閆麗新,韓領兄
(內蒙古民族大學數學科學學院,內蒙古 通遼 028043)
首先介紹Orlicz空間[1]。
定義1[1]設定義在R=(-∞,+∞)上滿足如下性質:
1)M(u)是偶的連續的凸函數且M(0)=0;
2)當u>0時M(u)>0;
由定義得出存在非減的右連續函數p(t),使得
其中p(0)=0,p(∞)=∞。
定義2[1]N函數M(u)的余N函數N(v)定義為:
其中q(s)=為p(t)的右反函數。
定義3[1]由N函數M(u)在閉區間[a,b]上生成的Orlicz空間是指具有有限Orlicz范數
的可測函數全體{u(x)} 。這里ρ(v,N)=是關于v(x)的模。
Orlicz范數還可以表示為:
定義4[2]設,r≥1,t≥0,稱
為K泛函,其中f在(a,b)上局部絕對連續}。
定義5[2]設,r≥1,t≥0,則稱
為f的r階連續?;騬階光滑模,其中
稱為f在x點上步長h的r階差分。
關于K泛函及光滑模具有以下等價性質[2],即存在常數A1與A2不依賴于f和t,有
文中C表示與x無關的常數,在引理1、引理2及定理1的證明中不同的地方其值也不同。
自20世紀以來,函數逼近論已成為函數理論中最重要的分支之一。而在Orlicz空間中研究算子逼近是逼近論的一個重要分支,近年來已經有很多學者在這方面取得了很好的成果[3-7]。同時,關于B樣條相關算子在不同空間的研究也已經有了很好的結果[8-11],但是還沒有關于B樣條擬插值算子在Orlicz空間中的研究成果。下面給出了B樣條及B樣條擬插值算子的定義。
先介紹B樣條定義。
定義6[9]設a=x0<x1<x2<…<xN<xN+1=b為一組節點,分段函數S(x)滿足下面條件:
1)每個區間[xj,xj+1](j=0,…,N)上,S(x)是一個次數小于等于n的實系數代數多項式;
2)S(x)于[a,b]上具有一直到n-1 階的連續導數,那么稱y=S(x)是n次樣條函數,稱x1,x2,…,xN為樣條節點。
定義7[9]m階B樣條的定義為:
當m≥2 時
下面介紹B樣條擬插值算子的定義。
定義8[12]設對于?k≥2,X=是單調上升的點列,記
用任意m階B樣條去構造擬插值算子(Sh f)(x),
郭紅焱在文獻[9-11]中構造了B樣條擬插值算子并分別研究了其在C空間及Lp空間的逼近階,并在文獻[10]中得出了下列定理。
定理A[10]若對?m≥2,X=是單調上升的點列,則當h=sup(xj+1-xj)時,對[a,b]上任意滿足m次可導且m次導數連續的函數f(x)有
推論[10]若對任意m≥2,X=是單調上升點列,則當h=sup(xj+1-xj)時,對[a,b]上任意的函數f(x),若滿足m次可導并且m次導數連續,則有
而近幾年,隨著非線性問題的增多,將Lp空間過渡到Orlicz空間已是必然,筆者在文獻[10]的基礎上研究了B樣條擬插值算子在Orlicz空間上的逼近性質,推廣了文獻[10]中的結果。
筆者得出了B樣條擬插值算子在Orlicz空間的逼近正定理。
定理1若對任意m≥2,X=為單調上升點列,當h=sup(xj+1-xj)時,對[a,b]上任意的m次連續可導函數g(x),有
則對?f∈L*M[a,b],有
為了給出定理的證明需要以下幾個引理。
引理1若對?m≥2,X=是單調上升的點列,則當h=sup(xj+1-xj)時,對,
則‖Sh‖有界。
證因為
其中Zj(f)是f(xj),f(xj+1),…,f(xj+m)的組合。由文獻[13]可知
再根據B樣條的正定性和再生性[9],由定義8可得
引理2若對任意m≥2,為單調上升點列,當h=sup(xj+1-xj)時,對[xj,xj+1]上任意m次連續可導函數g(x),則有
滿足
證由引理1及g(x)滿足的性質,在x0附近有
其中ξ介于x與x0之間。
又記
此時不妨設|x-x0|<h,則有
又由B樣條再生性[10]可知(Sh f)(x)具有m-1次局部多項式再生性質,所以有
從而得
定理1的證明由引理2得
從而利用K泛函的定義,得
由式(1)得
將B樣條擬插值算子在Lp空間的逼近推廣到Orlicz空間,對B樣條擬插值算子在Orlicz空間有界性進行了研究,并得出了其在Orlicz空間的逼近正定理。