問學交融，觸及概念本質

于偉玲

［摘 要］平均數是統計學中常見的統計量。傳統平均數的教學偏重計算方法及其技能訓練，忽視學生對平均數概念本質的深層認識。教學時，教師應讓學生在真實的情境中提出問題，促進問與學的深度融合，逐步探索平均數的“代表性”“虛擬性”和“敏感性”，深刻理解平均數的統計意義，從而使深度學習真正發生。

［關鍵詞］問學交融；移多補少；虛擬性；敏感性

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0044-04

問題是學生深度學習的助推器，“問學課堂”的建構就是以學生的疑問為發端，引導學生提出有效的數學問題；以學生的學為核心，激活學生的數學思維；問中學、學中問，讓學生在積極主動的“問學”過程中，對數學概念進行深刻的理解和建構?！皢枌W課堂”將教學方式從單一封閉的師生對話式教學轉變為啟發式、探究式等開放式教學，充分凸顯學生的主體地位，從而達到增長學生智慧、提升學生素養的目的。

本文以人教版教材四年級下冊“平均數”的教學為例，探討“問學課堂”中如何引導學生在真實情境中提出問題，并以問題引領其逐步探索平均數的本質，從而尋求促進學生深度學習的有效路徑。

一、課前慎思，深度對話教材

平均數是統計學中最常見的刻畫數據集中趨勢的統計量，傳統教學側重于讓學生從算法的層面理解平均數的意義，將平均數的學習弱化為一種簡單的技能訓練。如何在問與學的深度融合中讓平均數從計算水平向統計水平轉變，真正培養學生的數據意識呢？為此，筆者在課前深耕教材、調研學情，翻閱大量的文獻資料，努力拓寬視野、延展思維，力求使課堂變得有溫度、有深度。

（一）研讀教材，深思存疑

研讀教材是深度教學的基礎?！捌骄鶖怠笔侨私贪娼滩乃哪昙壪聝缘膬热?，小學數學所說的平均數一般指算術平均數，它是學生在第一學段已經理解平均分及除法運算含義的基礎上學習的。教材設計了兩道例題，例1是利用象形統計圖呈現環保小隊4人收集的空水瓶數量，直接呈現問題“平均每人收集了多少個”。學生運用“移多補少”和“求和均分”兩種方法求平均數，得出平均數的含義，同時在這個過程中體驗平均數的“虛擬性”。例2是比較人數不同的兩組數據，通過問題“哪個隊的成績更好”，使學生感受到當人數不同時，用總數比較兩隊的成績是不公平的，而用每個隊的平均成績來比較能反映兩隊的整體水平，凸顯平均數的應用價值。

人教版教材的編排遵循了概念學習的基本路徑：概念（是什么）—方法（怎么求）—應用（有什么用）。這樣的編排能讓學生掌握“移多補少”和“求和均分”兩種求平均數的計算方法。筆者觀摩過數節青年教師的平均數教學課例，發現教師往往更重視教授“求和均分”的方法，對“移多補少”這一方法則蜻蜓點水，導致學生只記住了求平均數的公式。其實通過研讀教材可知，“移多補少”的方法更能體現平均數的統計意義。例1和例2兩個不同情境，將“算”和“用”分開，由于內容情境不連貫，學生對平均數本質的理解會有一定的割裂性。若教師簡單地按教材教學，就容易沖淡學生對平均數統計意義的理解，造成學生思維的淺表化。

（二）版本對比，適當改編

用怎樣的情境來進行平均數的教學，才能達到預期的效果？為此，筆者翻閱了蘇教版、北師大版、青島版3個版本的教材來與人教版對比并進行篩選。各版本教材的具體編排見表1。

表1 各版本教材關于“平均數”的具體編排

[教材版本 編排年級 編排內容 例題數量 人教版 四年級下冊 例1呈現一組象形統計圖，通過收集空水瓶的數據讓學生認識平均數的概念及計算方法。例2呈現兩組數據，通過比較人數不同的兩隊踢毽比賽成績，讓學生進一步認識平均數的意義。 2道 蘇教版 四年級上冊 例3呈現兩組套圈比賽成績，通過比較人數不同的男生、女生套中的個數，引出求平均數的方法及概念，突出平均數能較好地反映一組數據的總體情況。 1道

北師大版（分兩次編排）

四年級下冊 例題呈現了淘氣5次記住數字的情況統計表，引出學習平均數的必要性和求平均數的方法，突出平均數是一組數據平均水平的代表。 1道 五年級下冊 例1討論兒童免票乘車中“免票線從1.2 m調整到1.3 m”這個數據是如何得到的。例2討論歌手大獎賽中記分方法的合理性，認識平均數的“敏感性”。 2道 青島版 四年級下冊 例1呈現籃球比賽中兩名運動員小組賽的得分情況統計表，引出求平均數的方法及概念。突出平均數能較好地反映一組數據的整體水平。 1道 ]

從4個版本教材的編排來看，蘇教版和青島版教材都只編排了1道例題來教學平均數，問題情境都是以比賽為背景，呈現比賽人數或比賽場數不同的兩組數據。北師大版教材在第一次認識平均數時，問題情境呈現了一組數據，是單一對象從事同一種活動的多次結果。人教版教材呈現2道例題：例1呈現了一組數據，是多個對象從事同一種活動的統計結果；例2呈現了兩組數據，其情境與蘇教版、青島版教材例題的編排相同。

從教學平均數的計算方法來看，4個版本教材都采用了“移多補少”和“求和均分”兩種計算方法。其中，除了人教版教材是讓學生在象形統計圖上“移多補少”，其他3個版本的教材都是采用條形統計圖進行“移多補少”。4個版本教材中，“移多補少”都先于“求和均分”出現。一方面，用“移多補少”方法求平均數比較直觀，有利于加深學生對“平均數”概念的本質理解；另一方面，“移多補少”法對培養學生的數據意識有著獨特的價值。為此，后續的教學設計應凸顯“移多補少”的重要性。

基于以上分析，筆者結合人教版教材的實際情況和“問學課堂”的學習要求，適當改編教材內容，舍棄例1，從例2開始教學“平均數”。

（三）課堂前測，明晰學情

深度解讀教材之后，教師需要了解學生的認知水平和學習起點。學生對平均數到底了解多少？“移多補少”和“求和均分”這兩種方法，學生更容易接受哪一種？對于“平均數”這個課題，學生會提出怎樣的問題？基于這些思考，筆者設計了“平均數”前測卷（如圖1所示）。

前測卷設置了4道題目，前3題是針對學生的已有認知基礎提問，第1題和第3題考查學生是否能準確區分“平均數”和“平均分”，第2題考查學生對平均數概念的理解。從前3題可以看出，學習平均數的認知基礎是平均分和除法，知道平均數對應的結果是每份同樣多。實際上，學生容易把“平均數”和“平均分”混為一談，平均數的概念在學生的頭腦中是模糊的。前測結果顯示，將近一半的學生會計算平均數，那么在實際教學中，是否可以淡化平均數“求和均分”的計算方法，通過“移多補少”的方法來探究平均數的三重意義，從而培養學生的數據意識呢？第4題是詢問學生想了解哪些有關平均數的知識，學生的回答可以歸納為以下6個問題：

①平均數的意義是什么？

②平均數有什么作用，在生活中哪里可以用到？

③平均數是怎樣形成的？

④“平均數”和“平均分”的相同點和區別是什么？

⑤從統計圖中能不能看出平均數？

⑥平均數的公式是什么？

教師根據以上6個問題對學生在課堂上可能提出的問題進行預設，為開展“問學課堂”教學做好準備，讓教學設計做到有的放矢。

二、留足時間，喚醒學習需求

通過教材研讀、版本對比及學情調研，筆者確定了整體的教學思路。新課導入環節從例2的男生、女生踢毽比賽開始，從學生已有經驗入手引發認知沖突，揭示課題后讓學生針對課題提出問題，以問題引領學生深度學習，逐步探尋平均數的本質意義。

筆者適當改編教材內容，創設了從比較人數相等的男生隊、女生隊踢毽比賽成績（如圖2-1所示）到比較人數不等的男生隊、女生隊踢毽比賽成績（如圖2-2所示）?！叭藬挡煌趺幢容^”是學生理解上的難點，學生需要跳出思維定式，不僅要關注踢毽總數，還要關注參賽人數。對這一難點的有效突破必須建立在學生的自主理解之上，即通過現實情境在不同觀念的碰撞中認識到比較總數的不足，讓學生在思辨中體會到使用平均數的必要性。

面對平均數這一全新內容，教師要給學生留出充足的時間，先讓學生把迫切需要知道的知識提出來，再把學生提出的零散問題加以篩選、歸納，提煉為關鍵問題，如“什么是平均數？”“平均數有什么作用？”“生活中哪些地方能用到平均數？”“平均數是怎樣求出來的？”等。這幾個關鍵問題正是后續學習新知需要探究的問題，起到了提綱挈領的作用，同時也體現了以學生為本的課堂理念。

三、以問促學，把握概念本質

教師將學生提出的問題轉換為教學問題，可以借助一些學習材料和教學手段，引領學生逐一解決問題。在問題的驅動下，學生主動參與解決問題的過程，通過師生互動、生生互動獲得解決問題的新思路、新視角。問題串的持續推進形成環環相扣的任務群，學生在持續的探究中形成對概念的深刻理解。當然，學生在探究過程中會產生新問題、新思考，這時教師可以讓學生再次提問。這樣學生因“問”而“學”，因“學”生“問”，在“問”“學”相生中，學生積蓄了自主提問的動力，形成了深度學習的內驅力。

根據前測結果，多數學生能根據“平均分”推測出“求和均分”的計算方法，但是較少有人知道“移多補少”的計算方法。教師可以利用條形統計圖，通過移一移、畫一畫，以及課件的動態演示找到平均數，為學生理解平均數代表一組數據的整體水平提供支撐，讓學生經歷“移多補少”的過程，強化學生對平均數產生過程的認知，使學生體會平均數的統計價值。教師應將“移多補少”的教學放在重要位置，讓學生經歷下面3個層次的教學，加深對平均數意義的本質理解。

（一）初識平均數，著力“移多補少”

“什么是平均數？”這是學生最迫切想要解決的問題。教師可以先嘗試讓學生自主解決，充分調動學生已有的認知。這時學生自然會想到“求和均分”的方法，教師適時將計算方法板書到黑板上，此時學生對平均數淺表的理解已完成，接下來進入“移多補少”方法的教學。教師提問：“剛才通過計算，我們找到了人數不等時男生隊的平均數是8，女生隊的平均數是9。在條形統計圖中，你還能想到用別的方法來找到這兩個平均數嗎？”接下來讓學生完成學習單（如圖3所示）。

在集中展示交流環節，學生有理有據地闡述了自己的移動過程。為了讓學生有更深刻的認識，教師再次提問：“經過剛才的移動過程，你又產生了哪些新的問題？”這時學生提出了“為什么要這樣移動呢？”“這種方法和剛才列算式計算的方法有相同之處嗎？”“張倩踢了9個和女生隊的平均數9一樣嗎？”等直擊平均數本質的問題，教師篩選和梳理了與本節課重難點相關的問題，在后續的教學中逐一解決，將平均數的教學推向深處。

（二）體會平均數的“虛擬性”和“代表性”

在教學“移多補少”的過程中，學生提出了一些有價值的問題，如“張倩踢了9個和女生隊的平均數9一樣嗎？”通過生生互動交流，學生理解了“張倩踢了9個”是她自己實際踢了9個，而“平均數9”是計算出來的，是假設平均每人踢得同樣多，并不是每個人都踢了9個，由此體會到平均數的“虛擬性”。同時，學生在這個過程中感受到“平均數”和“平均分”的區別。為了讓學生進一步理解平均數的“代表性”，基于學生的思維特點，教師通過把平均數與男生隊、女生隊中每人實際的踢毽個數進行對比，將平均數的統計意義直觀化，幫助學生深刻體會平均數的“代表性”，即反映了一組數據的整體水平。

（三）感受平均數的“敏感性”

劉加霞教授說過，一組數據的平均數易受這組數據中每一個數據的影響，數據稍有變動，就會引起平均數的改變，即平均數具有“敏感性”。特別是極端數據對平均數的影響很大，這使得平均數更具有統計意義。在本教學環節中，教師可以對例題展開進一步拓展：“剛才是4男3女對決，現在老師也加入女生隊，你們希望老師踢多少個呢？為什么？補充統計圖（如圖4所示）?！边@個問題激發了學生強烈的探究欲望。

在之前的教學中，“移多補少”思想在學生頭腦中已經扎根，學生會運用“移多補少”的方法，結合教師的踢毽個數正確解釋平均成績變化的原因，充分感受到一個數據改變，該組數據的平均數就會隨之發生變化的特點。

四、借問延學，拓展思考空間

在教學中，教師不僅要關注學生獲取的知識與方法，還要關注學生積累的數學活動經驗。學生提問能力的提高不是一蹴而就的，需要教師適時引導和鼓勵。教師要練就敏銳性和洞察力，及時發現和思考提問的關鍵點，把握好提問的時機。

在“平均數”教學的回顧階段，教師通過“這節課你有什么收獲？”來組織學生回顧總結，學生回顧的內容大多是有關平均數的具體知識與方法。交流結束后，教師繼續提問：“學完了平均數，此刻你們有沒有新的問題？”學生紛紛說出自己的問題，如“未來的平均數會和現在不同嗎？”“平均數還可以用來干什么？”“有沒有比平均數更公平的數？”“平均數對我們的生活還有哪些影響？”“還有別的計算平均數的方法嗎？”等。這些問題的提出使得教學不再拘泥于課堂。教師針對其中具有探究性的問題，以實踐性作業的形式布置給學生，讓學生進行研究性學習，把學生的學習從課內拓展到了課外，引導學生進行更深層次的思考，培養學生的高階思維力。

時代呼喚創新，小學階段要注重對學生創新意識的培養。將之落實到課堂教學中，讓學生在深度學習中學會提出問題和解決問題，是培養學生創新意識的策略之一?！皢枌W課堂”將學生的“問”與教師的“導學”深度結合，在此過程中發展學生的創新意識，使學生成為愛發問、會提問、有思想、有智慧的人。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 劉加霞.“平均數”的本質及小學生理解水平解析[J].湖北教育（教育教學），2021（2）：36-38.

[3] 吳烈.譜好提問“五部曲”? ? 引發學生“好問題”：以“平均數”教學為例[J].小學數學教育，2022（Z4）：25-26.

【本文系2022年度河南省基礎教育教學研究項目重點課題“基于深度學習的小學數學‘問學課堂實踐研究”（立項編號：JCJYB2204070009）的研究成果?！?/p>

（責編 李琪琦）