具有Allee效應和B－D項的Leslie－Gower模型解的存在性

程丹丹　李暢通　馮孝周　劉夢妍

摘要：研究一類具有B－D反應項和Allee效應的改進Leslie－Gower模型正解的性質.首先，運用極大值原理、上下解方法對模型正解進行先驗估計，利用線性化算子得到正常數解的漸近穩定性.其次，利用Poincare不等式證明非常數正解的不存在性，進一步，利用Leray－Schauder度理論闡明非常數正解存在的充分條件.最后，通過數值模擬驗證常數解的穩定性及Allee效應常數對食餌和捕食者種群密度的影響.

關鍵詞：Allee效應；漸近穩定性；Leslie－Gower模型；度理論；數值模擬

中圖分類號：O 175.25文獻標志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0006－08

Existence of solutions to Leslie－Gower models with Allee effect and B－D terms

CHENG Dan－dan，LI Chang－tong，FENG Xiao－zhou，LIU Meng－yan

Abstract：The properties of a class of positive solutions to the improved Leslie－Gower model with B－D reaction terms and Allee effects were studied.Firstly，the maxima principle and the super－sub solution method were used to make a priori estimate for the positive solution of the model，and the asymptotic stability of the normal number solution is obtained by using the linearization operator.Secondly，the Poincare inequality was used to prove the non－existence of non－normal positive solutions.In addition，the Leray－Schauder degree theory was used to clarify the sufficient conditions for the existence of non－constant positive solutions.Finally，numerical simulation was used to verify the stability of the constant solution and the effect of the Allee effect constant on the population density of prey and predator.

Key words：Allee effect;asymptotic stability;Leslie－Gower model;degree theory;numerical simulation

0 引言

在生物數學中，研究不同物種密度之間的關系一直是科學家們非常關心的問題［1－2］.近年來，通過捕食－食餌模型描述物種動力學關系已成為熱點.

1931年，美國生態學家Allee提出Allee效應［3－11］來描述種群密度與種群增長率之間的正相關關系；20世紀40年代，Leslie考慮到食餌種群數量對捕食者種群數量的影響，提出了著名的Leslie－Gower模型［12－13］；1960年，Leslie等［14］發現，當捕食者的環境容納量和食餌的數量達到一定比例時，捕食者的成長率會受到影響，于是提出了修正的Leslie－Gower模型.21世紀初，Aziz－Alaoui等［15］指出，捕食者成長期內由于沒有足夠多喜歡的食物，它的成長將受到限制，從而提出了具有HollingⅡ型功能反應項的改進Leslie－Gower捕食－食餌模型

其中，u，v分別為食餌種群和捕食者種群數量；b代表食餌的種內競爭，a1，a2表示對應物種的平均減少率的最大值；r1，r2分別為食餌與捕食者的自然增長率；k1，k2分別衡量環境對食餌和捕食者的保護程度.1975年，Beddington［16］和Deangelis等［17］提出了B－D功能反應項αx/（a+bx+cy），相較于Holling Ⅱ型功能反應項，它在分母上加了一項cy來模擬捕食者之間的相互影響.2014年，Yu［18］將B－D項和改進的Leslie－Gower模型結合，得到模型

在自然界中，各物種在空間分布上是不均勻的，這種不均勻極大地影響了種群的發展，結合以上思想，本文在Neumann邊界條件和具有Allee效應及B－D項的Leslie－Gower捕食模型的基礎上，考慮反應擴散方程組［9］

其中Δ為拉普拉斯算子;u，v分別代表食餌和捕食者的種群密度;Ω是Rn中具有光滑邊界的有界開區域，Ω指有界開區域的邊界;uv/（a+u+kv）是B－D反應項，參數d1，d2代表擴散系數，hv/（a+u+kv）

1 正解的先驗估計和穩定性

首先根據最大值原理，對模型（2）正解進行先驗估計，并討論正常數解的穩定性，為計算方便，設Γ=Γ（a，b，h，α，β）.

引理1 設h*>0，則一定存在常數T1=T1（Γ，h*）>0，使得當d1，d2≥h*時，模型（2）的任意正解（u，v）均滿足

從圖1可以看到，不同條件下模型（2）的動力學行為很復雜.圖1（a）中：a=0.1，α=0.88，b=1.1，其對應的邊界平衡解E1=（1，0）是穩定的；圖1（b）中：a=2，α=8.5，b=0.1，其對應的邊界平衡解E2=（0，0.268）是穩定的；圖1（c）中：a=2，α=0.88，b=0.1，其對應的正常數平衡解為E3=（0.851，0.428），根據引理1，當滿足一定條件時，模型（2）的正常數平衡解是漸近穩定的.系統參數的改變對系統平衡點的影響很大，所以選擇合適的參數有利于對種群數量進行控制.

圖2為對應圖1在時刻T=30時u，v的剖面圖，圖2（a）所有參數都與圖1（a）相同，圖2（b）所有參數都與圖1（b）相同，圖2（c）所有參數都與圖1（c）相同.可以直觀地發現不同條件下模型（2）平衡點的穩定性，驗證了本文結論的正確性.

圖3顯示了Allee效應b對食餌和捕食者密度的影響，參數a=2，α=0.88，其他參數與上述相同.在圖3（a）～（d）中，b分別取0.1，0.2，0.5，1.0，初始條件u0（x）=0.2cosx+0.8，v0（x）=0.7cosx.從圖3可以清楚地觀察到u，v的變化.隨著Allee效應的增強，食餌u的種群密度不斷增加，而捕食者v的種群密度降低，這說明Allee效應對系統的動力學性質有很大的影響.

5 結論

本文討論了具有B－D項和Allee 效應的改進的Leslie－Gower 模型.首先利用最大值原理得到了正解的先驗估計，再利用線性化算子得出了正常數解的漸近穩定性.進一步，利用Poincare不等式證明了非常數正解的不存在性，并給出了非常數正解存在的充分條件.最后對模型進行了數值模擬，驗證了理論分析的正確性.

參考文獻：

［1］馮孝周，李艷玲.一類帶B－D反應項的捕食模型平衡解的局部分歧及穩定性［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2007，43（1）：8.

［2］李暢通.一類具有非線性脈沖的捕食與被捕食系統的定性分析［J］.應用數學與力學，2020，41（5）：568.

［3］ALLEE W C.Animal Aggregations：A Study in General Sociology［M］.Chicago：The University of Chicago Press，1931.

［4］SOURAV R，SABYASACHI B，SUDIP S.Spatio－temporal dynamics of Leslie－Gower predator－prey model with Allee effect on both populations［J］.Math Comput Simul，2022，200：32.

［5］ARANCIBIA－IBARRA C，FLORES J.Dynamics of a Leslie－Gower predator－prey model with Holling type II functional response［J］.Math Comput Simul，2021，188：1.

［6］LI Ya－Jiang，HE Meng－xin，LI Zhong.Dynamics of ratio－dependent Leslie－Gower predator－prey model with Allee effect and fear effect［J］.Math Comput Simul，2022，201：417.

［7］ZHU Zhen－liang，CHEN Yu－ming，LI Zhong.Stability and Bifurcation in a Leslie－Gower Predator－Prey model with Allee effect［J］.Int J Bifurcat Chaos，2022，32（3）：.

［8］馮孝周，孫素平，戴志敏.具有強Allee效應及Holling－Ⅱ反應項的捕食－食餌模型的全局分歧解及穩定性［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2018，54（2）：6.

［9］代凈玉，李艷玲.一類帶有加法Allee效應的捕食－食餌模型共存解的存在性和穩定性［J］.西南師范大學學報（自然科學版），2020，45（11）：6.

［10］李海俠.具有Allee效應的捕食－食餌擴散模型定性分析［J］.工程數學學報，2021，38（1）：85.

［11］WANG J F，SHI J P，WEI J J.Dynamics and pattern formation in a diffusive predator－prey system with strong Allee effect in prey［J］.J Differ Equ，2011，251（4－5）：1276.

［12］LESLIE P H.Some further notes on the use of matrices in population mathematics［J］.Biom－etrika，1948，35：213.

［13］LESLIE P H.A stochastic model for studying the properties of certain biological systems by nume－rical methods［J］.Biometrika，1958，45：16.

［14］LESLIE P H，Gower J C.The properties of a stochastic model for the predator－prey type of interaction between two species［J］.Biometrika，1960，47：219.

［15］AZIZ－ALAOUI M A，DATHER O M.Bounden－ess and global stability for a predator prey model with modified Leslie－Gower and Holling－typeⅡ Schemes［J］.Appl Math Lett，2013，16（7）：1069.

［16］BEDDINGTON J.Mutual interference between parasites or predators and its effect on searing efficiency［J］.J Ecol，1975，44（1）：331.

［17］DEANGELIS D，GOLDSTEIN R，O NEILL R.A model for trophic interaction［J］.Ecology，1975，56（4）：881.

［18］YU S.Global stability of a modified Leslie－Gower model with Beddington DeAngelis functional response［J］.Adv Differ Equ，2014，84（13）：1.

［19］趙丹，楊文彬，李艷玲.一類捕食者帶有Allee效應的改進Leslie－Gower系統的定性分析［J］.陜西師范大學學報（自然科學版），2019，47（6）：105.

［20］WANG M X.Nonlinear Parabolic Equation［M］.Beijing：Science Press，1993.

［21］YANG Wen－bin.Existence and asymptotic beha－vior of solutions for a predator－prey system with a nonlinear growth rate［J］.Acta Appl Math，2017，152（1）：57.

（責任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2023－02－05;修改稿收到日期：2023－08－30

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11901370，12001425）；國家大學生創新創業訓練計劃項目（202110702010）；陜西省自然科學基礎研究計劃項目（2020JM－569）；西安工業大學研究生教育改革重點項目（XAGDYJ220106）

作者簡介：程丹丹（1997—），女，甘肅平涼人，碩士研究生.主要研究方向生物數學.E－mail：1526570471@qq.com

*通信聯系人，講師，博士.主要研究方向為生物數學.E－mail：lctnihao@163.com