高中數學數列試題的解題方法與技巧解析

摘 要：基于新課程改革要求重視學生思維能力培養的大背景，高中數學教師應重視數列試題的教學。文章從講述數列章節的重要性出發，針對學生的學習特征，詳盡分析了高中階段數學各類數列試題的具體解題方法與技巧，以提高學生的數學思維能力。

關鍵詞：高中數學；數列試題；解題方法；解題技巧

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2024）06-0071-03

數列指依據一定順序進行排列的一列數。數列中的數被稱為這個數列的項，排首位的為首項，排第二位的為第二項……以此類推，排在第n位的數，就被稱為第n項，一般會用“an”表示。在高中數學教學中，

數列是學生習得知識、鍛煉思維能力的重點內容。又因為數列與函數和不等式間的緊密關聯，數列這一章節的試題題型相對復雜。學生在解此類試題時也會產生無法解答或是不能輕易解答的困擾。結合新課程改革背景下高中數學課堂需轉變學生解題思維、增強學生學習意識、推進學生核心素養發展的要求，高中數學教師不僅要重視數列這一章節內容的教學，還要格外關注數列試題解題方法與技巧的教學。只有這樣，學生才能在解題的過程中掌握與數列相關的解題方法與技巧，精確且迅速地解答數列問題。

一、數列章節的基礎內容及重視試題方法與技巧研討的重要性

（一）數列章節的基礎知識與內容

通過對新高考題型的分析與解答，可以明確數列這一數學內容在其中的重要地位。又因為數列內容的復雜性，高考時的數列試題難度都會比較大。所以，數列是高中數學教師公認的重點和難點[1]。

以蘇教版數學必修5第12章“數列”為例。本章主要講述了“數列的概念”“等差數列”和“等比數列”

以及兩者的整合運用。雖然本章的教學內容并不繁雜，但數列內容中有著極為豐富的數學思想和方法。特別是數列求通項與和，解題方法不僅多，且需要解題者擁有靈活的思維。對于教師來說，不僅要通過對數列各類解題方法的細致歸類，拓展學生的解題思路，還要依靠對典型例題的選取，使學生逐步形成數列試題解題意識。

（二）掌握高中數學數列試題解題技巧與方法的必要性

基于新課程改革的教學要求，數列層面的教學不應只停留在概念講述和理論闡釋方面，還應讓學生依賴一定的方法和技巧，對數列試題進行深層次的探討和研究，以使學生在理解能力逐步提升的基礎上，強化自身綜合應用能力與解題能力[2]。

新課程改革對高中數學試題解題技巧與方法教學也提出了相應的要求，新高考制度下的試題也展現出了符合課程改革要求的內容，如數列與函數的融合、數列與方程的融合、數列與圓的融合等一系列問題。這些問題的變換不是為了增添難度，而是為了促進學生數學思想上的融合。當學生學會了針對這類問題的解題方法，其整體知識框架也會得到完善。

（三）在高中數學教學過程中重視數列試題解題技巧與方法教學的價值彰顯

1.有助于學生數學學科素養的提升

無論是概念上的數列試題考查，還是數列通項公式的試題考查，學生在解題時，都會用到各式各樣的解題方法，如累乘法、累加法、倒序相加法等。這些解題方法都在某種程度上展現了有魅力的數學思想。而包裹在這些方法中的思想核心，除連接了與函數相關的數學內容，還與導數存在著密切的關聯[3]。由此，

教師在結合數列試題講解解題技巧時，就會借助數列與其他數學知識間的連接，發散學生的數學思維。學生也會在思維的發散之下，提高自身數學學科核心素養。

2.有助于拓寬學生的知識面，便于學生構建完善的思維體系

在解數列試題的過程中，高中生一般只會單一地應用數列公式或是概念性質，進行針對數列問題的求解。而分析近幾年的高考試題可知，數列試題的呈現并不單一。為此，學生若能夠通過知識的連接進行解答，部分數列題目也會變得相對簡單。而這個過程要求學生擁有聯系各方數學知識的能力。

由此可見，教師重視數列試題解題技巧與方法的教學，明顯有助于拓寬學生的知識面，幫助學生形成綜合化的數學思維體系[4]。

3.有助于學生解題思維及意識的形成

高中的數學教育離不開思想、方法及應用實踐的教育。高中數學教師不能再沿用以往傳統的教學方式進行知識講解及解題教學。數列作為高三的教學內容，本身就具備一定的復雜性，加之與其他知識的關聯，更讓一些數列問題難度加大。假設學生連基礎的知識內容都沒有牢固掌握，他們在學習或是解題的過程中，就會出現不想學、不想解的想法。為讓學生形成熟練性的解題思維和意識，高中數學教師要重視數列試題解題方法與技巧的教學，繼而通過問題中的知識引導和探究，促進學生數學學科核心素養的發展。

二、數列試題的解題方法及技巧研討

（一）結合數列的基礎概念，解答簡易化數列問題

基礎概念雖然核心在基礎，但也是學生解答相關問題的關鍵，會對學生的解答思維產生一定的影響。初中階段的數學學習通常不會關聯至數列內容，因此，學生都是在進入高中階段以后，才開始對數列問題有一定的認知的。這時，為發展學生思維能力、提高學生解題能力，教師就要重視夯實學生知識基礎，豐富學生知識儲備[5]。

例題1：當前有一等差數列{bn}，已知b4＝4，S10＝55，試求出S4為多少。

分析：依據題意可知，此題考查的是學生對等差數列概念的掌握。所以，在解答此題的過程中，教師可引導學生融合等差數列的概念進行解題，使學生通過對通項公式的靈活應用求出答案。

解：已知等差數列的通項公式為：an＝a1＋（n－1）d，

Sn＝na1＋d，將b4＝4，S10＝55，代入bn＝b1＋（n－1）d、Sn＝nb1＋d的通項公式中，可得b1＝1，d=1，S4＝10.

（二）基于繪圖方法的應用，解答填空式數列問題

在解答數列問題的過程中，繪圖方法也是學生需要掌握的一種解題技巧，而繪制的前提在于，解題者要懂得融合題干中的已知數量及關系，展開圖形繪制，然后再依照直觀性的圖像來探究題干問題中所含的數量關系和核心規律。這樣，復雜的數列問題才會變得相對簡單。

例題2：已知公差不為零的等差數列{bn}中bm＝n，bn＝m，且m與n不等，試著求出bm＋n為多少。

分析：因為bn是等差數列，且公差不為零，那就可判斷為bn是關于n的一次函數，由于bm＝n，bn＝m，那說明對應的坐標三個點應該位于一條直線上，根據斜率定律就可算出bm＋n的值。

解：已知bm＝n，bn＝m，那（m＋n，bm＋n）（m，n）（n，m）就處在同一直線，因為同一直線斜率相等，所以bm＋n的值就為0.

（三）立足數列試題的性質，解答非常規數列問題

數學性質作為數列部分知識學習進程中的重要內容，能夠有效協助學生提高數列解題效率。為此，高中數學教師在結合例題講述解答方法時，就要重視數列性質層面的知識傳授，且要教授學生怎樣結合數列性質來解答一些非常規的數列問題。這樣，學生的數學思維和解答數列問題的能力才可以得到提升。

例題3：已知{bn}為等比數列，其中n是正整數，

且b1b7=36，試求出b3b5＋b6b2為多少。

分析：在解答這一等比數列問題時，假設解題者應用比較符合常用規則的解題策略，即依照等比數列的通項公式進行問題解答，在解答b3b5＋b6b2為多少時，就容易出現不正確的答案。但如果借由等比數列的性質進行問題解答，就能夠快速得到此題的答案。

解：假設e＋f＝o＋p保持成立，那么bebf＝bobp，

由此可得b3b5＝b6b2＝b1b7＝36，那b3b5＋b6b2就等于72.

（四）重視數列公式的實踐，解答針對性數列問題

公式貫穿學生學習數學知識的始終，是學生需要精準掌握的知識內容，是在解答“通項公式”“前n項和”等問題時的主要解題方法。一旦學生掌握了公式的有效應用，其解題能力就會得到極大的提升。

例題4：（1）在等差數列{an}中，已知d＝2，n＝15，an＝-10，求a1及Sn.

（2）在等比數列{an}中，已知a2＋a3＝6，a2＋a4＝12，求q及S10.

分析：這兩道題分別從等差數列和等比數列的角度，向學生提出問題。學生在解答此類通項公式及前n項和時，就要重視對公式的掌握，比如對等差數列的通項公式和前n項和公式、等比數列的通項公式和前n項和公式的掌握，都可讓學生在解答通項公式、前n項和時，迅速通過公式給出相應的答案。

（五）關聯函數層面的思想，解答復雜化數列問題

在數學思想中，函數思想有其獨特的思想價值，不僅能夠將繁雜的問題簡易化，還能夠有效完善學生的解題思維。教師在講述關于數列問題的解題方法時，就可關聯函數層面的思想，解答一些復雜化的數列問題，并以此為核心，促進學生數學學科核心素養的

提升。

例題5：已知函數y＝f （x）為R上單調遞增的奇函數，數列{an}為等差數列，a3>0，則f （a1）＋f （a3）＋f （a5）的值為（ ）。

A.恒為正數 B.恒為負數

C.恒為0 D.可正可負

分析：函數y＝f （x）為R上單調遞增的奇函數，由a3>0，可知f （a3）>0且a1＋a5＝2a3>0，所以a1>-a5，f （a1）>

f （-a5）＝-f （a5），f （a1）＋f （a5）>0，所以f （a1）＋f （a3）＋

f （a5）＞0，所以選擇A，即恒為正數。

（六）重視方程思想的結合，解答目的性數列問題

在高中時期數學學習的過程中，方程思想和函數思想十分相似，都是學生應該掌握且應用在解題時的核心數學思想。在解答部分數列問題時，假設能夠相對靈活地對方程思想進行運用，那繁復的數列問題也會被簡化。關于方程思想在數列問題中的定義，實則就是在求解的過程中，依據系列化數列公式來搭建對應的方程組，之后借助方程組的解答形式，獲取正確答案。

例題6：{an}為等比數列，已知a1＝3，a9＝768，求a6。

解：設公比為q，那768=a1q8，q8=256，所以q=

±2，所以a6=±96。

（七）融合數列問題舉一反三，解答聯合性數列問題

為提高學生對一類數列問題的解答熟練度，教師可融合數列問題，列出舉一反三的問題，以此提高學生解答聯合性數列問題的能力。

例題7：已知一列數2，8，26，80，…，按此規

律，則第n個數是多少？（用含n的代數式表示）

解：已知一列數2，8，26，80，…，按此規律，則第n個數是3n－1。

舉一反三：如圖1，∠AOB＝60°，O1，O2，

O3，…是∠AOB平分線上的點，其中OO1＝2，若分別以O1，O2，O3…為圓心作圓，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3，…均與∠AOB的兩邊相切，且相鄰兩圓相外切，則⊙O2014的面積是多少？（結果保留π）

三、結束語

綜上所述，在高中數學教學過程中，數列是十分重要的一類題型。由于數列試題對應解答方法所呈現出的內涵較為豐富，學生不僅可以在解題的過程中掌握一定的函數思想和方程思想，還能夠通過解題鞏固自身對數列公式、概念及性質的應用。但在實際了解、觀察或是閱讀解答數列問題時，學生一定要認真解讀數列問題上的題干內容，這樣才能夠基于題干內容選取適當的求解方法，進而提升求解數列問題的能力。

參考文獻

許美金.高中數學數列試題的解題方法與技巧研

究[J].當代家庭教育，2021（2）：119-120.

趙向杰.高中數學數列試題的解題方法與技巧[J].數理天地（高中版），2022（10）：18-20.

劉克江.淺析高中數學數列試題的解題方法與技

巧[J].課程教育研究，2020（19）：142.

崔麗雯.針對高中數學數列試題解題方法技巧的分析[J].試題與研究，2019（18）：154.

楊榮智.探討高中數學數列試題的解題方法與技

巧[J].高考，2019（8）：231.

作者簡介：金原瑾（1986.5-），女，江蘇如東人，

任教于江蘇省白蒲高級中學，一級教師，本科學歷，榮獲市解題基本功大賽一等獎。