基于改進粒子群優化算法的分數階PID控制器

李小松 孫志敏

摘要：針對控制系統控制性能不穩定的問題，實踐中可在控制系統里設定一種分數階PID控制器。相比于整數階PID控制器，分數階PID控制器增加了λ和μ兩個控制參數，這樣可以讓控制器在控制過程中擁有更好的性能，但同時也使得參數整定使用更加困難。為了更容易地求出控制器的參數，需要使用改良過的粒子群（PSO）優化方法來進行整定，將時間誤差絕對值（ITAE）準則應用到控制器的控制過程當中，可以快捷地得出分數階PID控制器的優化參數。通過對常規PID控制器與分數階PID控制器的仿真結果進行對比，經過優化后的粒子群算法得到的參數在運用到控制系統中時會得到的更好的效果，說明了優化后的分數階PID控制器的控制效果要優于整數階PID控制器的控制效果。

關鍵詞：分數階PID；粒子群算法；參數整定

doi：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2024.03.023

中圖分類號：TP 273? ? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? ?文章編碼：1672-7274（2024）03-00-03

隨著近年來科技的不斷進步，工業和醫療對科技的要求也越來越高。在20世紀90年代Podlubny提出，將傳統PID控制器引入微分階次μ和積分階次λ，增加了FOPID控制器的控制范圍[1-2]，控制精度大大提高，在被控對象的控制過程中也可以更加靈活地操作。

相比于傳統PID控制器，FOPID控制器增加了兩個參數，在參數整定方面，FOPID控制器變得更加復雜。傳統控制中采用整數階PID控制器是因為缺少求解分數階微分方程的數學工具，FOPID控制器雖然可以解決許多復雜難題，但是參數整定的問題如果不能得到有效解決依然不能得到廣泛推廣，于是參數整定的問題成為分數階PID控制的研究熱點。相比于常見的頻域幅值裕量法和主導極點法，采用優化方法可以縮減很多工作量。優化方法最重要的一環就是獲得優化參數，在控制系統的控制過程中正是借用這些參數提升系統性能的，利用粒子群（Particle Swarm Optimization，PSO）優化算法是當下獲取參數運用比較廣泛的新型算法。

1? ?分數階微積分及分數階PID控制器

1.1 分數階微積分

整數階微積分通過延伸的方式推出分數階微積分，只要不是整數階次的微積分就可以被定義成分數階微積分。若想實現多種階次的微積分也需要依靠分數階微積分，分數階微積分的算子能在整數階微積分算子的基礎上拓展得到，表達式如下：

式中，為分數階微積分算子；下限中積分或微分用a表示；上限中積分或微分用t表示；階次用表示。下面四個公式是分數階微積分中使用最多的定義。

（1）Caputo表達式。

式中，α<0。

（2）Cauchy表達式。

式中，C為開區域的光滑曲線。

（3）Grunwald-Letnikov表達式。

式中，為函數的二項式系數；[（t-α）]可以趨向于∞。

（4）Riemann-Liouville表達式。

1.2 FOPID控制器

FOPID控制器和傳統PID控制器的不同之處就在于FOPID控制器多了兩個可以任意調整的參數，其傳遞函數為

圖2是FOPID控制器在數軸坐標下的表示，數軸中用橫坐標表示積分階次，用縱坐標表示微分階次。通過橫縱坐標的改變可以得到常見的PID控制器，在特殊情況下也會得到另外兩種控制器。

從圖2中得到的信息有很多，例如，圖2中的陰影部分涵蓋的是λ和μ的所有值，得到PD控制器只需要將λ用0表示μ用1表示，得到PI控制器只需要將λ用1表示μ用0表示。對于整數階PID控制器我們將λ和μ共同賦予數字1即可得到，由此可見分數階PID控制器可以變成上述三種控制器。

整數階PID控制器中的微分環節中有固定的相角超前，通過產生修正信號來改善系統的穩定性，并提高系統的動態性能。但是固定的相角超前可能達不到理想的控制效果，而微分環節在分數階控制器中可以任意改變μ的值，這樣可以使相角超前在0°～180°之間任意改變，直到調節到最適合被控系統的值。大量實驗數據結果證明，在震蕩頻率，控制時間和超調量這些重要數據都受到u值干擾的情況下，u值的選擇極其重要并直接決定了系統的各項指標。表示相角滯后的PID控制器，可以提高系統的穩態性能，但也降低了系統的動態性能，可能使系統響應太慢，大大延長了調節時間，從而使得與預期的結果相差甚遠。代表在控制器中占有重要意義的積分環節，由于λ可以任意改變其值，所以相角滯后可以在0°～180°之間任意變化，使得調節時間和超調量減小，穩態精度提高，這樣可以更好地使系統達到穩定，同時也保證了系統的動態性能和穩態性能。

2? ?粒子群算法和仿真實驗

選取文獻[3]中的經典的分數階被控系統

用粒子群算法對被控系統設計FOPID控制器主要任務是參數的整定，、、、μ、λ這5個參數是需要被整定的。

第一步對粒子群在五維空間中選擇最優位置，設定由5個參數的量子位置組成的向量是，，將量子位置轉為優化解區域的值來計算量子粒子適應度值，有如下規則：

式中，為第d個參數優化的下限值；為第d個參數優化的上限值；為第k次迭代中第i個量子粒子在第d維中的位置。

表示第i個量子粒子的個體最優位置，表示在位置最優情況下量子粒子群的整體，用以下的公式表示整個演變過程中粒子i坐標和相角的改變軌跡：

設粒子數；最大迭代次數；；，學習因子。

第二步在確定具體哪個函數指標性能較好時，階躍響應時間同誤差絕對積分（ITEA）的結合結果更好，因此在適應度函數的選擇上使用了ITEA，即：

取得計算步長，。

其結果函數值大小與控制器的控制性能相關，函數值越小，則整定的參數值越好，控制系統的動態性能也越好。利用上述方法得到一組參數數據：=99.75，=81.34，=92.16，λ=1.09，μ=1.67，得到分數階控制器：。

比較其他設計方法設計出的FOPID控制器作用在相同被控對象下的情況。

第三步用極點階數法、差分進化算法和幅值相位裕量法得到4個不同的FOPID控制器。

得到的階躍響應對比曲線如圖3所示?？梢娪昧Ｗ尤核惴ǖ玫降腇OPID控制器控制的系統調節時間超調量都很小，整個系統的動態特性優于其他方法得到的FOPID控制器?，F給一傳遞函數：

采用ITAE準則指標優化后得到優化后的FOPID控制器參數，，，，，得到FOPID控制器的傳遞函數，用常規PID控制器設計方法得到。

通過上述仿真結果可知，FOPID控制器的控制性能明顯好于一般意義上的PID控制器。將普通的PID控制器與結論推出來的控制器做對比，本文得到的控制器的準確性和快速性更好，穩定后的誤差也更小，超調量變小，調節時間也變短，表現出很好的魯棒性和穩定性。

3? ?結束語

在確定FOPID參數的實驗中，使用了多種不同模式的辦法，相比于其他求FOPID控制器參數的算法，采用經過優化后的粒子群算法得到的FOPID控制器效果表現更好。仿真實驗也從多個角度證明了分數階PID控制器和整數階PID控制器存在本質的區別，在具體實驗中也可以看出，優化后的分數階PID控制器控制效果較好，穩定性得到了明顯的改善，超調量更小，調節時間也更短。在穩定性，準確性和快速性方面都取得了更優的效果。

參考文獻

[1] 劉璐，單梁，蔣超，等．基于改進粒子群算法的分數階系統參數辨識（英文）[J]．東南大學學報（英文版），2018（1）：6-14.

[2] 王心，郭偉，魏妙．基于粒子群優化的分數階PID滑?？刂茀嫡╗J]．測控技術，2017（12）：63-66.

[3] Engineering - Mechanical Engineering; Data from Warsaw University of Technology Advance Knowledge in Mechanical Engineering （Plc Based Fractional-order Pid Temperature Control In Pipeline： Design Procedure and Experimental Evaluation）[J]. Journal of Engineering， 2020，67（3）：102-106.