基于“四基”與“四能”培養的數學教學實踐與思考

施佳璐

［摘? 要］ 在發展學生數學核心素養的目標基礎上，促進“四基”與“四能”的發展是新課標對高中數學教學提出的要求，也是時代賦予教師的責任. 研究者以高三一輪專題“直線與圓”的復習為例，具體從“適度開放，發現問題”“由淺入深，提出問題”“中度開放，分析問題；深入探究，解決問題”“適當拓展，鞏固提升”等方面展開教學實踐，并提出一些思考.

［關鍵詞］ 四基；四能；直線與圓；復習教學

新課標將發展學生的“四基”與“四能”提到重要位置，“四基”是指基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；“四能”是指從數學的角度發現、提出、分析與解決問題的能力. 如何在數學教學中不偏離、不動搖發展學生的數學素養，培養學生的“四基”與“四能”呢？這是筆者近些年一直在研究的問題之一. 本文以高三一輪專題“直線與圓”的復習為例，具體談一談操作方法，并提出一些思考.

基本情況

授課對象：高三學生，學生認知處于中等水平.

教學目標：①要求學生靈活掌握直線與圓位置關系中的一些基礎問題；②要求學生掌握直線與圓問題中的定點、定值與范圍最值類問題；③夯實學生的“四基”，提升學生的“四能”，促進學生數學素養的形成與發展.

教學重點與難點：靈活掌握直線與圓問題中的“三動三有”問題，通過課堂教學培養學生的“四能”.

教學簡錄

1. 適度開放，發現問題

課堂導入的成功與失敗，對一堂課的教學有直接影響. 本節課為專題復習課，導入充滿“數學味”的問題情境直接切入主題.

呈現條件：已知點P（2，1）與圓C：x2+（y－4）2=4.

師：請各小組內部討論，結合以上兩個條件，可以提出一些怎樣的問題？

（學生討論）

第一組呈現出這樣的問題：過點P（2，1）的直線與圓C：x2+（y－4）2=4存在哪些位置關系？

師：大家分析一下這個問題，說說你們的看法.

生1：我認為存在相切、相離與相交三種位置關系.

師：這三種位置關系是怎么得來的？

生2：轉動過點P（2，1）的直線，就可以得到這三種位置關系.

師：很好，這是根據此問的“形”直接獲得了三種位置關系，之前我們學過，還可以通過什么辦法來判斷一條直線與一個圓的位置關系呢？

生3：一般情況下，通過對d（圓點到直線的距離）與r（圓的半徑）的大小比較進行判斷，即d=r時，直線與圓為相切的關系；d＞r時，直線與圓為相離的關系；而d＜r時，直線與圓為相交的關系.

師：非常好！這種判斷方法最常用，我們稱為“幾何法”. 除了以上方法外，還有其他方法嗎？

生4：還可以把直線的方程代入圓的方程，消除其中一個變量后，得到關于另一個變量的方程，然后利用判別式即可判斷兩者的位置關系.

師：不錯，這種方法就是我們熟悉的“代數法”，該方法的應用體現了一種重要的數學思想——方程思想.

教師板書：判斷直線與圓的位置關系有幾何法與代數法.

設計意圖 課堂伊始，用兩個簡單的條件吸引學生的眼球，通過適度開放的問題培養學生發現問題并提出問題的能力. 同時，方程思想、數形結合思想等，自然而然地融合到問題的分析過程中，為問題的解決奠定了基礎.

2. 由淺入深，提出問題

師：根據初始條件，大家還能提出其他問題嗎？

生5：當過點P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相交的關系時，可提出求該直線斜率范圍的問題；如果相交時的弦長是定值，可提出求直線方程的問題.

生6：當過點P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相切的關系時，可提出求直線方程和切線長的問題.

教師板書：“相交”求直線斜率范圍和弦長；“相切”求切線長和切線方程.

師：若生5所提問題中的弦長為，則直線方程是什么？此問請女生來完成，男生來完成生6提出的問題.

（學生解題，教師巡視，隨機抽取兩位學生的解題方法投屏并點評.）

師：通過以上分析，大家覺得解決直線和圓相交或相切的問題時，最關鍵的條件是什么？

生7：弦心距. 只有知道了弦心距，才能構造出關于斜率的方程.

教師板書：弦心距是解決直線與圓相交或相切問題的關鍵.

設計意圖 通過開放問題的設計，引導學生自主回顧直線與圓位置關系的常見題型，讓學生自主提出問題，并經過自主分析獲得解決問題的關鍵量——弦心距. 這種設計，一方面幫助學生把握“四基”，另一方面提升學生的“四能”，為數學建模奠定基礎.

3. 中度開放，分析問題

師：若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，由此大家能提出什么問題？

（小組討論）

生8：若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，連接點P與圓心C，PC的最小值是多少？（點P運動，PC也隨之運動.）

生9：如圖1所示，若點P是位于直線x－2y=0上的一個動點，過點P作兩條直線，與圓C：x2+（y－4）2=4相切于點A，B，則四邊形BPAC面積的最小值是多少？

生10：結合以上條件，還可以提出求AB長度范圍的問題.

板書：點P移動導致以下量發生變化：①PC的長度；②PA，PB的長度；③四邊形BPAC的面積；④AB的長度.

師：當點P移動時，還有什么量會隨之發生變化呢？

生11：四邊形BPAC的周長、∠ACB的大小.

師：非常好！現在請一組、二組的同學完成生9提出的問題，三組、四組的同學完成生10提出的問題.

（學生解題，教師巡視，投影答案.）

在投影的同時，要求學生對自己的解法進行思考并提出新的問題.

師：從以上投影可以發現面積、角度、長度等都有變化，從本質上來看，是什么引起的？

生12：所有這些變化，都是由點P的運動引起的.

師：確實，點P的運動，引出了很多范圍和最值問題，這也是本節課的重點內容“動中有界”.

教師板書：動中有界.

設計意圖 在學生對基礎知識與基本技能梳理順暢的基礎上，化靜為動，提出點P運動會引起哪些量的變化，意在引發學生對長度、角度、周長與面積進行觀察與分析，自然而然地牽引出最值和范圍問題.

評析 這種開放式的問題導學，不僅成功地幫助學生提取原有認知結構中關于直線與圓關系的動點問題，還有效啟發學生思維，讓學生通過自主探究，理順了整個知識脈絡，發現此類問題萬變不離其宗——動中有界. 由此使學生體驗到自主命題與解題帶來的快樂，學會自主梳理題型、整理解題方法以及觸類旁通的學習能力.

4. 深入探究，解決問題

師：綜上發現，點P位置的變化，會引發很多量隨之變化. 現在請大家討論一下，是否有定量不會隨著點P位置的變化而變化呢？

（學生激烈討論，時間稍長.）

生13：經過討論，我們發現直線AB恒過一個定點. 由于點B，P，A，C共圓，因此線段AB可理解為圓C與該圓的公共弦，兩圓的方程相減，即可獲得直線AB的方程，確定直線AB恒過一個定點.

師：還發現有其他定量嗎？

生14：在點B，P，A，C處于同一個圓的背景下，設點P（2t，t），那么x（x－2t）+（y－4）（y－t）=0為該圓的方程，發現該圓恒過定點.

教師板書：動中有定：①直線AB恒過定點；②四點共圓恒過定點.

師：非常好！現在請一組、三組的同學解決直線AB恒過定點的問題；二組、四組的同學解決四點共圓恒過定點的問題.

（學生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點評.）

師：如圖3所示，假設點N為AB的中點，當點P運動時，點N會怎樣？

師：非常好！由此我們還發現“動中有軌跡”（板書）. 據此，大家還能聯想到什么問題？

生16：還可以求PN的最小值.

（學生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點評.）

設計意圖 引導學生通過自主探究與討論，獲得“動中有定”與“動中有軌跡”的結論，對問題產生更深層次的認識與研究，并再次驗證“動中有界”的結論.

評析 課堂教學是動態發展的過程，也是不斷生成的過程. 此教學環節，在教師循循善誘的引導下，學生的思維進入了更廣闊的空間，通過自由討論，不僅提出了高質量的問題，還針對這些問題開展了合理的分析與總結，由此充分體現了“以生為本”的教學理念.

課堂在教師的引導下，賦予學生充足的時間與空間進行思考，隨著一個個問題的提出、分析與解決，不僅有效地激發了學生的潛能，還讓學生獲得了更多的成就感，建立了學習信心，為學生“四能”的提升夯實了基礎.

5. 適當拓展，鞏固提升

問題：在平面直角坐標系xOy中，直線l：ax+by+c=0，點P（-1，0），Q（2，1），已知實數a，b，c為等差數列，如果點P在直線l上的射影是點H，線段HQ的取值范圍是什么？

（學生解題、板演，教師點評.）

設計意圖 這是本節課的最后一個問題，具有總結、鞏固與提升的意圖. 直線l的“動”，意在鞏固“動中有定”；點H的“動”，意在鞏固“動中有軌跡”；求線段QH的取值范圍，意在鞏固“動中有界”. 此問的設置，主要是為了幫助學生總結、鞏固本節課的教學重點與難點“三動三有”，進一步提升學生對此類問題的理解與解決能力.

教學思考

1. 循序漸進，促進思維發展

新課標提出：高中數學課堂教學，需要培養學生對數學學科的興趣，循序漸進地幫助學生建立學習信心，以不斷提高學生的實踐能力，形成正向的世界觀與數學觀.

本節課，每一個問題都具有一定的開放性，學生經歷問題“輕度開放—中度開放—深度開放”的過程，通過逐層遞進的方式，使學生的思維沿著問題的階梯拾級而上，逐漸形成良好的學習自信，同時也充分展示學生自主提出、分析、講解與拓展問題的思維歷程，切實達成培養學生“四基”與“四能”的目標.

2. 結合實際，掌握問題的“度”

當然，設置開放問題時要掌握好一個“度”，一定要結合學生的實際認知結構與教學內容提問. 假設本節課不是復習課，而是新課，若采用上述教學方法，不僅會讓學生聽得云里霧里，課程無法推進，更談不上培養學生的“四基”與“四能”.

3. 分層教學，促進全面發展

觀察學生所提出的每一個問題，都是之前教學中涉及的常規問題，并沒有出現太多具有挑戰性與創新性的新題型. 由此可見，教師應將培養學生的“四基”與“四能”的理念落實在每一堂課中，只有具備了一定的知識儲備與能力基礎，才能提出具有創造性的問題. 在復習教學中，教師也可以利用學生的差異性提出不同的問題，生成更多、更好的探究資源，讓課堂充滿活力與智慧，促進學生全面發展.

總之，在新課標引領下的高中數學課堂教學離不開問題的驅動，而問題的設置值得每一個教師精心預設與思考. 開放性問題能有效激發學生的潛能，讓學生提出更多值得探索的新問題，為“四基”與“四能”的發展奠定基礎.