笛卡兒與平面直角坐標系

左效平

笛卡兒（1596~1650年），法國數學家.為了紀念笛卡兒對數學發展所作出的杰出貢獻，人們又把平面直角坐標系稱為笛卡兒坐標系.笛卡兒在發明平面直角坐標系時，還有一個有趣的故事呢.

公元1620年深秋，萊茵河畔的烏兒姆小鎮扎下一排軍用帳篷.夜很深了，可是帳篷里的一名士兵卻翻來覆去怎么也睡不著，他就是后來聞名于世的數學家笛卡兒.笛卡兒有一個習慣，就是經常躺在被窩里思考問題.在一個陌生的地方，笛卡兒一時難以入睡，他又開始思考最近研究的幾何與代數結合的問題.

眼前這些星星像豆子一樣，滿天都是，如果用數學方法，怎么表示它們的位置呢？當然，最好是畫一張圖，但這是幾何的方法，再說這么紛亂的星空即使畫出來，要指給人看某一顆星星時，還是得拿出一張圖，有什么辦法只用幾個數字就能標出它們的位置呢？自己隨軍到處奔波，幾天前還在多瑙河對岸，今晚卻又到多瑙河這一岸，時而在上游，時而在下游，要是給上級報告部隊的位置，該怎樣表示呢？

笛卡兒正躺在被窩里思考，忽然門口傳來腳步聲，排長來查鋪了！笛卡兒慌忙用被子蒙住頭，側著兩耳，聽著響動.可是很奇怪，聽腳步聲好像是人到門口又折回去了.他猜排長一會兒還會回來，于是不再探出頭，繼續進行圖與數的冥想.

過了一陣，排長果然又來了.他闖進帳篷，揭開被子，一把拉起笛卡兒就向外拖去.笛卡兒想喊喊不出，想披件衣服，可手又被攥得緊緊的.

等走出帳篷，排長才說：“你不是想用數學方法標出天空中星星的位置嗎？趁現在夜深人靜，不會有人偷聽，我告訴你個妙法.”

說著，排長從身后抽出兩支箭，拿在手里搭成一個“十”字，箭頭一個朝上，一個朝右.他將“十”字舉過頭說：“你看，假如我們把天空的一部分看成一個平面，這個平面就可以分成4個部分.我這兩支箭能射得無窮遠，天上這么多星星，隨便哪一顆，你只要分別向這兩只箭上引兩條垂線，就會得到兩個數字，這樣，這顆星星的位置就可以表示得一清二楚了.”

笛卡兒說：“你慌慌張張地把我拉出來，我還當有什么新鮮東西呢！畫坐標圖古希臘人就會，現在最難的是那些抽象的負數，人看不見，摸不著，顯示不出來就不好說服人了.”

排長向笛卡兒肩上打了一拳，哈哈笑道：“我說，你這么聰明，這層紙你怎么就沒有捅破呢？你看，只要將這兩支箭的交叉處規定為0，向上、向右分別表示正數，向下、向左不就表示負數了嗎？烏兒姆鎮是交叉點，多瑙河上游是正，下游是負，對岸是正，這一岸是負.我們行軍到哪個地方，不就隨時可以用兩個數字表示出來嗎？”

笛卡兒高喊道：“這是個好主意！”

他撲上前去想抓過箭來看看，不想排長忽地將箭往身后一藏，不高興地說道：“你就知道每天睡懶覺，不會自己做嗎？”

說著排長便向河邊跑去，眼看要進了河里，他卻踏水而過，如履平地.笛卡兒一急也一腳踏進水面，卻“撲通”一聲跌入河中，忙大喊救人.

突然，他覺得屁股上重重地挨了一腳，睜開眼睛一看，帳篷里已射進陽光.排長正站在他的身邊喊著：“你這個懶鬼，還不起床，又在做美夢！”

笛卡兒眨了眨眼，一骨碌爬起來，雙手抓住排長的肩膀直搖：“你說什么？你剛才對我講了些什么？”

排長罵道：“神經??！”接著又去催其他人起床去了.

笛卡兒卻像發了瘋一樣從枕頭下抽出本子和鉛筆，他先畫了一條豎線，標為y軸，又畫了一條橫線，標為x軸，又在這兩條軸上標出許多正數和負數，平面直角坐標系就這樣誕生了.

恩格斯曾評價說：“笛卡兒的變數是數學中的轉折點，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學．”

平面直角坐標系把數學中的數與形完美統一起來了．

同學們，聽了這個故事，大家是不是對數學產生了更大的興趣呢？我們也要在平時多思考，多留心，說不定哪天也會有一個重大的發現！

【責任編輯：潘彥坤】

藝術與投影幾何

多少世紀以來，數學總是影響著藝術和藝術家．如投影幾何、黃金分割、比例、視覺幻影、對稱、圖案和花樣等，它們不僅影響著藝術家的設計思路，而且影響著各種藝術流派，如原始的、古典的、文藝復興時期的、近代的、流行的或藝術裝飾的等．

一位油畫家要在一張畫布上畫出一幅立體的場景，他必須確定從不同的距離和位置觀察時，物體會產生怎樣的改變．這便是文藝復興時期藝術活動的主要部分和投影幾何發展的領域．投影幾何涉及圖形及其投影的空間關系和性質等，因此它包含了透視法的問題．藝術家為了創作他們的現實主義的立體油畫，文藝復興時期的藝術家們利用了新建立的投影幾何概念——投影點、消失點等．

藝術家推斷，假如人們透過窗戶去觀察一個景觀，并且眼睛保持在一個焦點上，這時視點集中，外面的景觀似乎是投影到窗戶上而被看到，這樣窗戶便可能充當畫布那樣的幕．各種各樣的圖案賦予了藝術家創造的靈感，他們把這種現實從窗戶轉移到畫布上來．