運用畫圖策略，培養數學推理

吳荔婷

［摘 要］根據《課程標準》的頒布，數學課程的調整主要集中在兩個方面：一是將課程總目標聚焦于學生的核心素養，二是強調數學課程的育人價值。核心素養各項指標的培養也彰顯了一致性、階段性和整體性。文章借助畫圖這一教學策略，從借圖認數、借圖助數和借圖析數三個方面闡述了如何在小學階段培養學生的數學推理意識，為學生初中數學推理能力的發展做好充分的鋪墊，實現小學和初中之間的無縫銜接。

［關鍵詞］畫圖；推理意識；推理能力；初小銜接

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2024）08-0071-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（全文簡稱《課程標準》）發布后，對于教育界來說，如何理解和貫徹其精神，是一項重要的工作?！墩n程標準》有許多亮點，筆者關注兩個方面：一是課程目標側重于發展學生的數學核心素養，二是課程目標注重彰顯數學課程的育人價值。

關于數學核心素養的培養，《課程標準》強調了一致性、階段性和整體性?！墩n程標準》中，推理方面的素養在小學階段的主要表現為推理意識，強調的是“對邏輯推理過程及其意義的初步感悟”；在初中階段的主要表現為推理能力，強調的是“從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力”。顯然，從“推理意識”到“推理能力”是一個從“初步感悟”到“形成能力”的拾級而上、循序漸進的提升過程。

另一方面，基于小學生的思維特征，運用“畫圖”這一教學策略，能讓學生的思維外顯，有助于培養學生的推理意識，從而發展學生的推理能力，實現從小學到中學數學推理能力培養的無縫銜接。

一、借圖認數，滲透數學推理意識

數學作為一門研究數量關系和空間形式的學科，雖然其內容源自對現實世界的抽象，但對于以直觀形象思維為主的小學生來說，理解從生活到數學的抽象過程仍然具有一定的難度。為了幫助學生排除數學知識抽象性與他們思維直觀性之間的障礙，教師可以巧妙地借助畫圖這一橋梁，讓學生通過直觀的圖示，在經歷抽象數學知識的過程中形成數學推理意識。

以人教版教材二年級下冊“1000以內數的認識”一課為例。在教學例2之前，學生已經學習了例1，還通過教材中的方塊圖建立了1000以內的計數單位的概念，也初步理解了十進制計數法的位值原理。為了培養學生的推理意識，筆者沒有直接教學例2，而是首先展示了一些凌亂的小圓點，讓學生估計并猜測235大約可以用多大范圍的小圓點表示。學生的猜測范圍各不相同，他們積極討論，課堂氣氛活躍。其中一位學生建議：“可以將這些雜亂的圓點按每列10個或每行10個進行排列，一列一列或一行一行地整理好后，就可以確定235可以用多大范圍的小圓點表示了?！痹谶@位學生的啟發下，很多學生都產生了準確的想法。筆者讓學生使用繪圖的方式來表示235個圓點，并相互驗證作品的正確性。最后，筆者再使用課件展示教材例2（如圖1）。

筆者繼續滲透數學推理意識：“除了用這樣的有序的點子圖來表示235，還可以運用哪些方式來表示呢？”有學生提出還可以用例1中的方塊圖來表示；有學生提出可以用小棒來表示；有學生提出可以用計數器來表示等。這樣的教學，讓學生從“胡亂地猜”到“有理地猜”，提出猜測后又畫圖驗證，從而建立對“235”這個數內涵的正確認知，還讓學生做到“舉一反三”，運用不同的方式來表示十進制，實現了圖示與數量之間的“相互轉譯”，有效地向學生滲透了數學推理意識。

二、借圖助數，培植數學推理意識

教育部義務教育數學課程標準研制組組長史寧中教授將數學課程要培養的學生核心素養總結為“三會”，其中“會用數學思維思考現實世界”符合推理實質。數學畫圖能夠將抽象的、看不見的思維過程進行直觀表達，使學生的思維變得可視化，在發展學生幾何直觀這一素養的同時，幫助學生直觀地理解數學概念、性質和規律，以及直觀地理解內在的數量關系，促進學生數學推理意識的提高。

（一）運用畫圖，直觀推理并理解運算算理

長期以來，數學運算被誤認為是一種純技能的程序化演算，重算法而輕算理的教學常常讓學生的計算正確率處于“只跌不漲”的困境，這樣教學完全偏離了數學運算真正的思維價值取向。因此，教師應充分挖掘運算本身的價值，借助圖示這個直觀模型的支持，巧妙地引導學生將算式轉化為圖示。這樣，學生就能夠透過運算的表面，理解算法背后隱藏的深層數學原理，經歷推理的過程，從而“潤物細無聲”地提高學生數學推理意識，助力小初銜接。

以人教版教材三年級上冊“分數的簡單計算”教學為例。筆者創設情境引出問題，在學生列出算式“[28+18]”后，放手讓學生自主嘗試計算。由于這節是分數加減法的起始課，受前面整數加減法“外形”上的干擾，有一部分學生算出的結果是[316]。于是筆者先通過問題“你算得的結果是[316]嗎？”引導學生思考，再讓學生運用畫圖的方式進行驗證，最后讓學生觀察如圖2所示的教材圖。學生直觀地理解了算式“[28+18]”的實質是2個[18]與1個[18]合并，從而推理得出結果應是3個[18]。然后，筆者讓學生討論問題“整數加法與分數加法有什么共同點”，引導學生通過對比推理出“都是相同計數單位的累加”的結論。至此，借助圖示，同分母分數相加的本質深深地烙印在學生的腦海里，在破構與重構知識的過程中，培養了學生的數學推理意識。

（二）運用畫圖，直觀推理并建構計算公式

一些課堂教學存在“重結果、輕過程”的現象，這也是對學生數學推理能力的忽視，顯然與《課程標準》的精神相背離。另外，一些教師在教學中使用的素材已經相對陳舊，無法使學生體會到所學數學知識、公式等在未來學習和生活中的實際應用價值。因此，教師應該摒棄傳統的“背誦公式，套用公式”的教學方式，改變教學方式，讓學生親身經歷數學公式的產生、推導和應用的全過程，發展學生的數學抽象、數學推理和數學模型思維能力。尤其是推理作為數學的基本思維方式，也是一項重要的數學素養，應該引起教師的重視。

以人教版教材五年級下冊“平行四邊形的面積”的教學為例。筆者首先出示長方形花壇與平行四邊形花壇，讓學生判斷哪個花壇的面積大。學生能很快根據長方形的面積計算公式計算出長方形花壇的面積，但不知道如何計算平行四邊形花壇的面積。筆者讓學生試著猜一猜，有學生提出“平行四邊形的面積=鄰邊×鄰邊”，還有學生提出“平行四邊形的面積=底×高”。于是，筆者讓學生回憶在探究長方形面積計算公式時所用的方法，喚起學生已有知識經驗，即長方形的面積就是面積單位的累加。學生自然而然地想到用“數格子”法來探究平行四邊形的面積。筆者出示如圖3-1所示的平行四邊形讓學生進行小組探究。學生探究后在班級里匯報交流。有的小組是先一行一行地將平行四邊形平移割補轉化成長方形（如圖3-2），再“數格子”求面積，得出的結果是18格（即18平方厘米）；有的小組是直接將左邊的三角形整體向右平移（如圖3-3），將平行四邊形割補轉化成長方形，再“數格子”求面積，得出的結果是18格（即18平方厘米）；有的小組是通過平移割補，將平行四邊形轉化成長方形后，發現了平行四邊形的面積與長方形的面積相同，直接提出不用“數格子”，根據“平行四邊形的底和高與轉化后的長方形的長和寬相等”，推導得出“平行四邊形的面積=底×高”。

在以上的探究過程中，學生首先通過回憶長方形的面積公式的推導過程，類比推理出可以使用“數格子”法來推導平行四邊形的面積，這是一種合情推理。而在進一步的探究過程中，學生發現可以通過割補法將平行四邊形轉化為長方形，并分析平行四邊形與轉化后的長方形各元素之間的關系，從而直接推導出平行四邊形的面積計算公式，這是嚴謹的推理過程，體現邏輯推理思維。整個過程中，通過借助直觀的數學繪圖，讓推理思維可視化，有效地促進了學生數學推理素養的發展。

三、借圖析數，培養數學推理能力

《課程標準》中，推理方面的素養在小學階段的主要表現為推理意識，在初中階段的主要表現為推理能力，如果說推理意識側重于對學生合情推理能力的培養，那么推理能力則是直接指向演繹推理能力的培養。從合情推理能力到演繹推理能力的提升，也就是從推理意識到推理能力的提升，是一個漫長、往復的過程，而只有以扎實的推理意識為基礎，學生的數學推理能力才能得到有效的培養?；趯W生的思維特點，小學階段更關注的是從一般到特殊的推理意識的滲透。為了實現小初的有效銜接，教材在小學六年級下冊編排了2個課時，并初步滲透從特殊到一般的推理。到了初中七年級，教學也并非全然拋開“合情推理”，而是讓“合情推理”與“演繹推理”相互交融，逐步促使學生的推理能力拾級而上。因此，教師應把握好推理能力培養的階段性，巧妙借助畫圖，讓學生的推理過程有“幾何直觀支架”的支撐，避免“過度拔高”“脫節”等現象的發生。

以人教版教材六年級下冊“數學思考”的教學為例。在教學教材中的例題時，對于例題中的圖（如圖4），如果跳過畫圖這個直觀的支撐，直接讓學生用嚴謹的文字來進行推理，顯然是拔高了學習的難度。

基于這樣的認識，教師應先讓學生自主運用畫圖的方式標注出∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°（如圖5），再讓學生借助圖示進行說理。有學生提出“因為∠1與∠2相加的和是180°，∠3與∠2相加的和也是180°，所以∠1與∠3相等”，有的學生提出“因為∠1與∠3都加上相同的∠2，和都是180°，所以∠1與∠3相等”。當學生有一定的經驗之后，教師再啟發學生進行嚴密的推理，學生就能順利得出結論“因為∠1+∠2=180°和∠3+∠2=180°，根據等式的性質，得到∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2。又因為∠1=180°-∠2，∠3=180°-∠2，所以∠1=∠3”。這樣的畫圖輔助，能為學生進行初步的演繹推理做好直觀上的支撐，促使學生經歷從特殊到一般的過程，讓學生逐步學會有理有據地進行推理。

綜上所述，教師應立足于學生核心素養發展，準確把握不同階段素養的培養方式，充分利用“畫圖”這個幾何直觀手段，最大限度地滲透和培養學生的數學推理意識，致力于讓學生通過不完全歸納、類比和猜想等推理方法來經歷數學學習的過程，并適時地引入一些演繹推理的方法。這樣，學生就可以從合情推理平穩過渡到演繹推理，實現從推理意識到推理能力的順利提升，從而助推學生小學和初中之間數學推理能力的無縫銜接。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 張海榮.小學數學教師如何引領學生真正參與課堂教學[J].學周刊.2019，（14）：77.

（責編 楊偲培）