基于氣動方程的列車管路充排氣數學模型

應之丁， 范 琳， 周和超

（同濟大學 鐵道與城市軌道交通研究院，上海，201804）

列車技術的發展對制動性能提出了更高的要求，需要進行新制動閥的研制或者對現有制動閥進行改進，并進行不同編組列車制動性能的測試和驗證，以滿足制動性能需求。傳統的制動特性定置試驗和線路試驗，不僅耗時耗力，得到的試驗數據十分離散。此外，在試驗臺上進行的驗證性試驗，不僅需要大量的新閥和更換制動閥，而且難以達到對新型制動系統做出預測的目的，成本高，周期長。通過理論推導的方式，建立整個編組列車的氣壓變化傳遞規律數學方程，很難滿足精度要求，也很難將各種復雜的工況考慮全面。

基于小編組實物制動系統的前提下，考慮將首車模型數據曲線作為控制的目標曲線，輸入到小編組實物制動系統的首車中，利用小編組的循環級聯得到大編組列車的列車管氣壓變化數據，重點研究列車制動管路氣壓變化傳遞規律，進而研究大編組列車的制動性能。將首車模型與小編組實物制動系統試驗數據相結合，從而建立半實物智能化仿真試驗系統，實現對大編組列車制動系統性能的預測。其中不同編組列車首車列車管壓力控制數學模型作為連接虛擬列車制動系統與后部車輛實物制動系統的接口控制關鍵軟件，其列車管初充氣及常用制動工況下的控制模型準確性，對整個編組列車控制模型的準確性具有決定作用。

國內外多個專業團隊針對列車的控制模型及仿真試驗做出了相關研究，并取得了一定的成果。文獻[1］基于列車空氣制動系統簡潔有規律的氣壓傳遞管路，建立了列車制動系統半實物仿真平臺及空氣制動模型：文獻[2］利用AMESim軟件仿真分析了列車在不同工況下的制動性能；文獻[3］建立了車輛系統、制動系統和控制策略的多系統協同分析平臺；文獻[4］建立了基于環境的列車制動模型，并提出了相應的制動模型辨識方法；文獻[5］建立了氣制動與縱向動力學集成系統的氣制動系統模型，解決了列車縱向動力學研究中氣制動力的激勵和輸入問題；文獻[6］建立的制動模型綜合考慮了空氣黏度、傳熱等空氣波現象。

本文從氣動系統流體力學基本原理入手，建立了不同編組列車首車列車管的氣路氣容充排氣數學模型，以初充氣為例，該模型既考慮了風源向首車列車管充氣，同時也考慮到了空氣經過首車列車管繼續向后傳遞的過程。同時引入修正系數對將除首車之外的其余車輛的列車管看作一個氣容時，由于列車管橫截面積小，長度大的形狀特征所帶來的計算偏差進行修正。并且提出通過對閥有效截面積的設計計算，并帶入所建立的數學模型中進行仿真試驗，從而對研制新制動閥及改進或檢修制動閥提供理論基礎與技術指導。

1 氣動系統流體力學原理

1.1 完全氣體狀態方程

在外界條件的變化下，系統內的氣體能夠極快的建立一系列的新的平衡狀態。在平衡狀態下，完全氣體的壓力、體積和溫度三個量間的數學關系，叫做完全氣體狀態方程。實際制動系統管路氣態方程非常復雜，難以解析并應用于實時控制，為尋找管路氣壓傳遞規律，可以先利用完全氣體假設推導首車列車管的充排氣數學模型，此后根據試驗數據規律做流體傳遞修正。

式中：p為絕對壓強；V為體積；N為物質的量；R為氣體常數，對空氣有R=287N·m·(kg·K)－1；T為熱力學溫度。

1.2 質量流量方程

在dt時間內，充入容器內的氣體質量為

式中：m1是充入容器內的氣體質量；qm1是dt時間內流入容器的質量流量。

在dt時間內，從容器內放出的氣體質量為

式中：m2是從容器內放出的氣體質量；qm2是dt時間流出容器的質量流量。

當回路處于聲速流動時，回路中通過的氣體質量流量的計算公式為

式中：qm為回路中通過的氣體質量流量，kg·s-1；P1為氣動元件上游管道內的靜壓力（絕對壓力），kPa；P2為氣動元件下游管道內的靜壓力（絕對壓力），kPa；T1為氣動元件上游的總溫，K；S為節流孔有效截面積，m2；b為臨界壓力比。對于一般氣動元件，臨界壓力比b=0.2～0.5[7］。

當回路處于亞聲速流動時，回路中通過的氣體質量流量的計算公式為

1.3 有效截面積

1.3.1 制動閥的有效截面積

推導制動控制模型的目的之一是用于構建研制新制動閥與改進或檢修制動閥的技術分析平臺。通過利用幾何面積合成法，計算閥的有效截面積（與閥體內部關鍵的進排氣通路孔徑和布置有關），并代入所推出的充排氣數學模型中，從而分析閥的充排氣性能，為以后閥的改進提供理論依據[8］。

式中：S0為閥的有效截面積；M為閥內節流口的數量；Ai為第i個節流口的面積，i=1，2，…M。

1.3.2 管路系統的合成有效截面積

氣體流過復雜的氣動元件時，其流動損失是不能忽略的。因流經空氣管道的空氣流受空氣黏性的影響，所以與通過受黏性影響極小的小孔流動在各種情況下都不相似，但若附加上空氣黏度來進行充排氣時間等的計算，會使計算變得更加復雜，所以將管道換算成等價的小孔，即管道帶來的氣體流動損失也用有效截面積S來表示。S作為閥和管道總的有效截面積[9］。本研究中將首車列車管看作一個氣容，其余車輛的列車管看作一個氣容，所以風源向首車列車管充氣時，管路系統的有效截面積是由風源到首車列車管之間的各類閥和管路的折算有效截面積。首車列車管向后部車輛充氣時，管路系統的有效截面積即為首車列車管折算有效截面積。在實際管路中管道和閥是串聯連接的，合成有效截面積由式（7）求得

式中：g為管道及閥的總數量；Sj為第j個管道或閥有效截面積，j=1，2，…g。

1.3.3 聲速與亞聲速條件下的有效截面積的關系

因為氣體在不同的流態下，流過流道時產生的壓力損失是不同的，而有效截面積正是用來表示器件內通道流通能力的物理量，所以即使是同一個元器件，在通過不同流態的氣體時，其有效截面積也是不相等的，設亞聲速流態下元件的有效截面積為A，聲速流態下元件的有效截面積S，則兩者有以下關系[10］

實際上A為不可壓縮流態下的有效截面積，在這里近似為亞聲速流態下的有效截面積。其中，節流閥口的理論有效截面積為30Πmm2[11］。

2 不同編組列車首車列車管的氣路氣容充排氣數學模型

模擬不同編組列車制動系統試驗，即利用氣動方程推導的首車列車管傳遞規律模型控制不同編組列車的首車列車管壓力，并結合制動系統試驗臺進行試驗驗證，修正每次小編組車輛循環級聯壓力控制模型，利用小編組實物車輛制動系統循環級聯試驗，實現多編組列車制動系統試驗。

在此前的研究中[12］提出可將列車管簡化為相應的等效風缸來對其壓力變化進行研究，本文在此基礎上，將編組列車的首車列車管看作一個氣容，其余車輛的列車管看作一個氣容。初充氣時，每一時刻首車列車管內的壓力為風源充入首車列車管內的壓力減去首車列車管充入后部車輛列車管內的壓力，制動工況下類似，提出以下不同編組列車首車列車管充排氣數學模型。

2.1 首車列車管初充氣工況模型

列車管充氣初期階段壓力變化較快，各腔室和管路來不及與外界進行交換散熱，故剛開始充氣時接近絕熱過程。隨著氣缸內壓力增加，升壓速度開始減慢，最后接近等溫過程。由于試驗測得充氣時編組列車后部與首車列車管的壓力比值大于b（b=0.5），所以認為首車向后部車輛列車管的充氣過程為亞聲速。

如圖1 所示，壓力為P1， 溫度為T1的恒定的氣源，經過有效截面積為S， 臨界壓力比為b的管路系統，向另一容積為V，初始壓力為P20、初始溫度為T20（設T20=T1）的容器內充氣。

圖1 充氣過程Fig.1 Inflation process

由此得到充氣時列車管的簡化模型如圖2所示，壓力為P1， 溫度為T1的恒定氣源，經過管路系統，向首車列車管等效為的容積為為單車列車管主管長度、直徑；L2、D2為單車列車管支管長度、直徑）、初始壓力為PL0、初始溫度為TS0（設TS0=T1）的容器內充氣，同時首車列車管等效為的氣容，向后部車輛等效為的容積為為 列 車 編 組數）、初始壓力為Ph0、初始溫度為Th0（設Th0=T1）的容器內充氣。

圖2 充氣時列車管簡化模型Fig.2 Simplified model of train tube when inflating

2.1.1 首車列車管絕熱充氣階段數學模型

對定容積的絕熱充氣，有[13］

其中，k為等熵指數，對空氣，k=1.4。

由式（1）、（2）、（9）可得

聲速充氣時，即P2/P1≤b時，令式（4）與式（10）相等得容器由P20充至P2所需的充氣時間為

亞聲速充氣時，即b＜P2/P1≤ 1時，令式（6）與式（10）相等得容器由P20充至P2所需的充氣時間為

由式（11）、（12）可得向封閉容器絕熱充氣時，容器內壓力與時間的關系為

由式（13）可得編組列車首車列車管絕熱過程初充氣的數學模型為

式中：W為長大列車管等效為一個氣容時的等效系數；Sh為聲速流態下由風源到首車列車管之間的各類閥和管路的折算有效截面積；Ac為首車列車管向其后車輛進行亞聲速充氣時的列車管折合有效截面積。

2.1.2 首車列車管等溫充氣階段數學模型

等溫充氣即充氣過程中，容器內的溫度不變，即在圖1中有T2=T20=T1。

將式（1）代入式（2）可得

同絕熱充氣段推導，可得聲速與亞聲速充氣時，容器由P20充至P2所需的充氣時間為

由式（16）可得向封閉容器等溫充氣時，容器內壓力隨時間的變化關系為

由式（17）可得編組列車首車列車管等溫過程初充氣的數學模型為

其中，Ah為亞聲速流態下由風源到首車列車管之間的各類閥和管路的合成有效截面積。

2.2 首車列車管制動工況模型

與初充氣工況類似，制動工況下的列車管排氣也為先絕熱排氣，后等溫排氣的過程。后部車輛列車管向首車列車管的排氣過程為亞聲速過程。

如圖3 所示，某一容器內的壓力空氣，經某氣動元件或氣動回路，向外界或另一容器放氣。其中該容器的容積為V，初始壓力為P10、初始溫度為T10，氣動元件的流量特性參數為S和b，氣動元件下游的壓力為P2，系統溫度T10=T2。由此得到的列車管放氣時的簡化模型如圖4所示。

圖3 放氣過程Fig.3 Deflated process

圖4 放氣時列車管簡化模型Fig.4 Simplified model of train tube when deflating

2.2.1 首車列車管絕熱排氣階段數學模型

根據質量守恒定律和能量守恒定律，可得到絕熱排氣時，對定容積容器，滿足[14］

由式（1）、（3）、（19）可得

同絕熱充氣階段推導可得聲速與亞聲速放氣時，容器由P10充至P1所需的排氣時間為

其中，亞聲速排氣時，利用了亞聲速絕熱充氣與等溫充氣的關系，將亞聲速絕熱排氣時間表示為等溫排氣時間的1/k 倍，并利用修正系數Q（Q=22）進行了修正。

由式（21）得封閉容器絕熱排氣時，容器內壓力隨時間的變化關系為

由式（22）得編組列車首車列車管絕熱排氣時的數學模型為

由于不同制動級別下機車控制閥閥口控制流量不同，故引入閥口開度系數β，與聲速條件下閥的有效截面積S0相乘，用于區別不同制動級別下的閥口控制流量.

引入編組差異系數γ，與后部車輛列車管向首車列車管排氣時的列車管折合有效截面積Az相乘，表示除首車之外的后部車輛首車列車管向首車充氣時由于編組數不同造成的氣體損失量差異。

2.2.2 首車列車管等溫排氣段數學模型

與等溫充氣推導過程相同，可得在容器等溫排氣時，容器內的壓力隨時間變化的關系式為

由式（24）可得編組列車首車列車管等溫排氣過程的數學模型為

PL=

3 列車制動系統的仿真分析

為驗證本文提出的首車列車管充排氣模型的正確性，在中車某車輛有限公司的列車制動性能試驗臺上進行了試驗，試驗臺如圖5所示，主要由150輛車的制動系統及管路和測試氣壓的傳感器和排氣電磁閥、帶兩臺制動執行器半實物制動仿真測控系統組成，在試驗臺上進行試驗測得50、75、150編組時的首車列車管初充氣及1、7級制動時的氣壓數據。將試驗采集得到的數據運用MATLAB繪制出曲線圖，并將仿真模型計算所得的結果與其進行對比分析，以驗證模型的正確性。

圖5 試驗裝置圖Fig.5 Test setup diagram

3.1 初充氣工況驗證

3.1.1 模型基本參數

首車列車管初充氣工況模型的參數值列于表1，將參數值帶入模型中，計算初充氣工況下不同車輛編組列車首車列車管內壓力變化情況，并繪制曲線與真實試驗數據相比較。

表1 首車初充氣模型參數表Tab.1 Parameter table of the initial inflation model of the first car

3.1.2 仿真結果與試驗數據對比分析

初充氣至定壓500KPa 時，仿真曲線與試驗曲線如圖6所示。

圖6 初充氣曲線Fig.6 Initial inflation curve

由圖6可以看出，初充氣工況的仿真結果和試驗數據較為吻合，差異最大點在等溫聲速充氣與亞聲速充氣的分段點，偏差大小為15.8%，在允許范圍之內，仿真的正確性較好。

3.2 常用制動工況驗證

3.2.1 模型基本參數

首車列車管常用制動工況模型的參數值列于表2，列車管長度、直徑、溫度、等效系數參數在表1中已列出。將參數值帶入模型中，計算常用1級及7級制動工況下不同車輛編組列車首車列車管內壓力變化情況，并繪制曲線與真實試驗數據相比較。觀察參數表可得同一制動級別下各編組的βS0、βA0值相同，γAz值與編組數成正比，由此可預測出200 編組常用制動時的模型參數列于表2。

表2 首車制動模型參數Tab.2 Parameters of the first car braking model

3.2.2 仿真結果與試驗數據對比分析

常用1 級制動及7 級制動時的仿真曲線與試驗曲線如圖7所示。

圖7 制動工況列車管排氣曲線Fig.7 Exhaust curve of train pipe under braking condition

由圖7可以看出，1級制動時，仿真結果和試驗數據差異最大點在絕熱放氣段，偏差大小為2.1%；7級制動時，差異最大點仍在等溫聲速充氣與亞聲速充氣的分段點，偏差大小為9.3%，仿真的正確性較好。

3.3 更長編組首車列車管初充氣及常用制動列車管壓力預測

將表1、表2 列出的模型參數帶入首車列車管充排氣數學模型，令編組數為200，將所得數據繪制成曲線如圖8。將200編組首車列車管充排氣模型曲線作為控制目標曲線輸入到試驗臺中，通過小編組實物制動系統循環級聯便可得到200 編組列車初充氣及制動時各車的列車管氣壓數據，從而分析列車制動性能。

圖8 列車管充排氣曲線Fig.8 Charge and exhaust curve of the first train tube

4 結語

通過氣動系統流體力學原理，建立不同編組列車首車列車管充排氣時的壓力變化模型，以初充氣為例，該首車列車管模型既考慮了風源向首車列車管充氣，同時也考慮到了空氣經過首車列車管繼續向后傳遞的過程，即得到了首車列車管實際充排氣過程中的 “邊充邊排” 模型，理論上來說該模型更加準確。

本文提出通過計算或設計制動閥的有效截面積，進而帶入推導出的首車列車管氣路氣容充排氣數學模型中，根據模型數據結果分析制動閥的有效截面積對列車制動性能的影響，并通過試驗研究不同制動級別下閥口的開度大小，從而為研制新制動閥及改進或修理制動閥提供技術分析平臺。

利用列車制動系統智能化試驗平臺進行初充氣及常用1級、7級制動試驗，試驗曲線與仿真曲線吻合程度較好，最大偏差為15.8%，分析其原因為實際音速臨界常數b與理論值存在偏差，以及未通過試驗測得實際閥的有效截面積、管路系統的合成有效截面積及不同制動級別下閥口開度大小，今后將根據試驗測得更為準確的參數值。在今后的工作中也考慮加入修正曲線使曲線段得以平滑銜接。

作者貢獻聲明：

應之?。禾岢鲅芯克悸?，進行論文修訂等工作；

范 琳：設計研究方案，進行試驗、論文起草及修訂等工作；

周和超：研究方案修改，論文修訂等工作。