二階qa-可微凸函數的Hermite-Hadamard型積分不等式

劉晨璇，王淑紅

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

凸性是一個經典的概念，在數學、經濟學、管理學以及工程技術等領域中起著重要的基礎性和研究工具的作用。而凸函數與不等式有著緊密的聯系，特別地，凸函數的積分不等式一直以來都在數學、物理、化學等多個領域有著至關重要的作用。凸函數的Hermite-Hadamard 不等式是著名的不等式之一，有著直觀的幾何意義，最早由HERMITE在1883年給出左半不等式［1］，10年后，HADAMARD給出右半不等式［2］。下面的雙不等式就是著名的Hermite-Hadamard 不等式：

假設f:I?R→R是實區間I上的凸函數，a,b∈I，a＜b，則

凸函數和各類廣義凸函數的Hermite-Hadamard 型積分不等式被許多學者關注和研究，特別是量子積分不等式現已成為一個研究熱點。量子微積分，也稱q-微積分，是一類不用極限基于有限差分重標思想的微積分，廣泛應用于數學和物理的許多領域［3］。隨著科學技術的飛速發展和研究問題的日益復雜，量子微積分的研究迅速發展。2013年，TARIBOON 等［4］對q-微積分進行推廣，提出了qa-導數和qa-積分的概念。2016 年，ALP 等［5］建立了凸函數和擬凸函數的Hermite-Hadamard 型qa-積分不等式。2019 年，JHANTHANAM 等［6］建立了qa-可微凸函數的Hermite-Hadamard 型積分不等式。在已有研究的啟發下，基于二階qa-可微凸函數，建立了一些新的Hermite-Hadamard型qa-積分不等式。

1 預備知識

首先引入記號［2］：

定義1［4，7-8］設f:[a,b] ?R→R是一個連續函數，0＜q＜1，則函數f在點x∈[a,b] 的q-導數被定義為：

定義2［4，7-8］設f:[a,b] ?R→R是一個連續函數，0＜q＜1，則函數f在點x∈[a,b] 的qa-導數被定義為：

如果對于任意的x∈[a,b]，aDq f(x)都存在，則稱函數f在區間[a,b] 上是qa-可微的。顯然，若在式（2）中取a=0，即有aDq f(x)=Dq f(x)。

定義3［4］設f:[a,b] ?R→R是一個連續函數，0＜q＜1，則函數f在點x∈[a,b] 的二階qa-導數被定義為：

定義4［4，7-8］設f:[0 ,c] ?R→R是一個連續函數，0＜q＜1，則對于任意的x∈[0 ,c] ，函數f在區間[ ]0,c上的q-定積分被定義為：

例1設0＜q＜1，f(x)=xr，r∈R，則有

定義5［4，7-8］設f:[a,b] ?R→R是一個連續函數，0＜q＜1，則對任意的x∈[a,b] ，函數f在區間[a,b]上的qa-定積分被定義為：

定義6［9-10］設函數f:[a,b] ?R→R，其中a＜b。如果對于任意的x∈[a,b] 和λ∈[0 ,1] ，不等式

成立，則稱f是區間[a,b]上的凸函數。

定理1［5］設f:[a,b] ?R→R在區間[a,b] 上是qa-可微凸函數，0＜q＜1，則

定理2［11］設函數f,g:R→R，x＞0，0＜q＜1，p1＞1。如果+=1，則

2 Hermite-Hadamard型qa-積分不等式

引理1設f:[a,b] ?R→R是區間(a,b)上的二階qa-可微函數，f在區間[a,b] 上連續可積，則

其中0＜q＜1。

證由定義3，直接計算可得

在引理1中當q→1-時取極限，即得文獻［12］中的引理1。

定理3設函數f:[a,b] ?R→R在(a,b) 上二階qa-可微，在[a,b] 上連續可積的。若|f|在[a,b] 上是凸函數，則有

其中0＜q＜1。

證由引理1，利用f|的凸性有

在定理3中當q→1-時取極限，即得文獻［13］中的性質2。

定理4設函數f:[a,b] ?R→R在(a,b)上二階qa-可微，在[a,b] 上連續可積的。若f|p1（p1＞1）在[ ]a,b上是凸函數，則有

其中0＜q＜1。

證利用引理1和H?lder不等式，有

定理5設函數f:[a,b] ?R→R在(a,b) 上二階qa-可微，在[a,b] 上連續可積的。若（p1＞1）在[a,b] 上是凸函數，則有

證利用引理1和H?lder不等式，有

定理6在定理5的假設條件下，有

其中

證利用引理1和H?lder不等式，有

定理7在定理5的假設條件下，有

其中

證利用引理1和利用H?lder，有

定理8在定理5的假設條件下，有

其中

證利用引理1和H?lder不等式，有

3 結論

結合q-微積分理論和凸性理論，研究了二階qa-可微凸函數的Hermite-Hadamard 型積分不等式問題，推廣了文獻［12］和文獻［13］的相關結論，得到了一些新的qa-積分不等式。