對一道期中考試題的深入探究

李強 韓曉飛

【摘要】近年來各地中考試題中出現了很多高質量的求解反比例函數“k”值的考題，這些考題既形式多樣、靈活多變，又有較大的難度.通過對2022年淄博市張店區九年級期中考試中一道反比例函數試題的深入探究，獲得了幾個新結論新方法，探索的過程為學生積累了寶貴的數學活動經驗，培養了學生的探究精神.

【關鍵詞】反比例函數；基本結論；中考試題

反比例函數是初中數學的重要知識，求解反比例函數“k”值的問題更是教學的重點和難點，也是各地中考數學的熱點.筆者通過對2022年張店區九年級上學期期中一道反比例函數試題的深入探究，總結了3個基本結論，利用這幾個結論能夠高效地解決求解反比例函數“k”值的問題，現撰寫成文以饗讀者．

1原題呈現

題目：（2022年張店區九年級期中考試）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OCBA的頂點C，A分別在x軸和y軸上，反比例函數y=kx（x>0）的圖像與AB，BC分別交于點D，E，且頂點B的坐標為（6，3），BD=2．

（1）求反比函數y=kx的表達式及E點坐標；

（2）連接DE，AC，判斷DE與AC的數量關系和位置關系，并說明理由．

（3）略．這一問與本文研究對象無關，故省略．

簡析根據點B的坐標為（6，3），BD=2，易求反比函數的表達式為y=12x，E點坐標為（6，2），所以可求得BE=1，進而可證△BDE∽△BAC，從而可以確定DE∥AC、AC=3DE．

疑問如果去掉點B坐標這個已知條件，那么DE與AC的位置關系是否保持不變呢？

2深入探究

探究一

操作探究

作者帶著上面的疑問，與學生一起進行了深入的探究．如圖2，利用幾何畫板進行操作驗證，變換點B的位置，觀察發現直線DE與直線AC始終是平行的．

去掉已知條件中的x>0后，繼續利用幾何畫板進行操作探究，如圖3，我們會發現點B在平面內任意位置時，直線DE與直線AC仍然是平行的．

推理證明

方法1如圖2，連接OD，OE，過點D，E作AC的垂線，垂足分別為P，Q，由于△OAD與△OCE面積都等于k2，所以可得OA·AD=OC·CE，前式可以轉化為OAOC=CEAD，根據等量關系轉化為BCAB=CEAD，進而可證DE∥AC．

方法2連接CD，AE，我們很容易得到S△CAD=S△OAD=k2，同理得到S△ACE=S△OCE=k2，所以S△CAD=S△ACE，則有DP·AC=EQ·AC，DP=EQ所以可得DE∥AC．

基本結論1過反比例函數圖像上任意兩點的直線為l1，過這兩點分別向x軸、y軸作垂線，過兩個垂足作直線l2，則有l1∥l2．

探究二

操作探究

如圖4、圖5，作者與學生利用幾何畫板繼續探究，直線DE交x軸于點N，交y軸于點M，通過觀察度量數據發現DM=EN，DN=EM．

推理證明

方法從結論1中我們已經得知DE∥AC，這樣可以得到AMEC和ACND，所以ME=AC=DN，進而得到MD=EN．

基本結論2在反比例函數圖像的一個分支上任意取兩點D，E，直線DE與x軸相交于點N，與y軸相交于點M，則有DM=EN．

探究三

如圖6，在平面直角坐標系中，矩形OCBA的頂點C，A分別在x軸和y軸上，反比例函數y=kx（x>0）的圖像與AB，BC分別交于點D，E，連接DE．延長DE交x軸于點N，延長ED交y軸于點M．連接EO并延長交反比例函數另一分支于點F，連接DF交x軸于點G，交y軸于點H，觀察發現DG=DN，DM=DH（等價于∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM）．為了讓圖形更加清晰，便于探究相關結論，圖6中隱藏了線段AB，BC．

操作探究

作者與學生繼續進行探究．利用幾何畫板度量DG，DN，DM，DH的長度，∠DGN，∠DNG，∠DMH，∠DHM的角度來驗證觀察結果，通過反復變化點D和E坐標，觀察度量數據發現DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

推理證明

方法如圖6，取線段DE中點Q，連接OQ，因為反比例函數是中心對稱圖形，所以OE=OF，所以線段OQ是△EFD的中位線，所以OQ∥DF，可得同位角∠DGN=∠QON．根據結論1可知MD=EN，又因點Q是線段DE中點，所以MQ=QN=OQ，所以∠QON=∠QNO=∠DGN，所以DG=DN．同理可證DM=DH，∠DMH=∠DHM．

基本結論3[1]在反比例函數上任意兩點D，E，點E關于原點對稱的F，連接DF，直線DF與x軸相交于點G，與y軸相交于點H，直線DE與x軸相交于點N，與y軸相交于點M，則有DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

3結論應用

3.1應用基本結論1解決問題

例1（2017鄂州模擬）如圖7，在平面直角坐標系中，反比例函數y=kx（x＞0）的圖象交矩形OABC的邊AB于點D，交邊BC于點E，且BE=2EC．若△DBE的面積為8，則k的值為.

簡析我們根據結論1可知DE∥AC，又因為BE=2EC，所以BDAD=BECE=2，設EC=m，AD=n，所以BE=2m，BD=2n，所以S△BDE=2mn=8，所以mn=4，因為k=AD·AO=3mn，所以k=12．

另，很多類似的問題，當有本題中BE=2EC這樣的條件，或者經過證明得到類似的結論，根據比值設兩個參數，利用參數會降低運算量.

圖8例2如圖8，已知直線y1=k1x+b與x軸、y軸分別交于M，N兩點，與反比例函數y2=k2x的圖象交于A（m，1），B（n，-4），則點N的坐標為．

簡析根據結論2可知AM=BN，所以AN=BM，因為點A，M，N，B共線，所以yA-yN=yM-yB，即1-yN=0-（-4），所以yN=-3，所以點N的坐標為（0，-3）．

3.2應用基本結論2解決問題

例3（2020年寧波模擬）如圖9，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在第一象限，點B在x軸的正半軸上，點G為△OAB的重心，連接BG并延長交OA于點C，反比例函數y=kx（k＞0）的圖象經過C，G兩點．若△AOB的面積為6，則k的值為.

簡析連接GC并延長交y軸于點D，過點C作y軸的垂線，垂足為F．根據結論2得知CD=GB，根據點G為△OAB的重心可知CD=BG=2CG．所以DFDO=DCDB=25，因為S△OAB=6，所以S△OBC=3，所以S△OCD=2，S△OCF=35S△OCD=65，所以k=125．

另外，本題也可以如圖9，構造矩形OEHF，采用例1設參數的辦法求解k的值．

3.3應用基本結論3解決問題

例4（2019長沙中考）如圖10，函數y=kx（k為常數，k＞0）的圖象與過原點的O的直線相交于A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸于點E，F．若MF=25MB，則MD與MA的關系是.

簡析因為MF=25MB，設MF=2m，根據結論2可知EM=3m，根據結論3可知MC=EM=3m，DM=MF=2m，根據結論2可知AC=DM=2m，所以MA=m，所以MD=2MA．

每年全國各地的各種性質的考試題中，都會產生很多經典考題，命題者精心命制的這些試題是他們深度研究教材及相關知識的的成果，所以這些試題源于教材又高于教材，這些試題更是一線教師非常好的教學資源.如果教師能夠利用好這個豐富的資源，與學生一起開展探究，通過探究能夠獲取很多未知的結論，并總結出新的解題方法，能夠在探究的過程中培養學生的科學探究精神和提升學生的核心素養，更能夠提高一線教師突破性使用教材的能力．反比例函數中還有很多未知的結論，作者期望通過本文拋磚引玉，期待更多的數學教師能夠引領學生繼續探究，并分享探究成果，促進共同的進步．參考文獻[1]陸祥雪.考題回溯尋找關聯：與一道中考題相關的反比例函數性質的發現[J] .中學數學雜志，2019（06）： 40-43.

作者簡介李強（1981—），男，山東淄博人，中學一級教師，淄博教學能手.

韓曉飛（1982—），男，山東淄博人，中學二級教師.