作差

常見的有導數法、作差法、作商法、換元法、分離參數法等.本文主要談一談證明函數不等式常用的三種思路：作差、換元、分離參數.一、作差作差法是比較兩個數大小、證明不等式的常用方法.運用作差法證明函數不等式，要先將不等式兩邊的式子作差，然后將差式與0比較，從而證明不等式成立.對于一些含有多項式的函數不等式，作差后的式子往往比較復雜，此時可利用復合函數的性質，或根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，進而根據函數的單調性求得差式的最值，再將其與0進行比較

妙招”.一、通過作差構造新函數對于形如f（x）≤g（x）、f（x）≥g（x）的不等式恒成立問題，通常需將不等式左右的式子作差，并移項；然后構造函數G（x）=f（x）-g（x），將問題轉化為使G（x）≥0或G（x）≤0恒成立；再根據函數單調性的定義、導函數與函數單調性之間的關系，判斷出函數的單調性，并求得函數的最值，只需使G（x）max≤0或G（x）min≥0，即可確保不等式恒成立；最后解不等式，求出參數的取值范圍.例1.若不等式（x+1）1n（x+1）解：

平方法、立方法、作差法、作商法、取近似數法、放縮法等。例如，比較下列各組數的大?。骸痉治觥康冢?）題要注意兩個數都為負數，應先求絕對值，利用平方法比較絕對值大小，再根據規則判斷；第（2）題的兩個數中，一個數為立方根形式的無理數，另一個數為有理數，可用立方法比較大??；第（3）題可采用作差法比較大??；第（4）題的兩個數均為正數，可采用作商法；解第（5）題時，要熟知的近似值，可采用取近似數法；第（6）題可采用放縮法比較大小?！靖形颉勘容^兩個數的大小，先判斷正負，

密：將函數值依次作差，再將所得結果作差，如果該函數是二次函數，兩次作差后，結果相等，否則就不是。這是教材上沒有講的二次函數小秘密，是不是所有的二次函數都有這個性質呢？有必要推理論證。探索小秘密：設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

.比較法比較法分作差比較與作商比較。作差比較為A＞B?A- B＞0，作商比較為作差比較的關鍵是判斷差的符號，操作步驟為作差、變形、判斷差的符號；而作商比較的關鍵是判斷商是否大于1，操作步驟為作商、變形、判斷商與1 的大小關系。（1）作差法：a＞b?a- b＞0不等式中含有豐富的數學思想，對這些思想的掌握，能夠有力的幫助我們解決高中不等式 的難題。通過上述不等式的研究反映出，不等式是各個階段都不可或缺的一部分，是解開眾多數學問題的鑰匙，所以要想在中考和高考中

100)一、通過作差來比較要想證明a0，即等價于a>b，a-b例1 給定一個集合，M∈{x|-1證明(a+b)2-(1+ab)2=a2+2ab+b2-(1+2ab+a2b2)=a2-1+b2(1-a2)=(a2-1)(1-b2).由題可知，a的取值范圍是-10，借此就可以得到(a+b)2<(1+ab)2，也就是所求的|a+b|<|1+ab|，此時a，b∈M.評析此題將平方作差法和因式分解法相結合，進一步確定在a，b∈M這個范圍內，a2-1和1-b2的符號，

式的n次方展開式作差，結合正整數的n次方特點，再利用分析法、反證法來法證明費馬大定理.【關鍵詞】二項式的n次方展開式;作差;正整數;正整數解17世紀，法國費馬提出了費馬大定理，這以后，許多人想證明它并取得了一定的成就，1995年，英國懷爾斯證明了它并得到了公認.費馬大定理的內容：關于x，y，z的方程xn+yn=zn，當n>2時，沒有正整數解.這是一個含多個未知數的n次不定方程的解的問題，該方程有四個未知數：x，y，z，n，最高項次數為n.如果正整數x，y，

密：將函數值依次作差，再將所得結果作差，如果該函數是二次函數，兩次作差后，結果相等，否則就不是。這是教材上沒有講的二次函數小秘密，是不是所有的二次函數都有這個性質呢？有必要推理論證。探索小秘密：設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

密：將函數值依次作差，再將所得結果作差，如果該函數是二次函數，兩次作差后，結果相等，否則就不是。這是教材上沒有講的二次函數小秘密，是不是所有的二次函數都有這個性質呢？有必要推理論證。探索小秘密：設二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

用的解題思路是“作差比較”或“作商比較”．解法1(平方比較)作差比較大小,由于題設中帶絕對值的兩個數直接作差求解時變形去絕對值比較麻煩,故采取平方比較．先估計大小，明確方向不妨取a=0,b=1時,知|f(a)-f(b)|小,這樣明確方向．于是|f(a)-f(b)|2<|a-b|2?2ab0,可知恒有|f(a)-f(b)|<|a-b|成立．解法2(作商比較)評注從作商比較過程看,分子有理化、放縮變形是可能會遇到的困難．2.遷移形,思路開闊解法3(聯系平面幾何

包含了兩種方法：作差法和作商法。1.作差法，作差法主要是先將不等式兩邊的代數式作差，通過判斷差值的正負，來證明不等式兩邊的大小關系，在使用作差法證明不等式時，教師要指導學生采用不同的方法對不等式進行變形，直到可以利用不等式的性質，判斷出差值的正負為止。

，以供參考。一、作差法證明不等式最常用的方法是作差法。而在比較不等式大小時，我們也應將這個方法作為首選。運用作差法比較不等式大小的常規思路是，首先將兩個不等式作差，然后設法證明差為正數或負數。其中要用到配方法或基本不等式法。解答本題的關鍵是構造函數，利用函數的圖象和性質解題，把a、b、c對應的值看成相應函數的交點的值，而函數的圖象容易畫出，由交點的情況容易知道a、b、c的大小關系。對于此類問題，在使用其它方法不奏效的情況下，我們首先應想到利用函數的圖象來求

分析法、作商法、作差法、反證法、放縮法等.在解題時，我們需要根據不同的題型進行分析，選擇合適的方法，這樣才能有效地提升解題的效率.一、分析法分析法是指通過分析題目中的不等式關系，從未知推出已知的方法，屬于一種逆向思維的方式.在解題中，我們一般采用“要證明……，即需證明……，只需證明……”的句式來證明結論.二、數學歸納法數學歸納法也是證明不等式的一種基本方法，常用于證明一個與正整數有關的不等式問題.在證明不等式時，我們可按下列步驟進行：（1）證明當取第一個值

logba方法二作差比較大小所以logba方法三賦值估算法方法四賦值函數單調性法令a=4,b=3,c=2，構造函數f(x)=logx(x+1) (x>1)，所以f(x)在(1,+)上單調遞減.所以f(3)故選B.方法五賦值數列單調性法令a=4,b=3,c=2，構造數列an=logn(n+1)(n≥2)，則an+1-an=logn+1(n+2)-logn(n+1)所以an+1a3，所以log34方法六對數化指數

本電量排序、依次作差的基礎上，按照油滴帶基本電荷個數多少對油滴電量進行分類，并對各類的平均值再次實施逐項相減法． 但油滴電量平均值逐項相減法也存在不足，即在樣本中各個油滴帶基本電荷個數連續分布情況下，基本電荷電量的估計值只受帶基本電荷個數最多的油滴電量和帶基本電荷個數最少的油滴電量的影響，而不受帶基本電荷個數為其他值的油滴電量測量值影響． 本文對油滴電量逐項相減法的改進思路是：把相鄰作差改為多重作差，即不僅相鄰作差，不相鄰也要作差，然后把所有差值進行分類，

溧陽中學 彭婷奕作差法指的是應用有理數或式子的減法運算來比較兩個有理數或式子的大小，因為是比較兩個有理數或式子A與B的大小，需先求出A與B的差，即A-B，再結合計算結果來判斷。作差法與作商法一樣，都是比較兩數或兩式大小的慣用方法，高中數學教師在日常教學中要結合具體題目展開教學，讓學生有效應用作差法來判斷兩個有理數或式子差的結果。一、合理應用作差法，結合分類討論思想解題作差法的步驟是先設要比較的式子A與B，作差：A-B；變形：對式子A-B進行化簡；判斷結果；

時，就可以使用“作差法”。作差法綜合來說，集合了“觀察”“分析”“思考”和“表達”四個維度，學生在利用作差法解決問題的過程中，也在不斷地積累新的知識點，從而在以后的解題過程中思路更加廣闊，更容易靈活應對各類題型。一、作差法的概念“作差法”和“作商法”是數學中常用的比較大小的方法，對于高中數學來說，很多問題都需要做許多輔助工作才能夠接近題目的核心內容，所以作差法的應用就成了最簡單的輔助。簡單舉例來說，如果想要比較兩個有理數的大小，其中一種方法就是應用有理數的

高中數學教材中的作差和作商為主線案例研究發現，主題設計理念既有重要教育價值，也會存在教學操作困難.【關鍵詞】主題設計;作差;作商;高中數學教材1 研究緣起：課標中的主線、主題理念《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出了課程設計的4條主線，即函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動.在教學實施部分，又倡導整體視角下把握課程內容并進行教學設計等理念，并在《普通高中數學課程標準（2017年版）解讀》中提出了“主線—主題—核心內容”的一貫思想

圓不相交時，方程作差仍可得到二元一次方程，這個方程所反映的直線與已知兩圓是什么關系？”該問題的提出很自然且很有價值，一方面，脫離開幾何直觀意義的代數運算就變成了純形式化的操作，往往容易忽視操作本身的意義；另一方面，在解析幾何中，方程具有直觀意義——曲線，當曲線關系與方程的運算關系之間建立不起聯系時，學生就產生了困惑。這個困惑恰恰可以反映出解析幾何的思維本質特征，同時也反映出學生在數學推理的素養上還有待提高。教學內容蘊涵的數學思維活動分析：解析幾何的核心思想

；(Ⅱ)方法一 作差法令h(x)=x3+6x2+6x-24，顯然h(x)在[1,2]上為增函數．因為h(1)=-110，所以?x1∈(1,2)，使得h(x1)=0．所以x∈(1,x1)時h(x)0，g″(x)>0，g′(x)為增函數．?x2∈(1,x1)使得g′(x2)=0．所以x∈(1,x2)時，g′(x)>0，g(x)為增函數；x∈(x2,2)時，g′(x)所以g(x)min=min{g(1),g(2)}．所以g(x)min=1-ln2>0．解法二 最

多，如三角換元，作差，巧用均值不等式，構造函數，構造柯西不等式等等，著眼于題目解析此題容易想到利用數學歸納法，但是證明過程復雜，另一方面使用作差法，要涉及復雜的因式分解，具有難度，還可以利用貝努利不等式變形來證明這個問題，但在高中貝努利不等式只是選修內容，不要求學生掌握，下面巧用等差中項性質來詳細證明，等差中項的性質在中學數學中的應用遠不止于此，能巧妙的借用此方法為學習者爭取了更多的答題時間，學習者只有置身解題實踐，不斷總結歸納解題的思想方法，才能真正的做

山縣馬力中學)?作差法在求數列通項公式中的功效◇甘肅田廣當遇到含有前n項和Sn或若干項和的數列題目時,我們經常通過將和式少寫或者多寫1項,再將二者整體相減,只剩下第n項或n-1項,這樣就得到相應的遞推關系式,從而問題轉化為已知遞推關系求數列通項問題.但有時得不到我們想要的遞推公式,怎么辦?再作差,直到得到我們想要的關系式．1　1次作差可將多余項的干擾整體消除2　2次作差可以獲得相鄰2項的遞推關系2式相減,得即所以化簡得又3　明確目標盡顯“作差”的奇特效果3

除法.AaCb2作差比較法比較大小,最常用最基本的方法就是作差比較法.“作差—分解因式—比較與0的大小關系”,這是運用作差比較法的基本解題步驟.Af(x1)Bf(x1)=f(x2);Cf(x1)>f(x2);Df(x1)與f(x2)的大小不確定3利用指數函數、對數函數的圖象和性質比較有關指數式、對數式的大小時,要注意指數函數、對數函數的圖象與性質的靈活運用.此外,要特別注意數字“0”和“1”在比較大小問題中的橋梁作用.類似分析,由(1/2)b=log1/2

結：本題采用的是作差的方法，作差是比較大小最常見的一種方法，特別是有關多項式大小關系問題常用此法.作差后和0比較大小，所以最好將其分解便于判斷符號.對于正數，涉及冪的有時可考慮作商.例2：（2009年江蘇10）.已知a=■，函數f（x）=a■，若實數m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關系為？搖 ？搖.解：∵a=■∈（0，1），∴函數f（x）=a■在R上遞減.由f（m）>f（n）得m總結：本題利用函數的單調性，比較大小是函數的單調性重要應用之一，特

值為7.策略二：作差的方法求最值除了套用常規求函數最值的方法，數列中由于其變量是正整數這一特殊性，決定了其還具有變通的方法求最值，即通過作差或作商的方法比較a■與a■的大小確定其單調性.具體來說，當a■-a■>0則a■單調遞增；a■-a■<0則a■單調遞減.例2：a■=■，b■=a■·a■，T■為b■的前n項和，對任意的自然數n，存在實數T滿足T■≥T成立，求T的最大值.分析：把T■視作關于n的一個函數，再通過作差研究其單調性.解：b■=a■·a■=■·■

方程并對所得兩式作差，可得到一個弦AB的中點坐標與直線AB的斜率（若斜率存在）之間的關系式，由此可以大大減小運算量，我們稱這種代點作差的方法為“點差法”.當然，“點差法”的運用有一定的局限性，類似的問題當應用“點差法”無效時，我們不妨可用下面的“點乘法”，即將直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別代入圓錐曲線方程并將所得兩式相乘，可得到一個三角形△OAB（O是坐標原點）的面積與弦AB的端點坐標之間的關系式，從而可以大大減小運算量，我們稱這種代點相乘的方法為“點乘

；數軸；絕對值；作差中圖分類號：G643 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-082-02整個初等數學的學習過程中，比較兩個數的大小有六種方法?！吨袑W生數理化中》有一篇題為《比較負數大小的6絕招》中這樣介紹道：第一招：利用法則比較；第二招：利用數軸比較；第三招：利用求差法比較；第四招：利用球商法比較；第五招：利用倒數比較；第六招：利用同分子（同分母）比較。學生進入初中階段，在學習北師大版七年級數學上冊第二章教材學習有理數之后，比較

數學歸納法證明和作差(商)證明，也可用放縮法證明，數學歸納法證明和作差(商)證明好想也好做，放縮法證明好做不好想.題目 當n≥3且n∈N*時，求證：2e﹏-2猲!<玪n3?玪n4?玪n5?…?玪n玭題目是某市2008級第二次高考適應性考試理22(Ⅲ)，參考答案及評分意見用的是放縮法，為便于與數學歸納法比較，先抄錄于后：證明：令f(x)=玪n玿x,則f′(x)=1-玪n玿x2,當x>e時，f′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上為減函數，∴當x>e時，f(