玉經雕琢方成器 劍拔沉埋便倚天
——記一道市質量檢查試題的命制過程與感悟

陳崇榮

(福建省寧德市柘榮縣第一中學)

璞玉經過雕琢終會成為精美的玉器,寶劍經過沉埋鍛造才可以削鐵斷金.命制試題也是一樣,只有投入大量的精力,經過不斷的加工、打磨才能命制出一道好題,從而發揮對教學的導向作用.筆者有幸參加了2023年寧德市高三5月份質量檢查試卷的命制,本文分享命制試卷中圓錐曲線試題的命制過程及感悟.

1.命題的依據及方向

首先認真研讀《普通高中數學課程標準(2017年版)》和《中國高考評價體系》,《普通高中數學課程標準》在命題原則中著重強調對學生數學學科核心素養的考查.《中國高考評價體系》確立了“一核”“四層”“四翼”的整體框架,是高考命題的理論基礎,提出命卷要體現基礎性、綜合性、應用性和創新性.結合近幾年高考圓錐曲線試題的特點,制定命題方向及要求如下:

①試題的考查內容聚焦對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧.

②試題必須引導教學,對平時的教學起引導作用.因此堅持“源”于課本,高于課本的原則,兼顧試題的公平性,試題難度有梯度性,讓大部分學生能入手,體現基礎性,也有綜合性,創新性.

③試題的考查體現核心素養的掌握.圓錐曲線是落實直觀想象、數學運算,邏輯推理等核心素養的重要載體,因此要能較好地考查考生的數學運算能力,邏輯推理能力,直觀想象能力,讓學生掌握研究解析幾何的基本方法—代數法,突出幾何條件的代數轉化能力,真正體會解析幾何的本質.

2.立意與選材

圖1

本題是課本例題,所求的軌跡是橢圓.可以對本題進行推廣,得出以下結論:

結論1：設A,B兩點的坐標分別為(-a,0),(a,0)(a>0).直線AM,BM相交于點M,且他們的斜率之積是m(m≠0),求點M的軌跡方程.(m<0,軌跡是橢圓;m>0,軌跡是雙曲線)

圖2

圖3

圖4

圖5

【點評】波利亞曾說過:“觀察可能導致發現,觀察將揭示某種規則、模式或定律.”

通過課本例題,可以得出結論1、結論2、結論3,據此可以進行編制一些試題,而且符合源于教材,高于教材的命題原則.

(1)求C的方程:

(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點Q,使得|DQ|為定值.

(1)求C的方程;

【點評】本題線段長度的合理代數化轉化是解題的關鍵,用代數法研究幾何問題是解析幾何的本質,數形結合是解析幾何的重要思想.該題通過探究可以得:若點T(x0,y0)是橢圓內任意一定點,過T的兩條直線分別交橢圓C于A、B兩點和P、Q兩點,且滿足TA·TB=TP·TQ,則直線kAB+kPQ=0,即A、B、P、Q四點共圓.

3.命題的命制與加工

(1)求曲線E的方程;

(2)記E上不同的三點A,B,C,其中A為E的右頂點,若直線AB,AC的斜率之積為1,證明:直線BC過定點.

筆者正好參加高二的期末區域性學業質量檢測命卷,圓錐曲線的解答題就定了這道題.但該題作為高三的5月份質量檢測過于簡單,需進行修改,于是再次改編如下:

2稿,3稿,4稿雖然難度比1稿提升了許多,先考查了直線AB過定點問題,接著利用平面幾何性質求定值|DN|或者Q的軌跡方程,但是和2020年山東卷第22題太相似了,建議橢圓改為雙曲線,同時結合題源3,與四點共圓的知識相交匯,于是就有了下面的第5稿.

(1)求點D的軌跡方程.

(2)AD的延長線交曲線E于點Q,若∠ACB=∠BQA,求弦長BC.

試題第5稿出來后,命題組老師進行了討論,凝聚共識,得出了以下幾點修改意見:

①第一問偏難,達不到區分目的,而且作為高三5月份質量檢測,應給學生多一些信心,建議第一問降低難度,給不同層次的考生水平得到合理評價.

②條件∠ACB=∠BQA不容易轉化為四點共圓,建議條件更加直接一點.

③因為雙曲線有左右兩支,為了避免麻煩,限制點A、B、C在同一支.

④題目不夠簡潔,歷屆高考試題,第一問的已知條件相對簡潔.

⑤求直線BC的斜率比求弦長BC更簡潔.

(1)求E的方程;

消去y得(1-4k2)x2+16k2x-16k2-4=0,

【點評】試題分步設問,逐步推進,具有區分度,注重對基本概念、基本方法的考查,考查內容由淺入深,層次分明,重點突出,源于課本又高于課本,能很好地引導中學數學教學回歸課本.試題對考生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養,以及靈活地運用解析幾何的基本方法將問題合理轉化的能力有一定的要求,體現了用代數方法研究解析幾何的本質,同時又體現了解析幾何的幾何本真.六種解法對比可以發現,解法一、二、三是通性通法,對運算素養有較高要求,體現解析幾何的本質,能很好考查學生對解析幾何基本方法的掌握程度.解法四、五、六計算量小,但較靈活,要求也較高,曲線系方程求解的方法,坐標平移的方法估計一部分學生不熟悉,但也有些學生通過網課、數學競賽頻繁有接觸過.因此解法一、二、三列在前面,也是本題主推的參考答案.

4.命題感悟

華羅庚曾說,命題比解題難,命題要測得出水平,測得出能力.這就要求命題之前要認真研讀《普通高中數學課程標準》、《中國高考評價體系》,熟悉歷年的高考真題,確保命制的試題不偏離方向.

課本是眾多專家智慧的結晶,課本是發展學生核心素養的載體,課本的例題、習題是命題之源.平時教學中認真鉆研教材,對課本例題、習題或者閱讀材料等進行深入研究,對其進行變式、推廣、遷移、整合.只有平時積累了素材,后期的試題命制才不會“無米之炊”.

選好素材后要精雕細琢,不斷打磨,提出符合學生認知能力的問題,不宜出太難或者復雜的問題,命制的試題要具有良好的區分度,入口要寬,一題多解,讓不同層次學生的水平得到合理的評價.