結構重合：思維從“特殊”走向“一般”

張婧靚

［摘 要］度量是數學的本質，其關鍵是度量單位的建立，具體操作路徑是度量單位的累加?！岸取笔墙堑膯挝?，教學時要基于學生已有認知，引領學生經歷單位多樣化、統一化和合適化的全過程。通過擺、找、畫、量、猜和賞等活動，促使學生對度量單位的認知由模糊變清晰、從特殊到一般，進而有序發展其量感和空間觀念。

［關鍵詞］結構重合；量感；空間觀念；問題鏈；數學化

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0018-04

“角的度量”屬于“圖形與幾何”領域，主要研究“圖形的認識和測量”，蘇教版教材將它編排于四年級上冊第八單元。對于“角”，學生在二年級已經有了初步的認識，能用“活動角”直觀表征角的大小變化，能用“觀察法”直接區分差異較大的兩個角，能用“數格法”間接判斷鐘面上出現的角度大小，能用“重疊法”直觀比較三角尺上的角是否相等，還能以直角為基準將角進行適當分類、形象命名和簡單應用。到四年級時，學生通過射線重新認識了角，知道“角的頂點”與“射線端點”有關系，理解“角的大小”與“邊的長短”并無直接關系，進一步豐富了對角的結構認知和內涵理解。掌握“角的度量”，能為兩線空間位置的判斷、圖形認識和圖形變換的判定做好必要鋪墊。

度量單位雖然是人為規定的，但是形成過程各不相同，大致可分為“抽象”與“工具”兩類。其中，“角度”屬于后者。這種度量單位的產生緊扣角的背景構建，如先有平角180°的確定和等分，再有角重合后的讀數和表征。在這一過程中，始終含有表達角的指標稱謂，如∠A=60°中的單位名稱“°”不能少，否則指向不明、陳述不清。弄清楚角度“怎么來”和“是什么”，還需要把握“有何用”和“怎么學”。應該說，角度的出現使得角的大小從定性描述變為定量刻畫，有助于空間表征、精準交流和問題解決。教師在教學時需要依靠學生已有的角度經驗，促使學生從被動接受轉變為主動參與，使他們能夠經歷角度單位建構的全過程，掌握“兩重一看”的量角技巧，理解結構重合的累加本質，使得思維從特殊走向一般，從而有序發展學生的量感和空間觀念。

一、嘗試重合結構，探究度量單位

（一）激活經驗

師：科學課上咱們認識了各種各樣的鳥，它們張開的嘴巴像哪個數學圖形？

生（齊）：角。

師（出示圖1-1、圖1-2）：哪只鳥張開嘴的角度更大？誰來說一說？

生1：圖1-1的鳥張開的嘴的角度更大，這個角正好有2塊比薩那么大，圖1-2的才有1塊比薩那么大。

師：這樣比較可以嗎？為什么？

生2：不行，這2塊比薩的大小不一樣。應該選擇相同的比薩來比較。

師：統一標準再比較，大家都有經驗，以前度量學習就是這樣做的。請通過視頻回顧一下。

（播放視頻：簡要介紹長度、面積、容積的度量標準，動態演示1厘米、1平方厘米、1毫升等計量標準的累加過程。）

師：那么，怎樣度量角呢？今天我們就來一起學習。

（二）引發沖突

師：通過剛才的回顧，我們知道所有度量都要先選定標準。我準備了一些同樣的小角當作標準角，如何使用這些標準角去測量呢？

生1：頂點要重合，邊線要依次重合。

師：會思考，還要能做事。請小組合作，完成活動后匯報。

出示活動要求：

1.擺一擺：四人合作，用三角形中的小角擺在∠1和∠2上。

2.說一說：∠1有? ? ? ?個小角那么大，∠2有? ? ? ?個小角那么大。

生2：把小角的頂點擺在∠1的頂點處，依次排開，擺了4個這樣的角，∠1有4個小角這么大。

師：∠1正好包含4個這樣的標準角。

生3：∠2里面擺了4個小角，沒擺滿，擺5個小角又多了，∠2比4個小角大一點，比5個小角小一點。

師：看來，這個標準并不同時適合這兩個角。

（三）介紹標準

師：古人也遇到同樣的問題，他們是怎么解決的？讓我們一起去瞧瞧。

（播放視頻：古巴比倫人發現，太陽從地平線東端到西端的過程呈現出一個半圓形軌道，而這個半圓形軌道恰巧是180個太陽一個挨著一個緊緊排列所得。因此，他們就把半圓定義為180度。在此基礎上，把半圓平均分成180份，每一份就是1度，“度”有“步”的意義，用這個符號“°”來表示，就好比是太陽的腳印。）

師：原來古人創造了更小的標準1°，度是角的單位，用符號“°”表示。那么，1°的角有多大？在哪里？

生1：把半圓平均分成180份，每一份都是1°，從這個點引出的兩條射線組成的角就是1°的角。

師：仔細看，2個1°組成的角是——

生（齊）：2°角。

師：接著數——3°，4°，5°，…，9°，再增加1°是——

生（齊）：10°。

師：如果以10°為標準數下去，接著是20°，30°，40°，…，90°。你在哪里見到過90°的角？

生2：在三角尺上見過，它是直角。

師（課件演示三角尺的直角部分與半圓中90°的角完全重合的過程）：利用重合驗證一下，你發現了什么？

生3：它們頂點重合，2條邊也重合，說明直角就是90°。

師：接著數。100°，110°，120°，…，180°。180°里有幾個直角？

生4：180°÷90°=2（個）。

師（課件演示拼接2個三角尺的直角部分后與180°重合的過程）：有了測量標準，角度清清楚楚，這真是了不起的創造。

【思考：首先，從現實世界自然引入數學上研究的角，通過大小不同比薩的驗證描述，激活學生統一標準度量的認知本能和現有經驗，并在整體梳理、路徑重溫和理性認同的基礎上，順勢設問揭課。這個環節看似輕描淡寫，其實是有機滲透“頂點重合”和“邊線重合”的度量關鍵。其次，借助同樣大小的標準角分別度量研究對象，自然運用角結構重合的關鍵點引導學生發現度量標準雖然統一了，但是并沒有解決根本問題，從而引發學生度量標準從“要統一”轉向“要合適”的思考。思維沖突的產生及時且必要，因為它能引發學生對度量標準的持續關注和深度探究。最后，通過簡要介紹數學歷史，幫助學生理解角的度量單位及其符號表達，使得冰冷的概念性知識變得溫暖。尤其是1°的逐步累加，頂點、邊線的確認和直角的兩次驗證，能有效幫助學生初步建構量角器的結構雛形。顯然，生活與數學交融，動腦與動手交叉，現在與歷史交織，度量思維不露痕跡，度量要義時時體現?！?/p>

二、自由重合結構，凸顯度量單位

（一）找中凸顯

師：請在半圓里找出一個你喜歡的角，介紹一下它在哪里，有多大。

（組織學生開展找角游戲，分三個層次進行：第一層找比90°小的角，第二層找比90°大的角，第三層找最大的角和最小的角。要求學生說清楚角的頂點和邊線的位置，以及包含1°的個數。）

師：這些角的頂點位置有什么特點？

生1：頂點都在同一個位置。

師（動態演示）：由于頂點都匯聚于此，中間的邊線多而不清，在不影響觀察的情況下，可以省略一部分。瞧！這變成了——

生（齊）：量角器。

師（動態演示）：頂點匯聚的位置就是量角器的中心點，從右邊起，這是0°的刻度線，這是180°的刻度線。你還在哪個工具上見過刻度線？

生2：直尺。

師：長度刻度線和角度刻度線的相似之處是什么？

（組織學生重點交流工具上都刻有大小不同的度量標準，刻度線分布都從0開始，然后依次有序累加。）

【思考：首先，在“原型結構”中真實找角，要求說清楚角“在哪里”和“有多大”。其中，“在哪里”指向角的頂點和邊線的位置確認，以強化學生對角作為平面圖形的定性認知；“有多大”指向邊線張開的程度描述，激活學生對角大小結構的定量意識。兩者“學以致用”的意味較濃，但基礎性和重要性不言而喻。其次，是在“簡潔結構”中類比找角，主要引導學生在半圓結構中著重體會“頂點都匯聚于此，中間的邊線多而不清”的簡潔需求，并讓學生在“變中不變”的結構認知中認同量角器，感受工具創造的漸進性和實用性。最后，是在“對比結構”中整體找角，通過呈現、觀察和比較兩種不同類型刻度的結構，發現存在“定標準”和“數標準”的關聯行為，使學生感受從“0刻度”開始有序累加的基本路徑。顯然，有效“找角”能助推學生對度量單位的多向體驗?！?/p>

（二）畫中凸顯

師：瞧！量角器上畫了一個角，它是多少度？

生（齊）：60°。

師：請在量角器上畫出一個你喜歡的角，介紹一下它在哪里，有多大。小組合作完成活動后匯報。

出示活動要求：

1.找一找：在量角器上找出一個角，畫出它的兩條邊。

2.說一說：從刻度? ? ? ?到刻度? ? ? ?，是? ? ? ?度。

3.比一比：組內比較找到的角有什么共同點。

生1：這個角從刻度0到刻度30，是30°。

生2：這個角從刻度0到刻度45，是45°。

生3：這個角從刻度0到刻度125，是125°。

生4：我們組認為，這些角雖然大小不同，但是頂點都在中心，一條邊對準刻度0，另一條邊到刻度多少，這個角就是多少度。

（課件呈現邊線不與0°刻度線重合的角，教師組織學生觀察和讀數。）

師：這樣畫的時候，你感覺怎么樣？

生（齊）：比較麻煩。

（媒體同時呈現兩個開口相反的20°，組織學生觀察和讀數。）

師：從右往左看，一個可以直接讀數，另一個需要間接計算。如果想要另一個也能直接讀數，怎么辦？對比自己手中的量角器，有什么發現？

生5：我發現我的量角器比黑板上的多一圈。從左往右看，另一個20°也可以直接讀出來。

師：你覺得量角器構造兩圈結構有必要嗎？

生6：角的開口有時向左，有時向右，有了兩圈刻度后，我們都可以找到對應起點，這樣讀角度時就輕松許多。

【思考：“畫角”與“找角”在凸顯度量單位上目標一致，但是在呈現圖形位置、說清圖形大小、歸納圖形特征等方面，“畫角”操作則更勝一籌。首先，呈現從“刻度0”開始的角，這類角高頻出現，一是因為量角器現有的“一圈結構”及其刻度排序，二是由于方便找角的思維定式所致。對于這類角，應給予更多的課堂教學時間，竭力地促成“畫角”與“找角”的一致性，促使學生感知量角器上角的結構特征和讀數規律。其次，需引導學生的思維從封閉走向開放，適當安排“邊線不與0°刻度線重合的角”，明確“這類角真實存在，讀數不方便源于刻度的人為排序，與角本身無關”。最后，對比開口相反的2個20°，充分激發學生產生“從刻度0讀數”的需求，并在“一圈結構”與“兩圈結構”的差異對比中對刻度表征的創造認同。顯然，有效“畫角”使得度量單位深入人心?！?/p>

三、優化重合結構，表征度量單位

師（出示圖2-1、圖2-2）：現在，你會用量角器去測量一個角的大小嗎？女生量圖2-1的角，男生量圖2-1的角，大家比一比速度。

出示要求：

1.量一量：用量角器量出角的大小，把結果填在括號里。

2.說一說：量角時，擺放量角器需要注意什么？

師：請女生分享量角器怎么擺和怎么看。

生1：角的頂點和量角器的中心重合，一條邊和右邊的0°刻度線重合。從0°開始數起，另一條邊所對的刻度是65°，所以這個角就是65°。

師：請男生分享量角器怎么擺和怎么看。

生2：角的頂點和量角器的中心重合，一條邊指著140°刻度線，另一條邊指著180°刻度線，180°-140°=40°。

生3：我有不同想法。因為角的一條邊和左邊的0°刻度線重合，從0°數起比較方便，一眼就能看出這個角是40°。

師：誰來總結一下測量角時要注意什么？

生4：角的頂點和量角器的中心重合，0°刻度線要與一條邊重合，然后再從0°開始數起，看另一條邊所對的刻度是多少，這樣比較方便。

【思考：技能訓練需要刻意為之，但又不能機械重復。采用男女分組比賽的方式，一方面可以激發學生的參與熱情，另一方面有助于學生對量角器兩圈結構的思考。從思維的遞進關系看，女生的測量速度較快在情理之中，這主要源于第一圈刻度的首映效應，學生普遍認同角度測量的觀察順序是從右往左。但是，隨著結構對比深入，第二圈刻度的作用也被激活和應用，男生也很快進入狀態，并迅速調整測量起點，從而提高測量速度和準確率。換個角度來講，圖2-2中角的結構沒有變化，所包含度量單位的多少也沒有改變，需要改變的是“未知角”與量角器上“已知角”的重合順序。顯然，這樣的量角活動精簡且有效，選擇合適起點測量已經從“簡單告訴”轉變為“自我認知”?！?/p>

四、變式重合結構，內化度量單位

（一）理中內化

師（出示圖3-1、圖3-2、圖3-3）：請量出下面每個角的度數。

（活動完成后，組織學生演示測量過程，重點匯報量角器“怎么擺”和“怎么看”）

師：在測量圖3-1和圖3-2的角的過程中，少部分學生度數剛好填反了。對此你有什么建議？

生1：數的時候要看準起點，從0°刻度線開始數，依次數下去就不會錯。

生2：可以用90°做標準，先估計和判斷一下，圖3-1的角比90°大，圖3-2的角比90°小，這樣就不會填錯了。

師：有道理，點個贊！

（二）猜中內化

師（出示圖4）：小明量角時，一條邊擺放的位置已經確定，另一條邊的位置不確定。猜一猜，這個角可能有多大？

（組織學生分兩個層次進行猜測。第一層是猜測位置已經確定的邊與0°刻度線重合，結果是140°或40°；第二層是猜測位置已經確定的邊不與0°刻度線重合，結果不確定。）

師：為什么這個角的度數有這么多可能？

生1：因為一個角有兩條邊，我們只知道一條邊的具體位置，另一條邊的位置不能確定，所以這個角的度數就有多種可能。

生2：量角時角的一條邊與0°刻度線重合，這樣方便讀數。但是，不與0°刻度線重合也可以量角，只是麻煩一些。我們只要打開思路，方法就多了。

師：會反思，點個贊！

（三）賞中內化

課件播放：蜂房六邊形的省料設計角度、滑滑梯安全與舒適的角度范圍、放風箏的角度技巧、寫字過程中筆與紙之間的角度建議、大雁飛行中“人”字形角度的秘密等。

【思考：首先，圖3-1和圖3-2是一組變式題，旨在引導學生遷移測量技能，并反思填錯或填混的原因，通過提出以“90°”為標準判定大小的共性對策來整體把握量角器的結構。圖3-3與前面的圖相比是一次變化，要求學生靈活運用“兩重一看”的技巧要領，同時注重度量單位個數的本質。其次，與確定角度測量不同的是，圖4的問題情境比較開放，既包含對角這個圖形的再認識，也包含對測量中結構重合的再確認，結構思維在猜測中被一次次有效激活。最后，欣賞數學與生活的完美融合，幫助學生以數學視角審視生活現象，感受數學的廣泛應用和嚴謹結構。顯然，變式訓練有助于學生深刻理解結構，并使度量單位內化更到位?！?/p>

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十五期立項課題“指向‘三會素養的小學數學游戲化學習設計研究”階段性成果（課題批準文號：2023JY15-L190）?！?/p>

（責編 金 鈴）