硬磁軟材料輸流管的屈曲不穩定性分析1)

馬地龍 王 琳 ,2) 陳 偉 ?,,3)

* (華中科技大學航空航天學院工程力學系,武漢 430074)

? (華中科技大學機械科學與工程學院,武漢 430074)

** (智能制造裝備與技術全國重點實驗室,武漢 430074)

引言

輸流管道是一類典型的工程結構,廣泛應用于海洋工程、航空與航天工程、核反應器[1]等重大工程領域.Bourriéres[2]是輸液管動力學研究的先驅之一,他推導了管道的線性振動方程,并以懸臂邊界為例開展穩定性研究.Niordson[3]對兩端簡支管道在輸送流體時的失穩行為進行了研究.他們的研究發現[2-3],管道的固有頻率會隨管內流體速度的變化而改變.Handelman[4]通過求解輸流管系統的矩陣特征值,研究了系統的穩定性行為.通過綜述前人大量研究工作,Paidoussis[5]全面總結了輸流管動力學穩定性的4 種問題:(1) 內部流體作用下細長管道的穩定性;(2) 軸向外流作用下細長管道的振動響應;(3) 層間流體作用下共軸圓柱殼體結構的動力學行為;(4) 橫向外流作用下管束的渦激振動響應.這一系統性的綜述論文為后續的深入研究提供了重要參考.

隨著工程實際結構對可靠性要求的不斷提高,輸流管道[6-7]的動力學分析和調控得到了迅猛發展.典型的應用場景包括熱交換管道、空中加油管道、火箭發動機燃油管道和噴墨印刷的供墨管道等.輸流管道的動力學行為實質上是流體與管道結構的相互作用(流固耦合作用),內流可以產生出作用于管道上的離心力和科里奧利力,同時管道變形或振動又會對內流的流動行為造成影響.此外,這種流固耦合行為還會受到諸如結構與流體屬性[8-9]、邊界條件和外部激勵[10-14]等因素的影響.例如,Wang 等[15]對松動支撐下輸流管道的非線性動力學行為進行了研究,揭示了間隙約束的幾何和物理參數對管道穩定性和振動行為的影響規律.Oyelade 等[16]研究了輸送兩相高壓熱流體時微彎管道的動態穩定性,揭示了兩相流及幾何缺陷等參數對管道動力學行為的影響機制.

近年來,學者們在認識輸流管振動機理的基礎上,正進一步研究系統穩定性和動力學行為的調控技術.比較常用的調控方法是采用彈簧-阻尼組合下的減振器進行被動調控,如非線性能量阱[17-18]、慣容器[19-20]等.然而,這類方法并不適用于軟材料輸流管的動力學調控.上述減振器本身具有一定質量,雖然適用于金屬等彈性模量較大的管道,但容易局部改變軟質管道的橫截面形狀.因此,有必要提出適用于軟材料管道的新調控方法.

近年來,有研究報道顯示,活性材料結構在外加電[21-22]、光[23]、熱[24]和磁[25-29]等外場調控下可實現力學行為的調節,并被認為是一種很有潛力的新調控技術.相較于其他物理場調控,磁場調控具有力輸出大、響應迅速和無線操控等優勢[30-31].最近,一種通過在軟材料基底里嵌入硬磁顆粒制作而成的新材料[32]引起了研究人員的廣泛注意.這類磁學上硬、力學上軟的材料被稱為硬磁軟材料.為了滿足不同磁性器件的功能性及結構性要求,可采用3D 直寫打印的方法來制成所需元件[33-34].例如,可將硬磁顆?；螂x散磁鐵嵌入到高彈體基質中,將其加溫至熔融狀后從噴嘴擠出,之后再通過調控噴嘴附近的磁場方向,可實現各種磁活性細長結構的磁化矢量[35]可編程化制造.

硬磁軟材料因其性能優越,被認為有巨大的工程應用潛力.例如,磁調控下的膠囊機器人[36]和微納機器人[37]可以沿著血管或消化系統進入人體,完成活檢和藥物運送.還有報道顯示,一類磁驅軟體機器人[38-39]通過磁調控可在大腦狹窄的血管中行進并完成藥物輸送.Wang 等[40]設計了一種清除血栓的磁軟導線,通過磁控制可將導線精準地伸入到血管內部,直達病灶部位并完成清除工作.總體而言,硬磁軟材料的磁學性質較為穩定,可用于受限空間內的無線操控.正因為如此,磁調控方法備受關注.

特別地,對于輸送藥物的新型醫療器械來說,將流體器械設計成管狀結構是一種可能方案.但是,現有的管狀硬磁軟結構的力學分析及其應用研究主要集中在沒有內部流體(藥物)的理想情形,而基于硬磁軟材料技術的輸流管磁調控的研究工作還較少.Chen 等[30]首次研究了硬磁軟材料制成的輸流管道的動力學行為和穩定性.Guo 等[25]分析了局部磁化的硬磁軟管的靜變形、動態穩定性和非線性動態響應問題.Dehrouyeh-Semnani[41]將輸流管磁驅控制的應用場景拓展至非均勻磁化構型.需要指出的是,當前這方面的研究主要集中于懸臂輸流管道問題,很少涉及兩端支撐邊界條件下的輸流管道問題.事實上,在海底輸油/輸氣管、航空加油管和核工程傳熱管等諸多應用場景中[42],柔性管道大都具有兩端支撐的邊界條件.而磁調控下的微創手術、藥物輸送等領域[38-39]所采用的硬磁軟材料管道,其兩端邊界條件比較復雜,還可能是時變的,故不可簡單地視為懸臂邊界條件.為此,有必要進一步研究兩端支撐條件下輸流管道的磁調控原理.

基于以上分析,本文著重研究上端鉸支、下端可軸向滑動鉸支的輸流管道系統的硬磁調控特性.首先基于Hamilton 原理,推導了鉸支-可滑動鉸支邊界下硬磁軟材料輸流管道的非線性動力學方程;然后,通過Galerkin 離散方法實現了模型降階,并在此基礎上分析了管道的穩定性,計算了管道的非線性力學響應;最后,對輸流管道的后屈曲行為進行了參數分析,并得出一些重要結論.

1 硬磁軟材料輸流管力學模型

1.1 動力學模型

本文考慮由硬磁軟材料制成的單位長度質量為m的輸流管道,其長度為L,密度為ρ,彎曲剛度為EI,橫截面積為A;管道輸送流速為U的不可壓縮流體,流體單位長度質量為M.如圖1 所示的坐標系,外加磁場的磁通量密度Ba是均勻的,其方向與x0軸正方向之間的夾角為α,管道變形前后的殘余磁通量密度分別記為和Br.

圖1 鉸支-可滑動鉸支硬磁軟材料輸流管模型Fig.1 A hard-magnetic soft pipe conveying fluid with an upstream pinned end and an axially sliding downstream end

為了簡化硬磁軟材料輸流管道動力學控制方程的推導過程,本文引入以下假設:(1)初始狀態下,管道變形前呈直線形狀并豎直向下,管軸線與x0軸正方向一致;(2) 管道邊界條件為鉸支-可滑動鉸支;(3)管道細長且軸線不可伸長,因此歐拉-伯努利梁理論是適用的;(4)管道僅在豎直平面內變形或運動;(5)管內流體的流動為定常流動;(6)管道是均勻磁化的,即殘余磁通密度大小恒定,方向總是沿著梁的軸線方向向下.

在后續分析中,u和w依次記為管道軸線的軸向位移和橫向位移,θ為管道變形后軸線的轉角,dx0和ds分別表示管道單元變形前后的長度.根據管軸線不可伸長假設,dx0=ds.因此,管道的軸線位移可表達為[26]

結合管道初始形態,管道變形后的軸線位置矢量xi+yj的兩個分量x和y可表示為

輸流管系統的總動能包括管道動能和流體動能兩部分,其變分為

其中“·”代表對時間變量t求導數,“′”代表對空間變量x0求導數.

系統勢能由彈性勢能、重力勢能以及磁勢能3 部分組成,其中系統彈性勢能的變分式為[5]

式中I是管道橫截面關于中性軸的慣性矩.

輸流管系統重力勢能的變分式為

其中g是重力加速度.式(5)涉及到δx,由于控制方程的推導需要統一變量變分,因此需要找到δx與δy之間的關系,這需要借助不可擴展性條件來進行.在鉸支-可滑動鉸支邊界下,基于x0=0 處的δy=0,可得[5]

通過使用變分積分交換式[5]

經過變換,最終得到重力勢能的變分式為

所考慮的外加磁場Ba為恒定磁場,磁場方向與軸x0之間的夾角為α,其表達式為

根據假設(6),硬磁軟材料管的非均勻殘余磁通量密度在各分段中是均勻的,殘余磁通密度Br為

由于變形后剩余磁通密度的方向仍與管道的軸線一致,當前構型下管道的磁勢能密度為[26]

將式(11)沿著管道橫截面和長度積分,再變分后可得到磁勢能變分式如下

本文考慮的輸流管道系統包括動能T、彈性勢能V、重力勢能G和磁勢能Vm這4 個部分,因此,系統的拉格朗日函數 L 可寫成

因管道末端可以軸向移動,故本文考慮的輸流管屬于開放系統,其相對應的擴展Hamilton 原理為[5]

本文考慮的軟質管道具有黏彈性屬性,此時需要在方程中添加耗散項.根據Kelvin–Voigt 型[1]黏彈性本構模型,可將前文中的彈性模量更換為相應的黏彈性形式,即

其中b為材料中的Kelvin–Voigt 阻尼系數.進行黏彈性修正后,將式(3)、式(4)、式(6)、式(8)和式(12)代入式(14)中,可得到硬磁軟材料輸流管系統的振動控制方程如下

磁調控方法是通過外加磁場對磁性材料施加磁場作用力,從而實現對管道的穩定性和彎曲變形的調控.本文所考慮的管道是通過往橡膠等軟質材料中有序嵌入微磁顆粒而制成,表現出磁活性.從力學上來講[40,43],均勻磁化管道在均勻外磁場作用下所受的磁場力表現為端部的集中力.式(16)中最后一項就是參與系統做功的磁場力軸向分量相關項.為便于后續研究,引入以下無量綱參數

其中,β是單位長度管內流體的質量與單位長度輸流管系統質量之比,μ是無量綱的黏彈性系數,v是無量綱流速,γ是無量綱重力參數,P是無量綱磁場力,η是管道軸線的無量綱橫向位移,ξ和τ分別是管道系統的無量綱空間坐標變量和時間變量.將式(17)代入方程(16),管道的非線性振動方程可重新寫成以下的無量綱形式

2 求解方法

本節將對系統的振動控制方程求解.首先,采用Galerkin 離散方法將偏微分方程(18)降階為有限數量的常微分方程組,再采用4 階變步長龍格-庫塔方法進行迭代求解.

2.1 數值離散方法

首先對含有二階時間偏導數的非線性項進行轉化,可借助下式完成[5]

非線性黏彈性項對結果影響有限,在計算過程中通常只保留其中的線性黏彈性項[1].因此,轉化后的非線性偏微分方程可寫成

鉸支-可滑動鉸支相對應的邊界條件為

基于Galerkin 數值離散方法,管道軸線的橫向位移可近似寫成

式(23)中的非線性項可以使用矩陣變換[6]的方法得到,具體形式如下

方程組(27)可采用Matlab 程序中的ODE45 函數實現變時間步長的龍格-庫塔方法求解,其中

2.2 收斂性分析

為了確保Galerkin 近似的精度,需要選擇合適的N并進行收斂性分析.參照文獻[1,26],我們選取以下計算參數和初值,基于方程(20)進行收斂性分析

除q1外,其他廣義坐標的初值均取為0.

不同模態截斷數N取值下,管道中點橫向位移隨內流速增大的分岔曲線如圖2 所示.圖中選取了N為4,5 和6 的3 種情況.可以發現,當N=5 時,Galerkin 截斷近似的結果已經收斂.因此,本文在后續的計算中均選取N=5 開展計算.

圖2 不同模態截斷數N 下以流速為控制變量的管道中點橫向位移分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram for the midpoint's transverse displacement of the pipe with various flow velocities when different values of N is chosen for calculations

3 穩定性分析

3.1 線性頻率分析

為了判斷管道系統的失穩形式,需要分析輸流管系統的線性動力學行為,方程(20)的線性化形式為

本節通過Galerkin 方法離散方程(30),求解時仍沿用式(29)中的無量綱參數.

圖3 給出了輸流管系統前3 階特征值隨流速變化的演化曲線,其中Im(ω) 代表無量綱振動頻率,Re(ω)為與管道阻尼有關的特征值實部.由圖3 可知,隨著流速的增大,輸流管系統的第一階振動頻率Im(ω)減小,但Re(ω)保持不變;當流速增大至某一臨界值時,第一階模態的Im(ω)減小至0;當流速大于該臨界值時,第一階模態的Im(ω)=0,此時對應的Re(ω) >0,管道將發生屈曲失穩.以上計算結果表明,管道在臨界流速下發生了第一階模態的屈曲失穩,不會出現顫振失穩.對于邊界條件為鉸支-可滑動鉸支的輸流管道系統而言,這種靜態失穩方式是合理的.當內流速超過臨界流速之后,線型模型預測的固有頻率是關于未變形管道的直線構型[44-46],不是關于屈曲位形,因此上述分析存在一定的局限性.但是,本文更為關注的是在結構失穩之后磁調控對屈曲構形的影響,因此進行特征值分析的主要目的是得到臨界流速值.

圖3 輸流管系統前3 階特征值隨流速變化的結果Fig.3 The variation of the first three eigenvalues of the fluid-conveying pipe system with various flow velocities

3.2 臨界流速分析

圖4 給出了臨界流速vcr隨磁場力P及磁偏角α增大的變化圖.如圖4(a),當α=π/3 時,令P值從0 增大到20,臨界流速單調增大;在圖4(b) 中,當P=10 時,令α值從0 增大到2,臨界流速逐漸減小.可以得出,單獨改變P或α會使得臨界流速單調增大或減小.

圖4 輸流管系統臨界流速隨參數變化的結果Fig.4 The result of the change of critical flow rate of the pipeline system with parameters

臨界流速vcr既受到磁場力P的影響,也受到磁偏角α的影響,這是因為磁力項是由這兩個參數組成的.因此,在利用磁場力調控系統穩定性時,需要同時考慮磁場力的方向及其大小.

4 非線性行為分析

4.1 對比驗證

在本節中,令磁場力P=0,從而將磁力項退化,再與Jiang 等[1]的理論結果進行比較,以驗證本文求解非線性問題的正確性.圖5 對比了本文結果與Jiang等[1]退化到二維平面問題的計算結果,可以看出:當磁力項退化為0 時,兩者結果完全一致,從而證實了本文計算程序是可靠的.

圖5 磁場力為零時管道中點橫向屈曲位移的分岔圖結果對比Fig.5 Comparison of bifurcation results of the transverse buckling displacement at the midpoint of the pipe when the magnetic field force is zero

4.2 初值條件的選取

對于靜態分岔,初值條件的選取可能對其計算結果產生影響,因此需要選取合理的初值條件,使計算結果能夠涵蓋所有可能的穩態解.本節沿用式(29)中的參數,取廣義坐標q1=±0.0025,±0.0125,±0.025 和 ±0.05 為非零初值進行計算.

從圖6 和圖7 可以看出,當流速低于臨界流速時,輸流管保持靜止,此時管道處在零平衡位置;當流速高于臨界值時,輸流管系統發生靜態屈曲失穩.隨著流速增大,輸流管中點屈曲位移將出現“先增大后減小”的現象,輸流管道下游端的軸向位移同樣出現了這樣的趨勢,但其在高流速下的幅值變化較小.

圖6 不同初值條件下管道中點屈曲位移分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of pipe midpoint's transverse buckling displacement for different initial conditions

圖7 不同初值條件下管道末端軸向位移分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of the tip end's axial displacement of the pipe for different initial conditions

管道中點屈曲位移的最大值為0.2 左右,管道下游端軸向位移的最大值在0.25 左右,這兩種位移處在相同的量級,因而都可以直觀的從整體屈曲形狀圖觀察到.本文計算發現,不同的初值下計算結果相同,因此下文中均以q1(0)作為初值開展計算.

4.3 磁場力和磁偏角對屈曲位移的影響

本節將分析磁場力P和磁偏角α對輸流管非線性力學響應的影響,系統無量綱參數取值為β=0.142,μ=0.005,γ=18.9.

圖8 展示了不同磁偏角α下磁場力對管道中點橫向屈曲位移的影響.當流速小于臨界值時,輸流管在靜態平衡位置保持靜止;當流速大于臨界值時,輸流管以靜態分岔形式發生屈曲失穩,且臨界流速的大小會受到磁場力的影響.

圖8 不同磁偏角下管道中點橫向位移分岔圖Fig.8 Bifurcation diagrams for the lateral displacement at the pipe's

當α<π/2 時,磁調控的效果表現為增大其臨界流速,抑制管道失穩.若以磁偏角α=π/3 時的分岔圖為例,磁場力P=0 時,臨界流速最小,磁場力P的增大會導致輸流管的臨界流速也隨之增大.這種磁調控的效果會隨著α接近π/2 而減小,當α=π/2 時,磁場力的影響完全消失.當α>π/2 時,磁調控的效果表現為減小其臨界流速,加劇管道失穩.例如,當α=2π/3 時隨著磁場力P的增大,輸流管的臨界流速逐漸減小.

圖9 展示了不同磁偏角α下磁場力對管道下游端軸向位移的影響,其變化趨勢與管道中點橫向屈曲位移一致,即:當流速小于臨界值時,輸流管在零平衡位置保持靜止;當流速大于臨界值時,輸流管以靜態分岔形式發生屈曲失穩,且臨界流速的大小會受到磁場力的影響.當α<π/2 時,隨著磁場力P的增大,輸流管的臨界流速也逐漸增大;當α=π/2 時,磁場力的影響完全消失;當α>π/2 時,隨著磁場力P的增大,輸流管的臨界流速會逐漸減小.

圖9 不同磁偏角下管道下游末端軸向位移的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of axial displacement of downstream end of the pipe under different magnetic field forces

對于橫向和軸向這兩種位移而言,其幅值都隨著流速呈現了“先增大后減小”的規律,且處在同一量級.另外還可以看到,磁場力P和磁偏角α對輸流管系統的影響不是單獨起作用的;在進行磁調控時,由磁偏角α決定磁場力P對輸流管的影響趨勢,磁場力P的大小決定了這種影響趨勢的大小.

對比圖8 和圖9 不難發現,磁調控的作用直觀的體現在對臨界流速的影響上面.如果結合控制方程(18)中的磁場力項,可以發現磁調控過程中起主要作用的是垂直于管道初始構型的磁力項.輸流管系統處于外加磁場當中,以初始構型為磁勢能0 點,當內流速增大時,管道開始變形,若管道變形方向與橫向磁場力方向相反,系統的磁勢能開始增加,通過調整磁場力P和磁偏角α釋放磁勢能,可以提高系統的穩定性;若管道變形方向與橫向磁場力方向相同,則通過增大磁勢能就可以提高系統的穩定性.當內流流速繼續增大時,進行調控所需要的外力也隨之增大,此時磁調控的效果減弱,不同磁場力下的曲線相互靠近,如果想要達到更為理想的調控效果只需增大磁場力即可.

4.4 磁場力和磁偏角對管道屈曲形狀的影響

本節探討磁場力P和磁偏角α對輸流管屈曲形狀的影響,主要對4.3≤ν≤20 范圍內的一些典型案例進行計算和分析.

圖10 給出了α=π/3 時不同磁場力P下的管道屈曲形狀.由該圖可知,當流速大于臨界值時,輸流管發生靜態屈曲,管道末端向著上端靠近;管道由直管逐漸變成類似于“L”形的管道,管道橫向屈曲位移的最大值先增大后減小.隨著流速的增大,管道屈曲位移最大值對應的位置逐漸遠離上游端.

圖10 不同磁場力作用下管道后屈曲構型圖Fig.10 Post-buckling configurations of the pipe under the action of different magnetic field strengths

在磁偏角α=π/3 的情況下,橫向位移最大值變化趨勢仍為先增大后減小.對比P=0 和P=5 兩種情況下的屈曲形狀可以發現,P較大時管道發生屈曲失穩的臨界流速v增大了,且管道變形的整體幅值都有所減小,這說明此時磁調控的效果表現為增大其臨界流速,即抑制管道的失穩.

圖11 給出了P=10 時不同磁偏角α下的管道屈曲形狀.當流速大于臨界值時,輸流管發生屈曲,下游端向上游移動,橫向位移最大值先增大后減小.對比不同磁偏角α下的屈曲形狀圖,發現當磁偏角α改變時,磁調控的效果也截然不同,這說明磁場力P和磁偏角α對輸流管系統的影響不是單獨起作用的.除此之外,圖中管道的屈曲形狀也并不是左右對稱,這是由邊界條件的不對稱造成的.

圖11 不同磁偏角下的管道屈曲形狀圖Fig.11 Post-buckling configurations of the pipe under the action of different magnetic field angles

從力學機理角度對圖10 和圖11 進行分析,輸流管道受到內流作用力、邊界約束力、重力以及外部磁場力的作用,在不同流速下呈現出相應的構形.作用于管道的所有力可被分解為平行于管道初始構型的軸向力以及垂直于管道的橫向力,其中垂直于管道初始構形的橫向外部磁場分力是起到磁調控作用的主要因素,調節管道的構形只需從橫向力方面入手,即調節磁場力P和磁偏角α.觀察圖10 的幾幅圖片可以發現,隨著磁場力P的增大其橫向分力也逐漸增大,管道的穩定性也逐漸提升,這也印證了上述機理.

5 結論

本文針對一端鉸支、另一端可軸向滑動鉸支的硬磁軟材料輸流管結構,試圖采用外磁場來調控管道的非線性力學行為.基于Hamilton 原理,首先推導了硬磁軟材料輸流管的振動控制方程.其次,采用Galerkin 方法和變步長4 階龍格庫塔方法,離散和求解了非線性偏微分方程.然后,通過穩定性分析,發現當流速超過其臨界值時管道會發生屈曲失穩.最后,通過考慮不同的磁場力P和磁偏角α,對管道系統的非線性力學響應進行了詳細分析.本文得到的結論如下.

(1) 當流速小于臨界值時,輸流管在零平衡位置保持靜止;當流速大于臨界值時,輸流管以靜態分岔形式發生屈曲失穩.

(2) 磁場力P和磁偏角α共同影響輸流管系統的穩定性.單獨改變P或α會使得臨界流速單調增大或減小.當α<π/2 時,隨著磁場力P的增大,輸流管的臨界流速增大,此時磁調控抑制其失穩;當α=π/2 時,磁場力的影響完全消失;當α>π/2 時,隨著磁場力P的增大,輸流管的臨界流速減小,此時磁調控反而加劇系統失穩.

(3) 當流速大于臨界值時,管道因屈曲失穩而末端上移,并由直管形狀逐漸變成“L”形狀.管道橫向屈曲位移的最大值先增大后減小,并且最大值對應的位置逐漸遠離上游端.

本文建立的硬磁軟材料輸流管的非線性模型為預測軟材料輸流管的動力學行為提供了理論基礎,同時也為輸流管的磁調控提供了思路.需要指出的是,如果我們對磁勢能進行修改,可將該模型拓展至非均勻磁化管道的流固耦合力學分析之中.本文所研究的磁驅調控具有非接觸式、快速響應等優勢,有望進一步應用于醫用器械和極端環境作業等需精細調控的工程科技領域.