例談摩擦力作用下的局部簡諧運動

許冬保

摘 要：物體在阻力作用下的振動是阻尼振動，振幅在不斷減小.在高中物理習題教學中，經常遇到一類在摩擦力作用下的振動問題，該類問題因涉及變力作用，運動過程復雜，知識綜合應用的能力要求較高，是教學之難點.分析表明：在摩擦力作用下的振動，可以轉化為局部簡諧運動來進行分析.

關鍵詞：簡諧運動；摩擦力；局部簡諧運動；實例分析

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0124-03

簡諧運動是一種理想化的振動，振動中的機械能守恒，振幅保持不變.可實際上，振動系統不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到阻尼的作用，振動系統克服阻尼作用做功，系統的機械能就要損耗，振動的振幅也逐漸減少，待到機械能耗盡之時，振動就停下來了，這種振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動[1].在高中階段，阻尼振動大多考查振動系統受摩擦力作用的情形，本文就此問題，例談分析策略.

1 探究水平彈簧振子在摩擦力作用下的振動規律

一個水平放置的彈簧振子，如果物塊與水平面間的動摩擦因數為μ，在水平方向上物塊僅受摩擦力及彈簧彈力作用，可以證明該系統的振動為簡諧運動.

如圖1，設彈簧的勁度系數為k，若將物塊向右拉離平衡位置，并有較大的位移x（在彈簧彈性限度內），那么當釋放此物塊，讓其從右向左運動時，取向右為正方向，則運動中物塊受到的合力F1為

F1=-kx+μmg

同理，當此物塊從左向右運動時，物塊所受的合力為

綜上所述，物體在摩擦力作用下作阻尼振動，整個運動不是簡諧運動.但是在單方向的運動中，摩擦力不變，在該過程中物體做簡諧運動.在下一個單方向的運動中，物體仍做簡諧運動……如此循環，平衡點位置交替變化，連續的振動中，物體的振幅周期性遞減.

由于簡諧運動的周期公式僅與m、k有關，所以在每個簡諧運動中物塊運動的時間均相同.若某次振動中，速度為零時記為時刻零點，則物塊振動的x-t圖像如圖2所示.

為區別于一般的簡諧運動，本文將此類簡諧運動稱為“局部簡諧運動”.

2 實例分析

振動問題往往涉及力學中的牛頓運動定律、功能關系等規律的應用，由于振動物體受到彈簧的彈力是變力，因此對速度、位移、加速度、能量等物理量的分析，成為教學的難點.下面以水平面、斜面及豎直面的情形分類分析，對于摩擦力作用下的振動問題，基于局部簡諧運動的觀念進行分析.2.1 物體在水平面上的局部簡諧運動

例1 如圖3，勁度系數為k的水平輕彈簧一端固定在墻上O點，原長為OB，另一端與質量為m的小物塊（視為質點）緊靠但不拴接.先壓縮彈簧，置物塊于A點，然后由靜止釋放，小物塊運動到C點恰好停止.設小物塊從A到B用時t1，從B到C用時t2，已知物塊與地面間的動摩擦因數為μ.水平地面上A、B、C三點滿足關系AB=BC=l.重力加速度為g.

（1）證明小物塊從A到B的運動為簡諧運動；

（2）比較時間t1、t2的長短；

（3）若l未知，試寫出由已知量表示l的表達式.

解析 （1）考察在A、B之間的任意位置，若物塊相對位置B（彈簧原長）的位移為x，取向右為正方向，則小物塊所受的合外力為F=-kx-μmg

（2）小物塊做簡諧運動，速度隨時間按正弦函數規律變化，在B處，彈簧與小物塊分離，此后，小物塊做勻減速運動，可作出v-t圖像，如圖4所示.

評述 在水平方向上小物塊受彈簧彈力及摩擦力作用，開始一段時間做局部簡諧運動.達最大速度時，合力為零，平衡點的位置在B點左側.在B處彈簧為原長，由于彈簧未與小物塊拴接，因此，小物塊與彈簧在B處分離，此后小物塊做勻減速運動.由v-t圖像比較運動時間，形象、直觀.

2.2 物體在斜面上的局部簡諧運動

例2 如圖5，輕彈簧一端固定在傾角為θ=37°的粗糙斜面頂端，另一端與質量為2m的物塊A連接，質量為m的物塊B疊放在A上.若將彈簧與A、B系統從彈簧原長處由靜止釋放.當A、B沿斜面向下運動至最低點Q（圖中未標出）時將B取下，此后，A將沿斜面返回并恰好滑至原出發點.已知A、B在運動過程中未發生相對滑動，斜面體始終靜止在水平地面上，彈簧形變處在彈性限度內，重力加速度為g.則（? ）.

A.下滑過程中可能存在A、B間摩擦力為零的位置

B.整個過程中系統增加的內能小于物塊B減少的重力勢能

C.A與斜面間的動摩擦因數為0.15

D.A上滑過程所需時間與A、B下滑過程所需時間一定相同

解析 已知A、B在下滑過程中未發生相對滑動.當某時刻A、B間摩擦力為零時，由牛頓運動定律知，A、B的加速度大小均為gsin37°=0.6 g，方向平行斜面向下；此時，A所受彈簧彈力一定等于A受斜面的摩擦力，因摩擦力方向平行斜面向上，故彈簧彈力方向一定平行斜面向下，則彈簧必處于壓縮狀態，這不合題意，選項A錯誤.

系統增加的內能源于克服物塊A與斜面間的滑動摩擦力做功.全過程中，因始末狀態彈簧的彈性勢能均為零，由能量守恒定律知，整個過程中系統增加的內能等于物塊B減少的重力勢能，選項B錯誤.

在A、B下滑過程中，整個系統在沿斜面方向上，所受重力的下滑分力及摩擦力恒定，因此，A、B構成的系統做簡諧運動；同理，A上滑，仍做簡諧運動.由簡諧運動的對稱性可知，兩次簡諧運動的平衡位置相同，則彈簧彈力F相同，對于下滑、上滑過程分別有

F=3mgsinθ-3μmgcosθ；

F=2mgsinθ+2μmgcosθ

解得μ=0.15，選項C正確.

由簡諧運動的周期公式知，周期與質量的二次方根成正比，則A上滑過程所需時間小于A、B下滑過程所需時間，選項D錯誤.

2.3 物體在豎直面上的局部簡諧運動

例3 如圖6，固定在天花板上的輕桿將光滑輕質小定滑輪懸掛在空中，一根彈性輕繩一端固定在左邊墻壁上O點，另一端與套在粗糙豎直桿上P點、質量為m的滑塊連接，用手平托住滑塊，使OAP在一條水平線上.繩的原長與O點到滑輪距離OA相等，AP之間的距離為d，繩的彈力F與其伸長量x滿足胡克定律F=kx，滑塊初始在P點時對桿的彈力大小為mg，滑塊與桿之間的動摩擦因數為0.2.現將滑塊由靜止釋放，當滑到Q點時速度恰好為零，彈性繩始終處在彈性限度內，重力加速度為g.下列說法正確的是（? ）.

A.滑塊從P點釋放瞬間的加速度大小為g

B.滑塊下滑過程中速度達到最大值時的位置到P點距離為0.8d

C.滑塊從P運動到Q的過程中，彈性繩對滑塊做功-0.8mgd

D.PQ之間的距離為1.6d

答案：BD.

3 結束語

本文分析了在摩擦力作用下的振動問題.振動物體若局部（即單一方向的運動過程）所受摩擦力恒定，則物體做局部簡諧運動.需要指出的是：普通物理學對阻尼振動的討論是比較復雜的.一個經典的模型是振動物體受到的阻力隨速度按線性規律變化的情形，這樣的阻尼振動不是簡諧運動.

參考文獻：

［1］張同恂等.高級中學課本（試用）物理（甲種本）第一冊[M].北京：人民教育出版社，1983：294.

[2] 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理講座[M].第2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2017：163-164.