摘 要:從不同的角度對2023年高考全國甲卷理科數學導數壓軸題進行探究,并給出五種解法,每種解法后面的評析都剖析了解題思路.
關鍵詞:2023年高考;全國甲卷;導數;三角函數
中圖分類號:G632?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2024)07-0049-04
2023年高考全國甲卷理科數學第21題是三角函數與導數的綜合,難度很大.很多考生反映在做這道題時,沒有解題思路或者運算量太大做不了.下面筆者結合自己的教學實踐給出五種不同的解法,并剖析每種解法的解題思路.
1 真題再現
(1)當a=8時,討論函數f(x)的單調性;
(2)若f(x)<sin2x,求a的取值范圍.
2 解法探究
2.1 第(1)問解析
則f ′(x)=a-3t2+2t=g(t).
當a=8時,g(t)=2-t3t+4,
2.2 第(2)問解析
解法1 設g(x)=f(x)-sin2x,
g′(x)=f ′(x)-2cos2x
所以h(t)在(1,+∞)內單調遞減.
所以h(t) ②若a∈(3,+∞),則h(1)=a-3>0, 當t∈1,t0時,h(t)>0,即當x∈0,x0時,g′(x)>0,g(x)單調遞增. 故當x∈0,x0時,g(x)>g(0)=0,不合題意. 綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3]. 評析 解法1中對g′(x)進行換元,使超越函數變成了有理函數,函數式變得非常簡潔,極大地簡化了運算.而對g′(x)換元后所得的h(t)再次求導,弄清了h(t)的單調性,解題方向也變得明朗化.后面在a∈(3,+∞)的情況中,由于h(1)=a-3>0,也就是g′(0)>0,應該想到g(0)=0,則g(x)在0的右鄰域內是不能遞增的,所以此時應該不合題意.但怎么說清楚這一點要注意方法,這里用放縮法得到了h(t)<0,再由零點存在定理確定h(t)存在零點,避免了用高等數學知識,很符合高中學生的情況. 綜上所述,a的取值范圍是-∞,3. 中隱藏的各種有用信息是找到好的解法的關鍵. 當且僅當cosx=1時等號成立. 即g(x)<0的必要條件是a≤3. 下面證明a≤3是g(x)<0的充分條件. 綜上所述,a的取值范圍是(-∞,3]. 故g(x)>g(0)=0. 于是a≤3. 即a的取值范圍是(-∞,3]. h′(x)=4sinx(sinx-xcosx). k′(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx>0, 故k(x)>k(0)=0.于是h′(x)>0. 故h(x)>h(0)=0.于是g′(x)>0. 于是a≤3,即a的取值范圍是(-∞,3]. 3 結束語 本題是三角函數與導數的綜合,作為壓軸題,難度很大,彰顯了綜合性要求.高考數學試題的綜合性,一方面是數學學科內部各個主題的相互綜合,另一方面是數學學科和其他學科的綜合.本題將導數與三角函數巧妙地結合起來,通過對導函數的分析,考查函數的單調性、極值等相關問題,通過導數、函數不等式等知識,深入考查分類討論的思想,化歸與轉化的思想. 參考文獻: [1]張君,李武學.2022年全國甲卷導數題的多解、變式與溯源[J].數理化解題研究,2022(22):75-78.