一類求解非線性對流擴散方程的線性多步法

張莉　羅春林　張瀚月

摘要：研究一類非線性對流擴散方程，利用中心差商和線性多步法構造了一種新的在空間和時間上都具有二階精度的差分格式，并利用Fourier分析和凍結系數方法分析了差分格式的穩定性，最后通過5種不同類型的數值算例驗證了新方法求解非線性對流擴散方程的有效性.

關鍵詞：非線性對流擴散方程；中心差商；線性多步法；Fourier分析；凍結系數法

中圖分類號：O 241.82文獻標志碼：A文章編號：1001－988Ⅹ（2024）02－0029－08

A second－order linear multi－step method for solving nonlinearconvection－diffusion equations

ZHANG Li LUO Chun－lin ，ZHANG Han－yue

Abstract：A new scheme is developed for the nonlinear convection－diffusion equations in this paper.Based on the central difference and linear multi－step method，the proposed scheme achieves second－order accuracy in temporal and spatial variables.By using the Fourier method and freezing coefficient method，the stability of the proposed method is analyzed.Finally，numerical results illustrate the performance of the new scheme and support the theoretical properties of the estimator.

Key words：nonlinear convection diffusion equation;central difference;linear multi－step method;Fourier analysis;freezing coefficient method

0 引言

對流擴散方程在能源開發、流體力學、環境科學和電子科學等眾多領域都有著廣泛的應用，它可以用來描述大氣和河流中污染物質的分布與擴散、工業領域的流動與熱傳導、交通流等物理現象.然而求解非線性對流擴散方程的精確解非常困難，因此數值解的研究具有重要的理論意義和應用價值.

近年來，求解非線性對流擴散方程的數值方法研究取得了很大的進展，如有限差分方法、有限元方法、機器學習方法等，其中有限差分方法是最常用的一種高效數值方法.有限差分法是一種用一個差值多項式及其微分來代替偏微分方程的解的數值離散方法.用有限差分法求解偏微分方程，首先要把所給方程的求解區域進行網格剖分，然后再對方程中的導數進行充分近似，得到關于網格點上未知函數的線性代數方程組，解此線性代數方程組就得到了原問題在離散點上的近似解［1］.

線性對流擴散方程差分方法的研究成果非常豐富.田振夫［2］利用構造Hermite插值多項式的思想，對無對流項和無源項的兩類對流擴散方程提出了一類具有迎風特征又兼顧穩定性和高精度的差分格式，其截斷誤差為O（h4+τ ）；侯波等［3］針對同樣模型先利用泰勒展開再對截斷誤差余項進行三階導數修正，提出了一種在時間和空間方向上均具有四階精度的格式，該格式優點是無需啟動步的計算并且靠近邊界點的計算不會用到計算域以外的網格節點.對于無對流項的對流擴散方程，Liao等［4］首先利用二階中心差分對空間導數進行近似，然后利用Padé逼近構造出空間方向四階格式；王彩華等［5］提出了含參數ε的無源項對流擴散方程，并設計出橫向系列差分格式和縱向系列差分格式，分別應用于大參數和小參數的情況，其精度可達到二、四、六及更高階；針對非定常對流擴散方程，王濤等［6］證明了其存在一致四階緊致格式，并使得構造格式的邊界點的計算與內點的計算格式截斷誤差的主項保持一致.以上針對對流擴散方程的研究雖然都聚焦在線性方程上，但其思想也給非線性對流擴散方程的研究提供了思路.

處理非線性對流擴散方程的重點是非線性項的離散，這一直是研究非線性問題的一個難點.2007年，El－Azab［7］利用一個松弛參數對給定的非線性問題進行線性化，對非線性拋物項進行正則化來達到非線性問題線性化解決的目的；屈改珠等［8］通過建立不變集來研究（1+1）維帶有對流項和源項的非線性對流擴散方程的精確解；Liao［9］將文獻［4］的思想進一步推廣應用到二維問題中，提出了一種Neuman邊界條件的非線性反應擴散方程的四階緊致算法；吳吉明等［10］在時間方向上采用顯隱交替格式，在空間上利用中心差分處理非線性項，構造了一種截斷誤差為O（h +τ ）的差分格式；Wang［11］采用算子緊湊隱格式（OCI）對空間進行離散，用算子代替非線性項并構造格林函數，通過找出其與待求函數的關系來處理非線性項，結合Crank－Nicolson格式對時間方向離散，得到一種新的單調緊湊隱格式（MCI），其截斷誤差為O（h4+τ ）；Liu等［12］通過降階法處理非線性項，提出了一種有非局部Robin邊界條件的有限差分法來處理非線性問題，其截斷誤差為O（h +τ ）；Zahra等［13］開發了一類基于指數擬合技術的四階或六階空間數值方案來逼近具有固定階數的非線性方程，其截斷誤差為：時間二階、空間四階或六階；楊錄峰［14］對空間導數用三點四階緊差分格式進行離散來處理非線性項，在時間上采用二階MacCormack預報校正格式進行推進，其截斷誤差為O（h4+τ ）.上述針對非線性對流擴散方程的相關研究，雖然誤差只能達到O（h4+τ ），但是計算效率得到了提高；有些誤差雖然能達到O（h4+τ ），但模型比較特殊，只有擴散項是非線性的或只有對流項是非線性的.然而對于更一般的非線性對流擴散方程的數值方法的研究甚少.本文考慮擴散項和對流項都是非線性的情況，構造的數值格式在空間和時間上都是二階的.

其中x∈Ω，t∈（0，T］，u（x，t）是未知函數，t∈（0，T］；A（u），B（u），f（u，x，t）是給定函數，擴散系數A（u）滿足A（u）>0，系數B（u）通常表示對流速度，f（u，x，t）是反應項.受文獻［14］處理非線性項技巧的啟發，本文利用中心差分處理非線性項，同時在時間方向上采用了精度更高的二階線性多步法，構造的離散差分格式在時間與空間上同時保持二階收斂精度.

1 二階差分格式的構造

表3給出了格式（9）在M=N ，T=1，h分別取1/10，1/20，1/40，1/80，1/160，1/320時計算得到的問題的誤差和收斂階.數值結果表明本文差分格式的收斂階趨近為2，與理論推導完全一致.取N=100，M=1 000，在T=1.2時刻給出問題的數值解與精確解見圖5，由圖5可以看出，本文得到的數值解與精確解基本吻合.圖6給出當N=100，M=10 000，T=0.8時該問題精確解和數值解曲面，由圖6可見，本文差分格式得到的數值解與精確解圖形匹配程度較好，誤差較小.

4 結束語

本文針對非線性對流擴散方程提出了一種新的差分方法，在空間上采用經典的中心差商公式對非線性項進行離散，在時間方向巧妙地結合二階線性多步法進行離散，新的差分格式在時間和空間上都具有2階精度.對非線性項進行系數凍結，根據Fourier分析得到該格式的收斂條件.最后選取5種不同類型的數值算例，從多個方面對本文提出的數值格式的有效性進行驗證，結果表明，本文提出的方法對于求解各類非線性對流擴散方程均是有效的，且精度都是2階收斂.

參考文獻：

［1］張文生.科學計算中的偏微分方程有限差分法［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］田振夫.一維對流擴散方程的四階精度有限差分法［J］.寧夏大學學報（自然科版），1995（1）：30.

［3］侯波，葛永斌.求解一維對流方程的高精度緊致差分格式［J］.應用數學，2019，32（3）：635.

［4］LIAO W，YAN Y.Singly diagonally implicit Runge－Kutta method for time－dependent reaction－diffusion equation［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2011，27（6）：1423.

［5］王彩華，杜金月，張靜.無源對流擴散方程的兩類修正差分格式［J］.應用數學，2020，33（3）：757.

［6］王濤，劉鐵鋼.求解對流擴散方程的一致四階緊致格式［J］.計算數學，2016，38（4）：391.

［7］EL－AZAB M S.Solution of nonlinear transport－diffusion problems by linearization［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，192（1）：205.

［8］屈改珠.（1+1）維帶有對流項和源項的非線性擴散方程的新精確解［J］.西北師范大學學報（自然科學版），2010，46（4）：10.

［9］LIAO W，ZHU J，KHALIQ A Q M.A fourth－order compact algorithm for nonlinear reaction－diffusion equations with Neumann boundary conditions［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations：An International Journal，2006，22（3）：600.

［10］吳吉明，李嘉正，楊曉忠.一類非線性反應－擴散－對流方程的顯隱交替差分方法［J］.內蒙古大學學報（自然科學版），2021，52（4）：354.

［11］WANGY，GUO B.A monotone compact implicit scheme for nonlinear reaction－diffusion equations［J］.Journal of Computational Mathematics，2008：123.

［12］LIU J，SUN Z.Finite difference method for reaction－diffusion equation with nonlocal boundary conditions［J］.Numerical Mathematics（English Series），2007，16（2）：97.

［13］ZAHRA W K，NASR M A，VAN DAELE M.Exponentially fitted methods for solving time fractional nonlinear reaction－diffusion equation［J］.Applied Mathematics and Computation，2019，358：468.

［14］楊錄峰.非線性對流擴散方程的預報校正緊差分格式［J］.黑龍江大學自然科學學報，2013，30（4）：462.

［15］薛毅.數值分析與科學計算［M］.北京：科學出版社，2011.

［16］余德浩，湯華中.微分方程數值解法［M］.北京：科學出版社，2003.

（責任編輯 馬宇鴻）

收稿日期：2023－03－06;修改稿收到日期：2023－08－08

基金項目：四川省科技計劃資助項目（2022JDTD0019）

作者簡介：張莉（1982—），女，陜西大荔人，副教授，博士.主要研究方向為偏微分方程數值方法.E－mail：lizhang_hit@163.com