合理布局圖象 嚴密代數推理

唐宜鐘

摘 要：對一道多參量二次函數的絕對值在給定區間內最大值的最小值的解法進行了探究，并通過類比對三次函數和無對稱性函數的相關問題進行了探究.給出了高位知識和解法感悟：合理布局函數圖象，嚴密代數推理.

關鍵詞：對稱性；最大值的最小值；函數圖象

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0038-07

函數是數學重要的載體之一，而函數圖象和性質從不同的方面描述函數.在較為復雜的函數問題中，需合理布局圖象，嚴密代數推理，綜合調度，才能有效解決問題.

1 題目呈現

引例 已知函數f（x）=x2+px+q，對p，q∈R，總x0∈［1，5］，使fx0≥m成立，則m的取值范圍是.

該題以二次函數的絕對值函數為背景，里面涉及p，q，x0，m四個未知量，同時存在全稱量詞和特稱量詞.題目敘述看似簡潔，但限定條件眾多，且每個條件都需合理轉化.具體說來，可做如下轉化：①x0∈1，5，fx0≥m成立，即m≤f（x）max.②對p，q∈R，m≤f（x）max，即選取適當的p，q，使得m≤f（x）maxmin.③f（x）=x2+px+q，x∈［1，5］，即將g（x）=x2+px+q在y軸下方的圖象翻折到上方.要解決本題，一方面需要合理布局函數圖象.f（x）=x2+px+q的最大值可能取得的三個點為左右端點和頂點，問題處理的核心就是布局這三個點.另一方面，題目中涉及存在、任意、大于等于等諸多要求，故極易在解答過程中借助圖象進行想當然地描述，而弱化了代數推理.筆者嘗試以圖象的布局為突破口，對問題進行了探索.

2 解法探究

探究1 取特殊值探究圖象.

為方便敘述，記g（x）=x2+px+q.考慮到p，q的任意性，取特殊值.當p=0時，f（x）=x2+q，需f（x）的最大值取得最小值.由g（x）的單調性和絕對值的性質，需g（5）和g（1）的值互為相反數.g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）.則25+q=-1-q，即q=-13.此時f（x）maxmin=|g（5）|=12.

由以上探究可知，不同的p，q會對應不同的最值，要求得f（x）maxmin，（p，q）應為某組特值，不可直接特殊化p或q計算.另外，f（x）還有以下可能的七種情形：

①g（5）>0，g（1）<0，g（5）=-g（1）；

②g（5）<0，g（1）>0，g（5）=-g（1）.

即p∈（-10，-2）時，

探究2 圖象的七種情形.

25+5p+q=-（1+p+q）.

得q=-3p-13.

所以f（x）maxmin=|g（1）|=|1+p+q|=|1+p-3p-13|=|-2p-12|，當p=-2或p=-10時，f（x）maxmin=8.

25+5p+q=1+p+q.

則p=-6.

f（1）=f（5）=|-5+q|.

即9-q=-5+q，則q=7，f（x）maxmin=2.

故p=-2時，即對稱軸為x=1時取得最值.

歸結至p≥-2時的情形，有f（x）maxmin=8.

探究3 解法優化與結論推廣.

通過以上探究不難發現，對于二次函數，在區間長度固定的情況下，只需對稱軸取區間中點，且兩端點及對稱軸處等值時，就能取得f（x）maxmin.換言之，將拋物線平移至y軸為對稱軸時，不影響f（x）maxmin的取值.故本題同解于對函數f（x）=x2+q′，x∈［-2，2］時，任取q′，求f（x）maxmin.即f（-2）=f（2）=f（0），即4+q′=-q′，即q′=-2，故f（x）maxmin=2.

推廣 函數f（x）=x2+px+q對p，q∈R，x∈［m，m+2n］（n>0）時，f（x）maxmin的值與函數f（x）=x2+q′對q′∈R，x∈［-n，n］時，f（x）maxmin的值相同.

由f（-n）=f（n）=f（0），得

探究4 三次函數.

簡證 記A（m，f（x2）），B（x1，f（x1）），M（x0，f（x0）），C（x2，f（x2）），D（n，f（x1））.

由f ′（x）=3ax2+2bx+c，得f ″（x）=6ax+2b.

令f ′（x）=0，其兩根為x1，x2，則

則2x1+n=x1+x0+x2.

即x1+n=x0+x2.

即x1，x0，x2，n成等差數列.

同理，m，x1，x0，x2也成等差數列.

故m，x1，x0，x2，n成等差數列.

類似地，對于三次函數，利用其對稱性和等差性，合理布局圖象，就可以求得f（x）maxmin.

例1 設函數f（x）=|x3-6x2+ax+b|.若對任意的實數a和b，總存在x0∈［0，3］，使fx0≥m成立，則m的取值范圍是.

解析 令g（x）=x3-6x2+ax+b，由g′（x）=3x2-12x+a，g″（x）=6x-12=0，得x=2.

即g（x）的對稱中心為（2，g（2））.

由三次函數圖象特征，需g（2）=0，g（3）=

g（0）<0（g（1）=-g（3）>0）時，f（x）maxmin=f（3）=f（1）=f（0）.

由f（2）=2a+b-16=0，f（1）=f（0），即

a+b-5=-b.

則a=9，b=-2.

此時，f（x）maxmin=f（0）=2，故m≤2.

探究5 無對稱性函數.

例2 設函數f（x）=（x-1）lnx+ax+b，a，b∈R，總存在x0∈［1，e］，使得不等式f（x0）≥m成立，則實數m取得最大值時，實數a的值為.

顯然，φ（x）=（x-1）lnx+ax+b不具有對稱性，無法直接布局出其函數圖象.依據前面探索，影響取值點的有端點和極值點.由于參數a的存在，極值點無法求得.此時考慮分離函數，令

g（x）=（x-1）lnx，

h（x）=-ax-b，

則f（x）=|（x-1）lnx+ax+b|可看作g（x）=（x-1）lnx與h（x）=-ax-b在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離.此時，合理布局g（x）與h（x）的圖象即可.

解析 由g（x）=（x-1）lnx，x∈［1，e］，可取

A1，0，Be，e-1，所以AB的直線方程為

l1：y=x-1.

由（x-1）-（x-1）lnx>0得，l1的圖象始終在g（x）上方.設l2與AB平行且與g（x）=（x-1）lnx相切于點Cx0，y0，

當h（x）與l1，l2平行且與兩條直線的距離相等時，即恰好在l1，l2的中間，此時

通過分離函數，將問題轉化為一個不含參數的函數g（x）與一條直線h（x）縱坐標的豎直距離.此時，將函數g（x）介于兩端點連線l1與平行于l1的切線l2之間，h（x）即為l1與l2的“中位直線”.從而將一個復雜函數的問題轉化為一個簡單函數與直線的問題，拓寬了思路，降低了難度.

探究6 特征點.

不難發現，分離函數后切點（即為原來函數的極值點），二次函數的對稱軸，三次函數有關的極值點、端點，都影響著f（x）maxmin.這些極值點和端點，我們統稱f（x）的“特征點”.如引例的特征點為1，3，5.例1的特征點為0，1，3.例2的特征點為1，x0，e.對于例1，利用特征點，可做如下解答：

記f（x）max=M，則有

f（0）=|b|≤M，

f（1）=|-5+a+b|≤M，

f（3）=|-27+3a+b|≤M.

由待定系數法，設A，B，C為常數，令Ab+B（-5+a+b）+C（-27+3a+b）=（-5B-27C）+（B+3C）a+（A+B+C）b，令B+3C=0，A+B+C=0，其中（A，B，C）的一組解為（2，-3，1）.由絕對值三角不等式，有

12=|2f（0）-3f（1）+f（3）|

≤2|f（0）|+3|f（1）|+|f（3）|=6M，

故M≥2.

此解法利用絕對值三角不等式，使得解答看起來簡潔迅速.但事實上，式子中必須包含函數所有的“特征點”.合理布局“特征點”的位置和系數，才能求得f（x）maxmin.而“特征點”的尋找，是破題的關鍵.

特征點法：在處理函數的最大值的最小值問題時，我們可以采取“三點控制”或者“四點控制”法，結合函數圖象的特征，幾個“特征點”如下：

①對于二次函數而言，采用“三點控制法”，這三個點分別是兩區間端點和區間中點.

②對于三次函數而言，一般采用“四點控制法”，這四點分別是兩區間端點和分別靠近兩個端點的四等分點.但有些三次函數也只需“三點控制”，求解時需要靈活處理.

③對于平口（端點同高）的對勾函數而言，這三點分別是兩端點與極值點；對于一般的對勾函數而言，這三點除了端點外，就是平行于兩端點連線的直線與該曲線的切點[2].

3 背景探究

事實上，上述問題都源于切比雪夫逼近問題.

由多倍角公式，我們知道cos（nx）可以表示成cosx的多項式，具體如下：

cos0=1，

cosx=cosx，

cos2x=2cos2x-1，

cos3x=4cos3x-3cosx，

cos4x=8cos4x-8cos2x+1，

cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx.

從而，我們得到：

3.1 切比雪夫多項式

定義1 Tn（x）=cos（narccosx）是一個n次多項式，稱為n次切比雪夫多項式，其中x∈［-1，1］，n∈N.

T0（x）=1，T1（x）=x，T2（x）=2x2-1，T3（x）=4x3-3x，T4（x）=8x4-8x2+1，T5（x）=16x5-20x3+5x.

3.2 最佳逼近直線

如果f（x）不是n次多項式，以上方法還適用嗎？為了解決此類問題，需給出如下定義與定理.

性質3 若函數f（x）是定義在區間［a，b］上的連續函數，則f（x）的最佳逼近直線存在且唯一.

性質4 直線g（x）是連續函數f（x）（x∈［a，b］）的最佳逼近直線的充要條件是g（x）至少具有三個偏差點，且它們依次輪流為正、負偏差點.

注 定理2告訴我們，可根據如下步驟作出凹、凸函數在區間［a，b］上的最佳逼近直線g（x）.

（1）連接MN；

（2）在函數圖象上找一點C，使得在該點處的切線與直線MN平行；

（3）過線段MC的中點D作直線MN的平行線l.

這樣的直線l就是所求的最佳逼近直線g（x），點M，C，N依次輪流為正、負偏差點[3].

4 真題賞析

縱觀近年來各地高考模擬、強基、高聯試題，都有以上述問題為模板的題目，或者直接出現，或者變換函數，或者變換設問方式.簡錄幾個如下：

題1 （2010年全國高聯）已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），當0≤x≤1時，|f ′（x）|≤1，試求a的最大值.

（1）當a=0，b=1時，寫出函數f（x）的單調區間；

（3）若對任意實數a，b，總存在實數x0∈［0，4］，使不等式f（x0）≥m成立，求實數m的取值范圍.

題4 （2021年競賽模擬）對于區間I=［a，b］（a

題5 （2022年強基模擬）已知函數f（x）=1-x2x2+bx+c，x∈-1，1，記f（x）的最大值為Mb，c.當b，c變化時，求Mb，c的最小值.

題6 （2023年紹興期末）已知函數f（x）=|x+a|+|x2+b|，x∈［0，1］.設f（x）的最大值為M，若M的最小值為1時，a的值可以是（ ）.

5 幾點感悟

5.1 合理布局函數圖象是破題關鍵

從某種意義上講，函數解析式是隱性的，函數圖象是顯性的.函數的性質是抽象的，函數的圖象是具象的.函數的性質為函數設定了“邊界”，使函數只能滿足某些特定的屬性，而不能擁有與之相悖的屬性.但在這指定的“邊界”內，函數依舊有著多樣的可能性.如何在這些“可能性”中恰當選擇，我們需要一個可視化的操作對象.函數圖象就是這個操作對象.利用函數的零點、特殊點、極值、最值、對稱軸、對稱中心、單調性、奇偶性、周期性等，結合圖象的平移、翻折、伸縮、旋轉等變換，合理調整、布局函數的圖象，是破題的關鍵.如在引例中，通過對二次函數單調性、對稱性、最值，以及絕對值函數圖象變換規律，最終在七種圖象中，通過對比、調整，選定了f（1）=f（5）=f（3）形式的圖象.而在例2中，無法直接作出φ（x）=（x-1）lnx+ax+b的圖象時，通過轉化，再合理布局g（x）=（x-1）lnx與h（x）=-ax-b的圖象，才實現了題目的突破.同時，合理布局的函數圖象，還能實現題目幾何意義的表達，借助幾何關系，進而實現解題目標的直觀和路徑通暢.在例2中，正是利用切線和割線，完成了從最大值的最小值到“中位平行線”的轉化.

5.2 嚴密代數推理盡顯解答之妙

雖然函數圖象能夠快速直觀地解決問題，但在說理過程中，其依舊有著諸多缺陷.由于圖象的具象性，具體函數圖象只是列舉了函數的某些可能性，而滿足某種性質的函數是無限的.如函數f（x）在其定義域內單調遞增，可以是一次函數，可以是三次函數，也可以是底數大于1的指數函數等.當然，如果情形是有限的，可以使用圖象結合分類討論的方法解決問題.函數圖象的說理具有不嚴密性，如從函數的意義上講，函數上的點是無限的，而所作出的圖象是有限的.圖象甚至具有誤導性，如在例1的探究過程中，筆者在最初作圖探究時發現函數的左右端點處等值，三次函數的對稱中心處值為0就能得到最大值的最小值，進而進行了忽略三次函數中端點、極值點、對稱中心橫坐標等差性的限定.另外，圖象還有局限性和冗余性等特點，而代數推理高度概括的特點使之具有更廣的操作空間.

5.3 高位知識是活水之源

所謂高位知識，是指在學生知識體系之外，高于學生認知的知識，其包括高等數學的弱化、初等數學的升華、跨學科的融合等.高位知識并非深不可測，他只需學生在現有知識體系內，往前邁出一小步.如本文中的切比雪夫逼近直線所用的知識全是高中知識，只是將解答流程規范化、名詞化.立足高位知識，更容易建立起知識的體系性.如通過切比雪夫多項式和最佳逼近直線，很容易建立起一元n次多項式和一般連續函數在最大值的最小值問題上的遞進性關系.立足高位知識，更容易發現解法之間的關聯，如對于例1，布局函數圖象，轉化為一個三次函數與一條直線縱坐標差值，或者特征點法三種方法，其實都是關于三個特征點的處理.高位知識是命題的活水之源，只要是函數f（x）在區間［a，b］上存在二階導數，且f ″（x）在［a，b］上不變號，就能通過最佳逼近直線求得最大值的最小值.只要掌握高位知識，就能達到解一題知一類，實現知識的通達和思維的深化.

6 結束語

總之，合理布局函數圖象是解題的切入點，嚴密代數推理是解題的基本素養.初等方法是解題的必須要求，高位知識是思維貫穿的保障.綜合并用，方能更好抵達.

參考文獻：

［1］甘志國.一元三次函數圖象對稱性的推廣[J].高中數理化，2019（24）：2-3.

[2] 李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法[M].安徽：中國科學技術大學出版社，2022.

[3] 佩捷，林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2013.