婁汝馨,廉 歡,王同科
(天津師范大學數學科學學院,天津 300387)
利用分數階微積分可以更準確地描述一些實際問題,分數階微積分具有時間記憶性和全局相關性,在流體力學、圖像處理等許多領域有廣泛的應用,因此對分數階微積分的研究在不斷地深入.目前已有多種分數階導數的定義,其中Riemann-Liouville(RL)和Caputo 分數階導數的應用最為廣泛,這2 種導數的定義都是由RL 分數階積分算子
與經典的微分算子相結合導出的.
定義1[1-2]給定實數α >0,記[α]為α 的整數部分,n = [α] + 1.對于定義在x∈(a,b]上的函數f(x),其α 階RL 分數階導數和Caputo 分數階導數分別為
式中Tn-1[f](x)表示f(x)在x=a 的n-1 階Taylor 級數展開式.
關于分數階微積分的計算方法研究一直是該領域的熱點問題,主要包括直接方法和間接方法.關于直接方法,文獻[3]通過直接計算瑕積分,給出了一種去掉積分瑕點的方法,在此基礎上設計了計算RL 分數階積分和導數的數值算法;文獻[4]利用移位Chebyshev 多項式逼近RL 導數,進而給出分數階邊值問題的數值算法;文獻[5]利用譜近似方法基于Legendre、Chebyshev和Jacobi 多項式的三項遞推公式逼近分數階積分和導數,并通過數值算例說明了方法的有效性;文獻[6]介紹了分數階導數的各類算法,如G 算法[7]和R 算法[8].間接方法主要通過先將分數階導數變形為Hadamard 有限部分(HFP)積分形式,然后再設計算法離散HFP 積分.
定義2[9]設f(x)∈Cn[s,r],且n-λ>1,則HFP積分定義為(本文中用H ∫表示Hadamard 有限部分積分)
式中g(t)∈Cn[s,r]且使上式極限存在.
關于RL 分數階導數與HFP 積分的關系,有以下定理.
定理1[2]給定實數α>0,令n=[α]+1.設f(x)∈Cn[a,b],則有
定理1 的結論非常重要,許多研究由此設計了計算RL 分數階導數的數值算法,文獻[10-11]利用定理1 的轉換設計算法求解分數階微分方程,得到了滿意的計算結果.定理1 要求f(x)∈Cn[s,r],這是一個比較高的光滑性要求,而在求解分數階微分方程時,方程的解在初始點往往沒有如此高的光滑性,因此有必要對此結果進行推廣.
本文首先證明了當f(x)在x = a 處包含奇性時,HFP 積分形式仍然成立;然后基于該結論求得分數階導數在x=a 處的Psi 級數展開式;最后結合函數在奇點的Psi 級數展開式設計Chebyshev 譜逼近方法,用于給定區間上函數分數階導數的高精度計算.
首先討論RL 分數階導數,證明當f(x)在初始點奇異時,其HFP 積分形式仍然成立.
定理2給定實數α>0,令n=[α]+1.設f(x)∈Cn(a,b],則有
證明當f(x)在x = a 處奇異時,為處理在積分瑕點t=a 處的Hadamard 積分,引入一個充分小的正數δ,滿足a 式中: 由f(t)∈Cn[a+δ,b],對f(t)在t=a+δ 處做Taylor 展開,得 其中余項使用積分表示形式,即 將式(6)代入式(5)中的I2,得 由HFP 積分定義可得 由Taylor 級數展開式的余項可得 將以上2 式代入式(7),得 再將式(8)代入式(5),得 下面說明RL 分數階導數定義(式(1))可以寫為式(9)的形式.由式(1)得 式中: 當x>a+δ,t∈[a,a+δ]時,(x-t)n-α-1關于x 充分光滑,對其求n 階導數,得 由定積分的可導性可得 對上式逐次進行分部積分和求導,可得 將式(11)—式(12)代入式(10),得 對比式(9)和式(13),可知式(4)成立.定理得證. 定理2 中f(x)∈Cn(a,b],說明定理2 對f(x)在x =a 處奇異時依然成立.由定理2 可以導出f(x)的RL 分數階導數在x=a 處的級數展開式. 定理3給定實數α>0,令n=[α]+1.設f(x)∈Cn(a,b],f(x)在x=a 處有Psi 級數展開式 式中:ui、μij為非負整數;βi為實數,且滿足-1<β0<β1<…→+∞.則f(x)的RL 分數階導數在x=a 處可以展開為 證明將式(14)代入式(4),得 對于上式中的HFP 積分,令t-a=(x-a)s,則有 將上式代入式(16),可得式(15)成立.定理得證. 注:式(14)和式(15)為函數在x=a 處的一般形式的級數展開式,包含實數次冪和對數多項式.這類級數展開式一般稱為Psi 級數[12]或Puiseux 級數[13],是Taylor 級數和Laurent 級數的推廣. 式(14)和式(15)均為Psi 級數展開式,函數的Psi級數展開式的系數目前還沒有一般的公式表示,對于具體函數,可以使用數學軟件直接求出展開式中的冪指數和各個對數項的系數,具體算例可參見文獻[13]. 利用定義1 中RL 分數階導數與Caputo 分數階導數之間的關系(式(2)),可以得到Caputo 分數階導數的HFP 積分表示形式及其在初始點的級數展開式. 推論給定實數α >0,令n=[α] + 1.設f(x)∈Cn-1[a,b]∩Cn(a,b],則f(x)的Caputo 分數階導數的HFP 積分表示形式為 式中Tn-1[f](t)為f(x)在x=a 處的n-1 階Taylor 級數展開式.進一步,若f(x)在x=a 處有Psi 級數展開式 式中:ui、μij為非負整數;βn為實數,且滿足n-1<βn<βn+1<…→+∞.則f(x)的Caputo 分數階導數在x=a 處可以展開為 當函數在區間上充分光滑時,譜逼近算法[5]有很高的計算精度.本節針對函數在左端點奇異的情形,基于RL 分數階導數的HFP 積分表示設計一種奇點分離的Chebyshev 譜逼近方法.2 分數階導數的Chebyshev 譜逼近與數值算例