以有效設問的視角架構單元起始課教學
——以“平行四邊形及其性質”一課為例

何 娟

（浙江省東陽市江北初級中學）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《標準》）指出，教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、計算、推理、驗證等方法分析問題和解決問題.課堂教學是培養學生數學思維的主要渠道，培養學生的思維能力是數學教學永恒的主題，提升課堂設問水平是提高學生數學思維水平的關鍵.

幾何起始課教學在引導學生對概念、性質理解方面，更多地著力于思維訓練，以達到使學生舉一反三、融會貫通的目的.筆者以浙教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊（以下統稱“浙教版教材”）“平行四邊形及其性質”一課為例，以有效設問實現知識教學的一體化，以深度思考促進知識體系結構化，以思維導圖揭示學習路徑最優化，讓學生不僅學會數學知識，而且學會獲取知識的路徑和方法，真正調動學生學習數學的積極性，提高數學課堂教學效率.

一、有效設問的概念界定和形式

有效設問是指教師基于學生已經掌握的知識基礎和方法經驗，以關鍵問題為導向，引導學生積極思考、深入探究的一種教學方式.這是引導學生有意識地圍繞特定目標，付出持續心理努力的高層次思維能力的過程，它具有邏輯性、整體性、嚴謹性、發散性、批判性等特點.

有效設問的主要形式有問題鏈、類比題組、變式題組等.

二、教學內容和目標分析

特殊的平行四邊形是平行四邊形的特殊化.現將浙教版教材中“平行四邊形”和“特殊平行四邊形”兩個章節的內容進行整合，重組為“平行四邊形”教學單元.“平行四邊形及其性質”為本單元的起始課.本節課的核心內容是平行四邊形的概念及性質探究，主要對平行四邊形邊的位置和數量關系及角的數量關系進行研究.本節課對平行四邊形的研究從定量分析走向定性分析，在明確平行四邊形概念雙重性的基礎上，從概念建構、探究路徑、思想方法三個維度展開有序思考與探究，不斷滲透數學的思想與方法，發展學生的幾何直觀、運算能力和推理能力，為后續特殊平行四邊形的探究提供樣例與基礎.

本單元的教學目標如下.

（1）能從實際情境中抽象出平行四邊形和特殊平行四邊形等幾何圖形，經歷建構概念的過程，培養學生的抽象能力和幾何直觀；理解平行四邊形、特殊平行四邊形的定義、性質與判定定理，會進行有關線段、角的數量關系或位置關系的計算與證明.

（2）經歷平行四邊形、特殊平行四邊形的性質與判定定理的發現與探究過程，歸納平行四邊形的學習路徑，發展學生的抽象能力和推理能力.

（3）通過對比平行四邊形與特殊平行四邊形的知識內容和探究方法，使學生體會數學知識之間的聯系，培養學生批判質疑和勇于創新的理性精神與思維品質.

本節課的教學目標如下.

（1）通過生活情境的引入加深學生對平行四邊形概念的理解，能識別平行四邊形的對邊、對角、對角線等元素，發展學生的幾何直觀和抽象能力.

（2）經歷探索平行四邊形性質的發現和證明過程，掌握平行四邊形的不穩定性，學會用轉化、類比等思想分析和解決問題，提升學生的推理能力和運算能力.

（3）能利用平行四邊形的性質解決簡單的問題，解釋平行四邊形的性質在生活中的應用，滲透整體建構幾何圖形的一般思路與方法，提高學生的推理能力、應用能力和創新意識.

達成課時教學目標（1）的標志是：能基于已有知識掌握平行四邊形的概念，會用定義判定一個四邊形是不是平行四邊形，能根據圖形寫出兩組對邊的位置關系.

達成課時教學目標（2）的標志是：經歷平行四邊形性質的發現和探究過程，會從對邊、對角的位置關系和數量關系等角度探究其性質，能利用性質進行有關邊和角的簡單計算與證明.

達成課時教學目標（3）的標志是：會用平行四邊形的性質解決簡單問題，能自發聯想到利用平行四邊形知識靈活分析和解決問題，滲透類比和轉化思想.

三、有效設問單元起始課的實踐

1.聚焦思維的邏輯性設問

邏輯思維能力是學生準確而有條理地展現自己思維過程的能力.初中幾何內容本身具有結構良好的邏輯體系，既有幾何直觀基礎上的邏輯推理，又有滿足邏輯推理上的幾何直觀，是發展學生直觀想象和推理能力的重要載體.幾何教學重在發展學生的理性思維，通過不斷類比、啟發，引導學生獲得研究問題的方法和角度，使學生在螺旋上升的數學學習過程中掌握學習幾何圖形內容的一般觀念.因此，高效的課堂教學需要通過有邏輯地設問讓學生感悟幾何圖形之間的內在聯系，將知識系統連貫成一個有機整體，促進學生幾何思維水平的提高，達到“啟發引導”“以問誘思”“循問悟法”的效果.

教學片斷1：抽象圖形，確定對象.

問題1：觀察圖1中的三個實物圖形，你能從中抽象出哪些幾何圖形？它們之間有什么內在聯系？

圖1

師生活動：學生回答圖中有四邊形、平行四邊形、菱形等，且平行四邊形是特殊的四邊形.教師根據學生的回答畫出圖2.

圖2

問題2：我們對三角形知識的學習是按照從一般到特殊的路徑展開的，對于等腰三角形知識的學習是以怎樣的路徑展開的？

師生總結：對等腰三角形的學習按照“概念—性質—判定”的路徑展開.

【設計意圖】從學生原有的知識經驗出發，引導學生從生活中抽象出幾何圖形，感知數學與生活的聯系.通過回顧四邊形與平行四邊形的內在關系（如圖2），喚醒學生的學習記憶，為后續平行四邊形內容的學習尋找原有的知識基礎.通過回顧“三角形”一章的學習，讓學生感悟從一般到特殊的研究方法，了解從“四邊形—平行四邊形—特殊平行四邊形”的學習路徑，讓學生體會從一般到特殊的數學思想方法.

2.聚焦知識的整體性設問

知識的整體性，是指學生的思考過程不局限于本節課的認知，而是基于所學的相關知識尋找知識間的共性與不同，讓新舊知識之間產生關聯，形成一個有機的整體.根據課堂教學和研究對象的情況，教師可以通過有效設問引導學生自主探究，從整體上把握學習方向和具體教學內容.

教學片斷2：類比探究，明晰路徑.

問題3：對平行四邊形知識的學習如何展開？

學生回答：類比等腰三角形，按照“概念—性質—判定”的學習路徑展開.

問題4：結合從生活中抽象出來的圖形（如圖3），思考如何定義平行四邊形，如何用符號語言表示平行四邊形.

圖3

追問：由兩組對邊分別平行，可得四邊形是平行四邊形；反之，你還能從定義中獲得什么信息？如何用符號語言表示？

問題5：根據三角形的學習經驗，你能用符號語言表示平行四邊形，并介紹平行四邊形的組成要素嗎？

【設計意圖】根據學生的反饋，將點狀散亂的知識梳理成知識線，在歸納等腰三角形的學習路徑后，有意識地引導學生進行知識和學習方法的關聯，學習用類比的方法進行一般觀念下的幾何探究，揭示平行四邊形與一般四邊形之間的種屬關系，引導學生感受“屬+種差”的定義方式，這也是后續特殊平行四邊形定義的引入方式.通過類比三角形的學習路徑，逐步引導學生從定義、表示方法、組成要素等方面建構平行四邊形的概念，注重對概念的深度理解，形成知識與方法體系，為后續特殊平行四邊形、圓等其他幾何圖形的學習提供樣例.

3.聚焦學習的嚴謹性設問

學習的嚴謹性包括推理嚴密、書寫規范、計算無誤，以及使用數學語言準確進行表達的能力.教師在引導學生用不同的方式去探索和嘗試，從不同的角度思考、分析問題的同時，更要引導學生樹立大膽猜想、細心驗證、嚴謹證明的學習態度.

教學片斷3：問題鏈設問，嚴謹論證.

問題6：你能用手中的小棒擺出一個平行四邊形嗎？你能用什么方法或步驟說明所擺的圖形是平行四邊形？

問題7：觀察各自擺出的平行四邊形模型，它們有什么特征？任意平行四邊形都具有這些特征嗎？能否給出嚴謹的證明？

教師根據學生的回答進行板書，并填寫表1.

表1

問題8：當三角形的三邊確定時，三角形的形狀和大小也隨之確定，平行四邊形問題可以轉化為三角形進行研究.它們具有共性，也有不同.類比三角形，觀察各自所擺的平行四邊形模型，你有什么發現？

學生發現大家所擺的平行四邊形的形狀不是相同的.

追問：你能說一說平行四邊形的這個性質嗎？一般四邊形是否也具有這個性質？

學生回答：當平行四邊形的四條邊確定時，這個平行四邊形的形狀沒有確定，即平行四邊形具有不穩定性.一般四邊形也具有這個性質.

【設計意圖】學生通過抽象擺出的圖形建立幾何直觀，鞏固用定義判定平行四邊形的方法.教師引導學生抽象平行四邊形對邊的位置關系和數量關系及對角的數量關系的本質特征，經歷有關平行四邊形的性質定理的發生發展及證明過程.學生在經歷操作、觀察、猜想后，能將四邊形問題轉化為用三角形的知識加以證明，提高了抽象能力和推理能力，為之后得出平行四邊形對角線的性質作鋪墊.二次利用操作過程，引導學生再次觀察和思考，通過類比三角形的穩定性，使學生深入理解平行四邊形的不穩定性的內涵，體會平行四邊形的不穩定性在生活中的廣泛應用，引導學生用平行四邊形的相關知識解釋其在生活中的應用原理，并用數學語言加以表達.

4.聚焦思維的發散性設問

發散性思維是一種從不同的方向、途徑和角度去猜想，或者探究多種答案，最終使問題得以解決的思維方式.變式題組能很好地反映學生的知識掌握情況.根據學生思考角度的不同，考查學生的思維能力，使不同的學生在數學學習中獲得不同的想法與發現.

教學片斷4：鞏固應用，積累經驗.

練習1：如圖4，在?ABCD中，∠B=70°，則∠A的度數為______，∠C的度數為______，∠D的度數為______.

圖4

練習2：如圖5，E，F分別是?ABCD的邊AD，BC上的點，且AF∥CE.求證：∠BAF=∠DCE.

圖5

【設計意圖】設計有關角度的練習題，讓學生感受從具體到抽象的變化，以培養學生從發散性思維的角度尋求證明角相等的多種方法，從而積累活動經驗，促進學生思維的深度發展.

5.聚焦思維的批判性設問

教師要引導學生關注自己思維活動的全過程，積極剖析自己發現和解決問題過程中的思維與方法，更加全面地看待問題，培養學生的批判性思維能力.學生通過編題的指引，可以深入思考更復雜的問題，也可以通過原先的假設或解題過程，重新審視條件和結論，從而更清楚地看到問題的本質，逐步建立批判性思維，進而形成更為完善的認知結構.

教學片斷5：小組編題比賽.

要求：①在如圖4 所示的?ABCD中，添加一根或兩根小棒；

②根據添加小棒的情況編題，題型不限，寫出已知和所求，并給出解答.

各小組報告編題成果如下.

小組1：如圖6，在?ABCD中，∠BAD的平分線交邊BC于點F.求證：△ABF是等腰三角形.

圖6

小組2：如圖7，在?ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線分別交邊BC于點F，E，AF與DE的交點為點G.求證：△ADG是直角三角形.

圖7

小組3：如圖8，E，F分別是?ABCD的邊AD，BC的中點.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.

圖8

教師根據學生的編題情況，引導學生進一步思考：你是如何想到這樣編題的？與哪些幾何知識有聯系？

【設計意圖】基于上述操作環節，讓學生以幾何圖形和相關要素為基礎進行編題，進一步鞏固對平行四邊形性質的掌握.通過開放性的編題活動，教師帶領學生總結證明邊、角相等的常用方法，從邊、角、對角線的有關計算和證明中發散學生的思維.通過追問“你是如何想到這樣編題的？”引導學生揭示所學知識之間的聯系，挖掘題目背后體現的思維價值和方法指引，引導學生從平行四邊形的組成要素和相關要素等角度進行有序思考，用發展、運動的眼光來看待問題和評價過程，優化思維品質.學生所編的題目初看是基于對中線、角平分線的理解，實則關聯了三角形、平行線等知識，結合了方程、分類討論、轉化等思想，從更高層次抽象出了平行四邊形性質的本質，幫助學生實現了創新性思維和拓展性思維水平的提升.

數學活動課更應該是數學思維課，有效設問能使課堂導入中有先行組織者的導航統領，自主探究中有層層深入的思維遞進，例題分析中有對概念本質的深度理解，小組合作中有思維火花的交互碰撞，最終實現學生思維水平、思維形式、思維品質等不同維度的高階思維發展.

四、起始課中有效設問的注意點

數學課堂設問要基于學生思維的最近發展區，從知識所蘊含的思想方法中尋找靈感，反映當前內容的本質，具有發展性、嚴謹性和啟發性，培養學生自主提問的能力.核心素養導向下的單元起始課教學，要立足知識的生長點，以解決關鍵問題為出發點，理解數學知識的產生與來源、價值與意義，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯.

1.明晰基本內容，發揮統領作用

在“三角形”單元的學習中，學生按照從一般到特殊的路徑學習知識內容，從而確定平行四邊形的教學也可以遵循從“四邊形—平行四邊形—矩形、菱形—正方形”的路徑進行探究.一方面，通過有效設問讓學生感悟從一般到特殊的研究順序與類比學習方法的普適性，類比特殊三角形的概念建構，研究特殊四邊形也可以從基本元素（邊、角、對角線）展開，再結合相關要素（角平分線、中線、高線）構成常見幾何圖形，根據圖形的構成要素和相關要素從數量關系和位置關系角度展開對性質和判定的研究；另一方面，通過有效設問讓學生經歷對所學概念的建構過程，引導學生有效關聯相關知識，厘清聯系與區別，對所學知識連點成線，逐漸構建知識網絡，以達到優化數學知識結構的目的.通過類比和遷移，明晰所學內容的知識結構，明確知識探究的方向與方法，真正發揮有效設問的統領作用.

2.厘清主次關系，構建相關體系

《標準》指出，要重視數學結果的形成過程，處理好過程與結果的關系；要重視學生直接經驗的形成，處理好直接經驗與間接經驗的關系.以學生原有認知為基礎，通過有效設問，讓學生整體把握本章的研究內容和研究脈絡，經歷自主確定平行四邊形的定義、性質、判定的研究路徑，積累對數量和數量關系、圖形和圖形關系抽象的活動經驗，形成研究幾何圖形的一般觀念，從而逐步構建探究幾何圖形的方法與知識體系.

3.引發深度思考，變革教學方式

在探究過程中，學生獲得的不僅僅是平行四邊形的有關知識和學習方法，更重要的是獲取了程序性和策略性的知識.立足每一個知識的生長點，通過類比三角形知識的學習方式，有效利用知識間的關聯，使學生明確研究新知的方向和方法，從中產生有意義、有深度的數學思考與探究.讓學生嘗試不同的學習方式，提升學生的自主思考和自學能力，對于接下來如何學習平行四邊形及特殊平行四邊形具有很強的導向作用，為學生提供了更大的發展空間.

4.強調“學為中心”，發展數學核心素養

學生在小學階段通過觀察、操作認識了平行四邊形，包括對其周長和面積的探究.基于學生思維的最近發展區，初中階段再探究平行四邊形時，則注重從定性分析深入到定量研究，強調圖形語言和符號語言之間的相互轉化.本節課中，教師通過帶領學生體驗一系列操作活動，引導學生經歷知識的發生發展過程，在觀察與比較中發現和提出問題，在類比與歸納中分析和解決問題，在編題中提升應用能力和創新意識，注重思想方法的滲透和解題策略的提煉，以提升學生的系統思維能力和探究幾何圖形的高階思維能力，真正體現“學為中心”的宗旨.

培養學生的數學思維能力是數學教學的根本任務，它決定了學生對知識方法的掌握水平及創造性能力的提升.有效設問是最基本的課堂組織形式，教師更應該創新有效問題鏈的設計，以提升學生的數學思維能力，發展學生的數學核心素養.