美國國家電視標準委員會(National Television Standards Committee, NTSC)與電影和電視工程師協會等提出了NTSC Rec.709[12]、Rec.2020[13]等色域標準,其對應的色域大小也不盡相同,其中Rec.2020是當今最先進的色域標準?！吨袊圃?025》中明確提出,2020年激光顯示的色域要達到160% NTSC標準所對應的色域,2025年要進一步達到200% NTSC標準所對應的色域,這說明色域有重要意義且具有很高的研究價值。

隨著激光光源的發展,三基色激光顯示系統已經達到149% NTSC的平面色域面積[14],這說明減小基色譜寬是提升色域的重要方法,但基色譜寬過窄會導致激光散斑增大的問題[15],并且三基色顯示系統的上限較為明顯[16]。為了進一步提升色域,勢必要采用多基色顯示的方案[17]。隨著多基色顯示技術的發展,目前已經有相關的研究,成功搭建了六基色顯示系統,并使其立體色域的體積超過了180% NTSC[18]。在作者團隊前期的研究中,提出了多基色顯示系統基色亮度通解的計算方案,利用格拉斯曼定律來獲得多基色顯示系統對應的亮度解空間,以得到其所有可能的基色搭配,并采用實際的六基色顯示系統進行了驗證[19],但這些探究尚不完善。本文作者將對之前提出的解空間理論計算的數學形式進行規范化,并對其數學形式上的完備性和等價性進行證明。進一步地,將探究了解空間的幾何性質,并采用理想的多基色顯示系統進行演示。為簡化起見,本文中的討論僅限于顏色可加性良好的顯示系統,為了探究顯示系統的基本特性,本文中不考慮不同環境光源對顏色外觀帶來的顏色變化,即認為顯示系統位于一個理想暗室中。

1 多基色顯示系統的基色峰值亮度推導

對于顯示系統而言,存在一個最基本的約束條件,即所有基色的最高亮度之和為白色,該白色也稱為該系統的白平衡點。為了更好地說明多基色顯示系統亮度通解的求解,此處對作者團隊之前的工作進行了數學形式的優化。根據格拉斯曼定律,一個顏色可以由3種在顏色空間中不共線的顏色混合而得到,利用公式表達,即為:

(1)

(2)

式中:X,Y,Z及其下標1,2,3分別代表三基色的三刺激值;x,y,z代表對應的色坐標,下文同理;下標mix代表混合后的顏色。如果令混合后的顏色為白色,則最終得到的計算結果就是常見的三基色顯示系統。在已知基色和白色的色坐標的前提下,上述6個方程可以簡化成含有3個未知數的三方程組,因此對應特定的基色和白色,三基色顯示系統只有一組特定的Y刺激值的解。需要說明的是,Y刺激值和亮度存在對應的轉化關系,因此獲得了Y刺激值即相當于獲得了基色的亮度比例。而對于N(N>3)基色顯示系統,令j=N-3,公式則變為:

(3)

(4)

式中:下標white代表白色。顯然,對于多基色系統,上述方程由于增加了新的未知數,因此變為不定解方程,不存在如同三基色系統的一組定解來獲得白平衡,而是有無數種解。這對控制多基色顯示系統的白平衡,以及優化系統的基色參數提出了挑戰。

對于一個N(N>3)基色顯示系統,假設已知所有基色的色坐標和白色的色坐標。首先任意選取其中3個基色,得到如下刺激值條件限制:

(5)

(6)

式中:下標o代表選取的初始三基色混合成白色的情形。計算得到Yo,1,Yo,2,Yo,3,該結果代表選取的初始三基色混合成白色所需要的Y刺激值。在理論計算中通常令Ywhite=100來簡化計算,再將第j+3 (j≥1)個基色用前3個基色進行表示,有:

(7)

(8)

式中:下標j代表初始三基色混合成第j+3個基色的情形;Xj+3′,Yj+3′,Zj+3′代表此時第j+3個基色的三刺激值;xj+3,yj+3,zj+3代表其對應色坐標,下文同理。假設第j+3個基色的Y刺激值為kjYj+3′,引入kj參數作為變量,并令Yj+3′為常數方便計算,用這6個式子可以計算出Yj,1,Yj,2和Yj,3。由于多基色系統的定義是每個基色都不能由其它基色混合得到,因此此時Yj,1,Yj,2和Yj,3必然有負值,但并不影響后續計算,則此時多基色系統滿足:

(Yj,1+Yj,2+Yj,3)]=Ywhite

(9)

即:

(10)

上述兩個式子的物理意義是:為了增加新基色的Y刺激值,則必須按照比例降低原有三基色的Y刺激值;不難看出,式中每一項即對應每一個基色的Y刺激值。對于多基色顯示系統,每個基色的Y刺激值都應該大于0,因此有:

(11)

此不等式組即為N(N>3)基色系統的解空間,根據不等式組的性質,不難得出解空間的維度為N-3,而此時解空間中的點(k1,k2, …,kj, …)對應的多基色系統的基色亮度解為:

(12)

式中:Yj+3′都為常數,為了計算方便,通常設置為100。獲得了每個基色的Y刺激值后,根據每個基色的色坐標(xi,yi)(其中i=1,2,…,N)求出所有基色的三刺激值,將顯示系統的亮度按照Y刺激值的比例進行設置,即可得到一個多基色顯示系統。

在獲得了三刺激值后,在立體顏色空間中,根據參考文獻[20]中的計算方法,即得到立體色域,代表此多基色顯示系統可以顯示顏色的集合,目前最常用的立體顏色空間為CIEL*a*b*顏色空間。對于一組特定的基色和白平衡點參數,比較解空間中不同點對應的立體色域,即可獲得某組基色的最優亮度組合;而對比不同的基色和白平衡點參數組合的解空間,即可獲得最優的基色組合。

2 對解空間完備性和等價性的討論

首先,只有獲得多基色顯示系統的所有可能的參數組合前提下,才能進行最優化。因此有必要證明上述推導中的解空間是完備的,即該解空間包含了該特定基色和白色參數組合下所有的Y刺激值的可能搭配。

此處證明采用反證法。假設在某基色和白色參數組合下,存在一組Y刺激值(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)在解空間中不存在點(k1,k2,…,kj,…)和其對應。將(Y1′,Y2′,…,Yj′,…)代入式(12),由于式(12)的未知數為Yo,1′,Yo,2′,Yo,3′和kj′,未知數數目和方程數一致,且方程互相線性無關,故該方程可必然反解出唯一解(k1′,k2′,…,kj′,…),此點不在解空間內,故該點必然不滿足式(11),即Yj′中存在負值。因為Y刺激值和亮度可按照比例對應,由于負亮度不存在,故不存在這樣一組Y刺激值不在式(11)和式(12)的包含范圍內。因此解空間是完備的。

然后需要證明解空間的等價性。從之前的推導中可以看出,解空間的推導基于最先選擇的三基色的參數。不同的初始三基色計算出來的解空間的范圍顯然不同。但是,解空間中的點對應的基色Y刺激值是等價的,即一個初始三基色計算出的解空間中的點(k1,k2,…,kj,…)對應的一組基色Y刺激值,必然可以在另一組初始三基色計算出的解空間找到一個對應點(k1*,k2*,…,kj*,…)。

對于解空間1,其中的坐標點(k1,k2,…,kj,…)對應的基色Y刺激值如下式所示:

(13)

其對應的解空間為:

(14)

對于解空間2,初始三基色更換后,其解空間和基色Y刺激值如下所示:

(15)

(16)

注意此時的兩套符號中,雖然仍為原基色組,但編號順序發生了變化,這是由于選取的初始三基色不同導致的,也即式(13)和式(14)中的Yi與式(15)及式(16)中的Yi*(其中i=1,2,…,N)代表不同的基色,相當于交換了順序,更換了初始三基色,原先用來表征其它基色的顏色變成了被表征顏色,而Yj+3′和Yj+3對應,Yj+3″和Yj+3*對應,形式的含義和式(11)、式(12)表征的解空間的基本形式一致。根據解空間的完備性,即式(13)和式(15)對應的解空間都是完備的,則解空間1中的基色Y刺激值組,必然滿足式(15),因此根據式(16)必然可以反解出解空間2中的唯一點(k1*,k2*,…,kj*,…)。因此不同初始三基色的選擇雖然會導致解空間的差異,但是由解空間中的點導出的基色Y刺激值組,是完備并且一致的。由此可以得出結論:該方案對于多基色系統的基色亮度計算是成功的。

3 計算范例及解空間的相關性質

為了進一步說明本文中的算法,現采用模擬樣例進行說明。表1中給出了模擬樣例的色坐標,這里從三基色激光顯示系統出發,添加新基色擴展為四基色、五基色和六基色系統,觀察其解空間的演化。最初的三基色顯示系統,選擇其色坐標匹配Rec.2020色域標準。白色的色坐標(xwhite,ywhite)均設置為(0.3127,0.3290),其Y刺激值設置為100。表中3P,4P,5P,6P分別代表三基色、四基色、五基色、六基色激光顯示系統,R1,R2,G1,G2,B1,B2分別代表不同波長的兩種紅基色、綠基色和藍基色。

表1 模擬中采用的基色色坐標Table 1 Chromatic coordinates in the simulation

對于三基色系統,根據式(5)和式(6)可計算出:

(17)

根據MASAOKA提出的方案[20]來計算立體色域,在CIEL*a*b*空間中畫出其立體色域,如圖1所示。圖中,L*為亮度,a*軸正負分別代表紅綠色,b*軸正負分別代表黃藍色,其立體色域的體積為1854900。

圖1 R2,G1,B1構成的理想三基色顯示系統的色域Fig.1 Gamut of the ideal three-primary color display composed of R2,G1,B1

利用式(1)和式(2),將第4個基色G2用初始的三基色R2,G1,B1進行表示,有:

(18)

代入式(11),得到四基色顯示系統的解空間:

0

(19)

圖2a中給出了四基色顯示系統的色域體積隨k1變化的趨勢。利用MASAOKA提出的多基色立體色域計算方法[20]對色域體積進行計算,可以看出,在k1=0.34時,色域體積取最大值2185100,此時色域如圖2b所示。

圖2 a—解空間及對應的k1的取值范圍和色域體積 b—當k1=0.34時的色域Fig.2 a—solution space and the range of k1 and the corresponding values of color gamut volume b—the gamut when k1= 0.34

再添加基色R1,同樣按照上述步驟,有:

(20)

圖3a為五基色顯示系統的解空間,在一個平面范圍;圖3b為k1=0.34和k2=0.15時的立體色域,色域體積為2258400。

圖3 a— 解空間及對應的k1和k2的取值范圍 b—當k1=0.34,k2=0.15時的色域Fig.3 a—solution space and the range of k1 and k2 b—the gamut when k1=0.34 and k2=0.15

對于六基色顯示系統,添加基色B2,同樣的,有:

(21)

其解空間如圖4所示。當k1=0.34、k2=0.15、k3=0.01時,立體色域如圖4b所示,色域體積為2395800。

圖4 a—解空間及對應的k1,k2和k3的取值范圍 b—當k1=0.34,k2=0.15,k3=0.01時的色域Fig.4 a—solution space and the range of k1, k2 and k3 b—the gamut when k1=0.34, k2=0.15 and k3=0.01

4 討 論

根據圖例中的解空間可以看出,每增加一個基色,解空間就增加一個維度。本文中的解空間獲取,是在基色亮度無限制的情況下進行計算的。在實際應用中,考慮到實際光源的亮度和成本限制,必然存在更多的約束條件,比如要求某種基色的亮度低于某個值。在這種情況下,就需要對計算添加更多的約束條件,即增加不等式的數目,但這并不改變解空間的維度,只是改變了解空間的形狀。在約束后的解空間中,依舊可以采取同樣的方式,來獲得需要的基色亮度配比。從上述的計算樣例中可以發現,四基色顯示系統的解空間,為五基色顯示系統的解空間的一條邊界,而五基色顯示系統的解空間,為六基色顯示系統解空間的底面。因為解空間由式(11)構成,其邊界應當為其中某些不等式等于0的情形,即對應維數降低的顯示系統。因此N基色顯示系統的解空間的邊界實際上涵蓋了(N-1),(N-2)…,一直到三基色,所有以這些參數作為基色的理論顯示系統的解空間。本文作者提出的方法成功解決了多基色顯示系統中基色亮度選擇的問題。結合色域體積的計算,可以對多基色顯示系統的光源參數進行適當的優化,以滿足實際的顯示需求。

5 結 論

基于多基色顯示系統和和三基色顯示系統的差異,本文作者通過參數不等式的方式,在給定白平衡點和基色色坐標的情況下,理論上推導了多基色顯示系統中基色亮度的設置問題。求解出多基色顯示系統的亮度所對應的解空間,并對解空間的等價性和完備性進行了證明。同時,本文中采用理想的四基色、五基色和六基色顯示系統對整體算法進行了演示,并探究了解空間的相關性質。結合立體色域的計算,通過遍歷解空間,可以很容易地得到理論最大色域體積。該算法可以推廣至任意種光源的多基色顯示系統。結合色域體積的計算,該理論可用于指導基色波長、譜寬和亮度的選擇。在未來的工作中,將繼續探索基于該方法的顏色管理理論,提升色彩的還原程度和表現力。